2013年4月杭州市重点高中2013高考数学命题比赛参赛试题1及答案.doc

2013年4月杭州市重点高中2013高考数学命题比赛 数学（理科）卷1本试卷分第i卷和第ii卷两部分考试时间120分钟，满分150分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上参考公式：如果事件a, b互斥, 那么棱柱的体积公式p(a+b)=p(a)+p(b)v=sh如果事件a, b相互独立, 那么其中s表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高p(ab)=p(a)p(b)棱锥的体积公式如果事件a在一次试验中发生的概率是p, 那么nv=sh次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率其中s表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高pn(k)=cpk (1p)n-k (k = 0,1,2, n)球的表面积公式棱台的体积公式s = 4r2球的体积公式其中s1, s2分别表示棱台的上、下底面积, v=r3h表示棱台的高 其中r表示球的半径第i卷（共50分）？输出开始结束是否（第5题）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的（1）（原创）已知集合，则（ ）（a） （b） （c） （d）（2）（原创）已知且，则是的（ ）（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充要条件 （d）既不充分也不必要条件（3）（原创）若复数(是虚数单位)，则（ ）（a） （b） （c） （d）（4）（引用）在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（ ）（a）3项 （b）4项 （c）5项 （d）6项（5）（原创）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ） （a） （b） （c） （d）（6）（根据宁波市2013届高三上期末测试4题改编）函数则该函数为（ ） （a）单调递增函数，奇函数 （b）单调递增函数，偶函数（c）单调递减函数，奇函数 （d）单调递减函数，偶函数（7）（根据2010浙江省高考参考试卷第7题改编）已知中，若圆的圆心在边上，且与和所在的直线都相切，则圆的半径为（ ）（第8题）（a） （b） （c） （d）（8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为的等腰三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（ ）（a） （b） （c） （d）（9）（根据2013萧山中学3月月考10题改编）已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（ ）（a） （b） （c） （d）（第10题）（10）（根据2013届杭州一模17题改编）如图，在扇形中，为弧上且与不重合的一个动点，若存在最大值，则的取值范围为（ ）（a） （b） （c） （d）第ii 卷(共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是，那么实数 的值为_（12）（引用）记数列的前项和为，且，则_（13）（原创）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是_（14）（原创）已知为直线上一动点，若在上存在一点使成立，则点的横坐标取值范围为_（15）（原创）函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是_（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程没有实数根，那么实数的取值范围是_（17）（根据2013浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动，但保持点分别在轴、轴上移动，则原点到直线的最近距离为_三、解答题: 本大题共5小题, 共72分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，且 （i）求的值； （ii）若，且，求和的值（19）（原创）（本小题满分14分）袋中有大小相同的个编号为、的球，号球有个，号球有个，号球有个从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出号球的前提下，再摸出一个号球的概率是（）求、的值；（）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望 （20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，（）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（第20题）（）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为（）求椭圆的方程；（）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值（22）（原创）（本小题满分14分）已知函数.（）（）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围2013年高考模拟试卷 数学（理科）答卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。题目12345678910选项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11、 12 、 13、 14、 15、 16、 17、 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、（本题14分）19、（本题14分）（第20题）20、（本题14分） 21、（本题15分）22、（本题15分）2013年高考模拟试卷 数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算每小题5分，共50分（1）b （2）a （3）d （4）c （5）c（6）a （7）b （8）b （9）d （10）c二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算每小题4分，共28分（11）1 （12） （13） （14）（15） （16） （17）（1）b本题考查集合运算易得，故（2）a本题考查充分必要条件 或，故成立，为充分条件；而或，若，则无意义，则为不必要条件（3）d本题考查复数的运算由于，故，整理可得（4）c本题考查二项式定理第项，故当时，的幂指数是整数，共5项（5）c本题考查算法程序运算由题意可知即求时，的最小值，故（6）a，且时，单调递增；时，单调递增。所以单调递增。 ，所以为奇函数。故选a。（7）b本题考查解三角形。如图，易得，由于为等腰三角形，故应为中点，即求中点到距离，由面积法可得（8）b本题考查三视图根据三视图可知，几何体为如图所示的半圆锥，则（9）d本题考查圆锥曲线几何性质如图，设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，所以，且，所以，。由抛物线性质可知，且与相似，所以，即，解得。（10）c。本题考查平面向量运算与基本定理的运用。设射线上存在为，使， 交于，设，由三点共线可知=1，所以，则存在最大值，即在弧（不包括端点）上存在与平行的切线，所以。（11）1本题考查线性规划基本知识的应用如图阴影部分为可行域， 为等腰直角三角形，所以，解得（12）本题考查数列基本知识当时，由，即，所以，（13）.本题考查排列组合的应用共可分为两类：每组分别为人，则有人；每组分别为人，则有人；所以共有人（14）本题考查直线与圆的位置关系设，则圆心到直线的距离，由于直线与圆相交，故，即，所以，解得（15）。本题考查三角函数图像与性质的运用。当函数递增时，即，所以，解得。（16）本题考查函数性质与方程思想及数形结合思想。解法一：由题意可知，可设，函数图象(图1)与直线没有交点，则解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出和的图象显然当是直线与抛物线相切，所以当时，没有交点故图1图2（17）。本题考查立体几何。解：如图，若固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球面上运动，设中点为，则原点到直线的最近距离等于点到直线的距离减去球的半径，即。 三、解答题: 大题共5小题，满分72分（18）本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。解：（i）由正弦定理得，则， 2分故，可得，即，可得， 4分又，因此6分 （ii）解：由，可得，又，故 9分又，可得， 11分所以，即所以 14分（19）本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。解：（1）记“第一次摸出号球”为事件，“第二次摸出号球”为事件， 2分则， 4分解得； 6分（2）随机变量的取值为，的分布列为345610分所以，数学期望 14分（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。解：（)侧面底面，作于点，平面.又，且各棱长都相等，.2分故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，4分设平面的法向量为，则 解得. 6分由 而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，侧棱与平面所成角的正弦值的大小为 8分（），而 又，点的坐标为 10分假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，为平面的法向量，由，得 12分又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点 14分（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得， 2分故，可得 4分所以，椭圆方程为 6分（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为可得，则 8分设，联立方程组，消去得：， 则 11分设与椭圆交另一点为，联立方程组，消去得，所以 13分故所以等于定值 15分（22）本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分15分。解：（）在区间上单调递增，则在区间上恒成立 3分即，而当