2016年天津市河东区高考数学一模文科试卷含答案解析.doc

2016年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1设集合i=x|x|3，xz，a=1，2，b=2，1，2，则a（cib）=（）a1b1，2c2d0，1，22取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）abcd不确定3一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） a9b10c11d4在abc中，b=5，b=，tana=2，则a的值是（）a10b2cd5如果执行如图所示的程序框图，那么输出的s=（）a190b94c46d226已知函数f（x）=ax+xb的零点x0（n，n+1）（nz），其中常数a，b满足0b1a，则n的值为（）a2b1c2dl7图是函数y=asin（x+）（xr）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（xr）的图象上所有的点（）a向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变b向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变c向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变d向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8已知，且函数y=f（x）2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）a4，0b8，+）c4，+）d（0，+）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9若（1+2ai）i=1bi，其中a、br，i是虚数单位，则|a+bi|=10某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为11已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的方程为12如图，pa切o于点a，割线pbc经过圆心o，ob=pb=1，oa绕点o逆时针旋转60到od，则pd的长为13若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是14在平面四边形abcd中，点e、f分别是边ad、bc的中点，且ab=1，ef=，cd=，若=15，则的值为三、解答题：（本大题6个题，共80分）15某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示产 品木料（单位m3）第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？16已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+（0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（）求的值； （）求函数f（x）的单调增区间；（）若f（）=，求sin（4）的值17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，e为ad的中点，m是棱pc的中点，pa=pd=2，（1）求证：pe平面abcd；（2）求直线bm与平面abcd所成角的正切值；（3）求直线bm与cd所成角的余弦值18已知椭圆c：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（1）求椭圆c的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆c相交于a、b两点若线段ab中点的横坐标为，求斜率k的值；已知点，求证：为定值19已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nn*，（1）求数列an的通项公式；（2）令tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1，求tn；（3）令bn= （n2），b1=3，sn=b1+b2+bn，若sn对一切nn*成立，求最小正整数m20已知函数f（x）=lnxax2bx（i）当a=1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）若f（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（x1x2）两点，且ab的中点为c（x0，0），求证：f（x0）02016年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1设集合i=x|x|3，xz，a=1，2，b=2，1，2，则a（cib）=（）a1b1，2c2d0，1，2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】把集合a用列举法表示，然后求出cib，最后进行并集运算【解答】解：因为i=x|x|3，xz=2，1，0，1，2，b=2，1，2，所以，cib=0，1，又因为a=1，2，所以a（cib）=1，20，1=0，1，2故选d【点评】本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题2取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）abcd不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义【专题】计算题【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件a，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件a发生的概率故选b【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m的界点来3一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a9b10c11d【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为21=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案【解答】解：由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为21=1、高为3的三棱锥形成的，v三棱锥=1，所以v=431=11故选：c【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式4在abc中，b=5，b=，tana=2，则a的值是（）a10b2cd【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sina=，再由正弦定理求得a的值【解答】解：在abc中，b=5，b=，tana=2，sin2a+cos2a=1，sina=再由余弦定理可得=，解得 a=2，故选b【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题5如果执行如图所示的程序框图，那么输出的s=（）a190b94c46d22【考点】循环结构；程序框图【专题】算法和程序框图【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i5，退出循环体，计算输出s的值【解答】解：由程序框图知：第一次运行i=2，s=2（1+1）=4；第二次运行i=2+1=3，s=2（4+1）=10；第三次运行i=3+1=4，s=2（10+1）=22；第四次运行i=4+1=5，s=2（22+1）=46；第五次运行i=5+1=6，s=2（46+1）=94满足条件i5，退出循环体，输出s=94故选：b【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法6已知函数f（x）=ax+xb的零点x0（n，n+1）（nz），其中常数a，b满足0b1a，则n的值为（）a2b1c2dl【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数，一次函数的单调性，及增+增=增，可得函数f（x）=ax+xb为增函数，结合常数a，b满足0b1a，可得f（1）0，f（0）0，进而可得n值【解答】解：函数f（x）=ax+xb为增函数，常数a，b满足0b1a，f（1）=1b0，f（0）=1b0，函数f（x）=ax+xb在（1，0）内有一个零点，故n=1，故选：d【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化，函数f（x）=ax+xb是增函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键，属中档题7图是函数y=asin（x+）（xr）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（xr）的图象上所有的点（）a向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变b向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变c向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变d向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】综合题【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和a的值，再代入特殊点可确定的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可【解答】解：由图象可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+）代入（，0）可得的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（xr）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变故选a【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的 8已知，且函数y=f（x）2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）a4，0b8，+）c4，+）d（0，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用【分析】当x0时，f（x）=f（x2），可得当x0时，f（x）在2，0）重复的周期函数，根据x2，0）时，y=ax24x=4+a（x+2）2，对称轴x=2，顶点（2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围【解答】解：因为当x0的时候，f（x）=f（x2），当x0，2）时，x22，0），此时f（x）=f（x2）=a（x2）24（x2）当x2，4）时，x42，0），此时f（x）=f（x2）=f（x4）=a（x4）24（x4）依此类推，f（x）在x0时为二次函数ax24x=（x+2）2+a+4，在x0上为周期为2的函数，重复部分为ax24x=（x+2）2+a+4在区间2，0）上的部分二次函数ax24x=（x+2）2+a+4顶点为（2，a+4），y=f（x）2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，需满足f（x）与y=2x在x0时有两个交点且0a+44或f（x）与y=2x在x0时有两个交点且a+444a0或a0综上可得a4故选c【点评】本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9若（1+2ai）i=1bi，其中a、br，i是虚数单位，则|a+bi|=【考点】复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】由（1+2ai）i=1bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出|a+bi|的值【解答】解：由（1+2ai）i=1bi，得12a+（1+b）i=0解得：设z=a+bi（a、br），则z=i，|a+bi|=故答案为：【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础的计算题10某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数【解答】解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生本校共有学生150+150+400+300=1000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查每个个体被抽到的概率是=，丙专业有400人，要抽取400=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中11已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的方程为=1【考点】双曲线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可【解答】解：由双曲线渐近线方程可知因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4又c2=a2+b2联立，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为故答案为【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质12如图，pa切o于点a，割线pbc经过圆心o，ob=pb=1，oa绕点o逆时针旋转60到od，则pd的长为【考点】与圆有关的比例线段【专题】综合题；压轴题；综合法【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角dop的大小，由于od=1，op=2，由余弦定理求长度即可解法二：由图形知，若能求得点d到线段oc的距离de与线段oe的长度，在直角三角形ped中用勾股定理求pd即可【解答】解：法一：pa切o于点a，b为po中点，ab=ob=oa，aob=60，pod=120，在pod中由余弦定理，得：pd2=po2+do22podocospod=法二：过点d作depc垂足为e，pod=120，doc=60，可得，在rtped中，有【点评】本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律13若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2log23【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；压轴题【分析】由基本不等式得2a+2b，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可【解答】解：由基本不等式得2a+2b，即2a+b，所以2a+b4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t4，所以，即，所以故答案为：2log23【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强14在平面四边形abcd中，点e、f分别是边ad、bc的中点，且ab=1，ef=，cd=，若=15，则的值为13【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，求出的值【解答】解：如图所示，设abdc=o， =+=+， =+=+，两式相加得=；ab=1，ef=，cd=，平方得 