2014届越秀区高三摸底考试数学（理科）试卷及答案.doc

第 1 页 共 13 页 20142014 届越秀区高三摸底考试试卷届越秀区高三摸底考试试卷 数数 学（理科）学（理科） 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2121 小题，满分小题，满分 150150 分考试用时分考试用时 120120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必用答卷前，考生务必用 2b2b 铅笔在铅笔在“考生号、座号考生号、座号”处填涂考生处填涂考生 号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班 级，以及自己的姓名填写在答题卷上级，以及自己的姓名填写在答题卷上 2 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2b2b 铅笔把答题卷上对应题目选铅笔把答题卷上对应题目选 项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案，答案不能答在试卷上其他答案，答案不能答在试卷上 3 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写 在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划 掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液不按以上要求作答的答案无效液不按以上要求作答的答案无效 4 4作答选做题时，请先用作答选做题时，请先用 2b2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息铅笔填涂选做题的题号对应的信息 点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5 5考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷 一并交回一并交回 参考公式：参考公式： 圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式srl，其中，其中r是圆锥的底面半径，是圆锥的底面半径，l是圆锥是圆锥 的母线长的母线长. . 第 2 页 共 13 页 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分在每小题分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.1.设集合设集合 2 4ax x，10bx x ，则，则ab r （）（ ）. . a.a.21xx b.b.21xx c.c. 12xx d.d. 12xx 2.2.已知已知 3 ( )logf xx，则，则 3 3 f （ ）. . a.a. 1 3 b.b. 1 3 c.c. 1 2 d.d. 1 2 3.3.设设ar，则，则“1a ”是是“直线直线10axy 与直线与直线10xay 平行平行” 的（的（ ）. . a.a.充分不必要条件充分不必要条件 b.b.必要不充分条件必要不充分条件 c.c.充要条件充要条件 d.d.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4.4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长 为为 6 6、腰长为、腰长为 5 5 的等腰三角形，则这个几何体的等腰三角形，则这个几何体 的全面积为（的全面积为（ ）. . a.a.12 b.b.15 c.c.21 d.d.24 5.5.在在abcabc中，中， 3 sin 5 a ，8ab ac ， 则则abcabc的面积为（的面积为（ ）. . a.3a.3 b.4b.4 c.6c.6 d.d. 12 5 6.6.函数函数( )23 x f xex的零点所在的一个区间是（的零点所在的一个区间是（ ）. . a.a. 1 ,0 2 b.b. 1 0, 2 c.c. 1 ,1 2 d.d. 3 1, 2 7.7.若双曲线若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆的渐近线与圆 22 (2)1xy相切，则相切，则 第 3 页 共 13 页 双曲线的离心率为（双曲线的离心率为（ ）. . a.a. 4 3 b.b. 2 3 3 c.2c.2 d.d.2 8.8.若过点若过点(2,0)的直线与曲线的直线与曲线 3 yx和和 2 74yaxx都相切，则都相切，则a的值为的值为 （ ）. . a.2a.2 或或 49 16 b.3b.3 或或 5 16 c.2c.2 d.d. 5 16 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分，满 分分 3030 分分 （一）必做题（一）必做题（9 91313 题）题） 9 9若复数若复数z满足满足i2iz ，则复数，则复数z的实部是的实部是 . . 10.10. 9 2 1 ()x x 的展开式中的常数项是的展开式中的常数项是 . .（用数字作答）（用数字作答） 11.11.执行如图所示的程序框图，则输出的执行如图所示的程序框图，则输出的s s的的 值是值是 . . 12.12.已知实数已知实数, x y满足满足1 43 xy ，则，则zxy的的 最大值最大值 是是 . . 13.13.在区间在区间0,2上随机取一个数上随机取一个数a，在区间，在区间0,4上随机取一个数上随机取一个数b， 则关于则关于x的方程的方程 2 20xaxb有实根的概率是有实根的概率是 . . （二）选做题（二）选做题（14141515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题） 第 4 页 共 13 页 1414 （几何证明选讲选做题）（几何证明选讲选做题） 如图，如图，abab为为o o的直径，弦的直径，弦acac、bdbd相交于点相交于点p p，若，若3ab ， 1cd ，则，则cosapb的值为的值为 . . 1515 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线已知曲线c c的参数方程是的参数方程是 15cos 25sin x y （为参数）为参数） ，以直角坐标，以直角坐标 系的原点系的原点o o为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位 建立极坐标系，则曲线建立极坐标系，则曲线c c的极坐标方程是的极坐标方程是 . . 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分解答须写出文字说明、证分解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤明过程和演算步骤 1616 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数已知函数( )sin()(0,0,0)f xaxa，xr的最大值是的最大值是 1 1，最小正周期是，最小正周期是2，其图像经过点，其图像经过点( , 1)m （1 1）求）求( )f x的解析式；的解析式； （2 2）设）设a、b、c为为abcabc的三个内角，且的三个内角，且 3 ( ) 5 f a ， 5 ( ) 13 f b ，求，求( )f c的值的值 17.17.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随 第 5 页 共 13 页 机收集了在该超市购物的机收集了在该超市购物的 5050 位顾客的相关数据，如下表所示：位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量一次购物量 n（件）（件） 11n n 3 3 44n n 6 6 77n n 9 9 1010n n 1212 n n1313 顾客数（人）顾客数（人）x 202010105 5 y 结算时间（分结算时间（分 钟钟/ /人）人） 0.50.51 11.51.52 22.52.5 已知这已知这 5050 位顾客中一次购物量少于位顾客中一次购物量少于 1010 件的顾客占件的顾客占 8080. . （1 1）确定）确定x与与y的值；的值； （2 2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间x的分布的分布 列与数学期望；列与数学期望； （3 3）在（）在（2 2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有 2 2 位顾位顾 客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等 候时间不超过候时间不超过 2 2 分钟的概率分钟的概率. . 18.18.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 如图，菱形如图，菱形abcd的边长为的边长为 4 4，60bad ， ，acbdo. .将菱形将菱形 abcd沿对角线沿对角线ac折起，得到三棱锥折起，得到三棱锥bacd，点，点m是棱是棱bc的中的中 点，点，2 2dm . . （1 1）求求证证：/om平平面面abd； （2 2）求求证证：平平面面dom平平面面abc； （3 3）求求二二面面角角dabo的的余余弦弦值值 . . 第 6 页 共 13 页 19.(19.(本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知数列已知数列 n a满足满足 1 1 2 a ， * 1 1 1 () 2 nn n aan n. . （1 1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2 2）令）令 nn bna，数列，数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为t tn n，试比较，试比较t tn n与与 3 21 n n 的的 大小，并予以证明大小，并予以证明. . 2020 （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy cab ab 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 1( 1,0) f 、 2(1,0) f，p p为椭圆为椭圆c 上任意一点，且上任意一点，且 12 cosfpf的最小值为的最小值为 1 3 . . （1 1）求椭圆）求椭圆c的方程；的方程； （2 2）动圆）动圆 222( 2 3)xytt 与椭圆与椭圆c相交于相交于a a、b b、c c、d d四点，四点， 当当t为何值时，矩形为何值时，矩形abcdabcd的面积取得最大值？并求出其最的面积取得最大值？并求出其最 大面积大面积. . 第 7 页 共 13 页 21.(21.(本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知函数已知函数( )1 ln(02) 2 x f xx x . . （1 1）是否存在点）是否存在点( , )m a b，使得函数，使得函数( )yf x的图像上任意一点的图像上任意一点p p 关于点关于点m m对称的点对称的点q q也在函数也在函数( )yf x的图像上？若存在，的图像上？若存在， 求出点求出点m m的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由； （2 2）定义）定义 21 1 1221 ( )( )( )() n n i in sffff nnnn ，其中，其中 * nn，求，求 2013 s； （3 3）在（）在（2 2）的条件下，令）的条件下，令12 nn sa ，若不等式，若不等式2()1 n am n a对对 * n n且且2n 恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围. . 20142014 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共8 8题，每小题题，每小题5 5分，满分分，满分4040分分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 第 8 页 共 13 页 答案答案 b bd dc cd d a ac cb ba a 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分，满 分分 3030 分分 9.19.1 10.10.84 11.11.300 12.12.4 13.13. 1 3 14.14. 1 3 15.15. 2cos4sin 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分分 16.16.（1 1）依题意得）依题意得1a . .由由 2 2t ，解得，解得1. .所以所以 ( )sin()f xx. . 因为函数因为函数( )f x的图像经过点的图像经过点( , 1)m，所以，所以sin()1 ，即，即 sin1. . 因为因为0，所以，所以 2 . .所以所以( )sin()cos 2 f xxx . . （2 2）由（）由（1 1）得）得( )cosf xx，所以，所以 3 ( )cos 5 f aa， 5 ( )cos 13 f bb . . 因为因为,(0, )a b，所以，所以 2 4 sin1 cos 5 aa， 2 12 sin1 cos 13 bb. . 因为因为, ,a b c为为abcabc的三个内角，所以的三个内角，所以 ( )coscos()cos()f ccabab (coscossinsin)abab 35412 () 513513 63 65 . . 17.17.（1 1）依题意得，）依题意得，20 1050 80%x，550 20%y，解得，解得10x ， 5y . . （2 2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集 的的 5050 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 5050 的随机样本，将频率视为概率得，的随机样本，将频率视为概率得， 10 (0.5)0.2 50 p x ， 20 (1)0.4 50 p x ， 10 (1.5)0.2 50 p x ， 第 9 页 共 13 页 5 (2)0.1 50 p x ， 5 (2.5)0.1 50 p x . . 所以所以x的分布列为的分布列为 x0.50.51 11.51.52 22.52.5 p0.20.20.40.40.20.20.10.10.10.1 x的数学期望为的数学期望为0.5 0.2 1 0.4 1.5 0.22 0.12.5 0.11.25ex . . （3 3）记）记“该顾客结算前的等候时间不超过该顾客结算前的等候时间不超过 2 2 分钟分钟”为事件为事件a a，该顾，该顾 客前面第客前面第i位顾客的结算时间为位顾客的结算时间为(1,2) i x i ，由于各顾客的结算相，由于各顾客的结算相 互独立，且互独立，且 12 ,xx的分布列都与的分布列都与x的分布列相同，所以的分布列相同，所以 121212 ( )(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5(1.5)p ap xp xp xp xp xp x) 121212 (1(0.5)(1(1)(1.5(0.5)p xp xp xp xp xp x) 0.2 0.20.2 0.40.2 0.20.4 0.20.4 0.40.2 0.20.44 为为 所求所求. . 18.18.（1 1）因为）因为o o为为acac的中点，的中点，m m为为bcbc的中点，所以的中点，所以/ /omab. . 因为因为om 平平面面a ab bd d，ab 平面平面a ab bd d，所以，所以 /om 平面平面abd. . （2 2）因为在菱形）因为在菱形abcdabcd中，中，od ac ，所以在三棱锥，所以在三棱锥b acd 中，中， odac . . 在菱形在菱形abcdabcd中，中，ababadad4 4， 60bad ，所以，所以bdbd4.4.因为因为o o 为为bdbd的中点，的中点， 所以所以 1 2 2 odbd . .因为因为o o为为acac的中点，的中点，m m为为bcbc的中点，所以的中点，所以 1 2 2 omab . . 因为因为 222 8odomdm ，所以，所以 90dom ，即，即od om . . 因为因为ac 平面平面a ab bc c，om 平面平面a ab bc c， acomo ，所以，所以 第 10 页 共 13 页 od 平面 平面a ab bc c. . 因为因为od 平面平面domdom，所以平面，所以平面dom平面平面abc. . （3 3）作）作oe ab 于于e，连结，连结dede. .由（由（2 2）知，）知，od 平面平面a ab bc c，所以，所以 od a ab b. . 因为因为od oeo ，所以，所以ab 平面平面o od de e. .因为因为de 平面平面o od de e，所以所以 abde . . 所以所以 deo 是是二二面角面角d abo 的平面角的平面角. . 在在 rtrtdoedoe中，中， 2od ， 3 oa ob oe ab ， 22 7deodoe ， 所以所以 21 cos 7 oe deo de . .所以所以二二面面角角 dabo 的的余余弦弦值值为为 21 7 . . 19.19.（1 1）当）当2n时，时， 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 23 1111 2222n 23 1111 2222n 1 11 1 1142 1 22 1 2 n n . . 又又 1 1 2 a 也适合上式，所以也适合上式，所以 * 1 () 2 n n ann. . （2 2）由（）由（1 1）得）得 1 2 n n a ，所以，所以 2 nn n n bna. . 因为因为 123 123 2222 n n n t ，所以，所以 2341 1123 22222 n n n t . 由由得，得， 1231 11111 222222 n nn n t ， 所以所以 121 1 1 1112 2 12 1 222222 1 2 n n nnnn nnn t . . 因为因为 33222(2)(221) 2 21212212(21)2 n n nnn nnnnnnn t nnnn ， 所以确定所以确定 n t与与 3 21 n n 的大小关系等价于比较的大小关系等价于比较2n与与21n的大小的大小. . 第 11 页 共 13 页 当当1n 时，时， 1 22 1 1 ；当；当2n 时，时， 2 22 2 1 ； 当当3n 时，时， 3 22 3 1 ；当；当4n 时，时， 4 22 4 1 ；， 可猜想当可猜想当3n 时，时，221 n n. . 证明如下：当证明如下：当3n 时，时， 011 2(1 1) nnnn nnnn cccc 011 2221 nn nnnn ccccnn . . 综上所述，当综上所述，当1n 或或2n 时，时， 3 21 n n t n ；当；当3n 时，时， 3 21 n n t n . . 20.20.（1 1）因为）因为p p是椭圆是椭圆c上一点，所以上一点，所以 12 2pfpfa. . 在在 12 fpf中，中， 12 2ff ，由余弦定理得，由余弦定理得 222 1212 12 12 cos 2 pfpfff fpf pfpf 2 2 1212 1212 24 44 1 22 pfpfpfpf a pfpfpfpf . . 因为因为 2 122 12 2 pfpf pfpfa ，当且仅当，当且仅当 12 pfpfa时等号时等号 成立成立. . 因为因为1a ，所以，所以 2 12 22 442 cos11 2 a fpf aa . . 因为因为 12 cosfpf的最小值为的最小值为 1 3 ，所以，所以 2 21 1 3a ，解得，解得 2 3a . . 又又1c ，所以，所以 222 2bac. .所以椭圆所以椭圆c c的方程为的方程为 22 1 32 xy . . （2 2）设）设 00 (,)a xy，则矩形，则矩形abcdabcd的面积的面积 00 4sx y. . 因为因为 22 00 1 32 xy ，所以，所以 2 2 0 0 2 1 3 x y . . 所以所以 2 2 22222 0 0000 323 1632124 332 x sx yxx . . 因为因为 0 33x且且 0 0x ，所以当，所以当 2 0 3 2 x 时，时， 2 s取得最大值取得最大值 24.24. 此时此时 2 0 1y ， 22 00 10 2 txy. . 所以当所以当 10 2 t 时，矩形时，矩形abcdabcd的面积最大，最大面积为的面积最大，最大面积为2 6. . 21.21.（1 1）假设存在点）假设存在点( , )m a b，使得函数，使得函数( )yf x的图像上任意一点的图像上任意一点p p 第 12 页 共 13 页 关于点关于点m m对称的点对称的点q q也在函数也在函数( )yf x的图像上，则函数的图像上，则函数 ( )yf x图像的对称中心为图像的对称中心为( , )m a b. . 由由( )(2)2f xfaxb，得，得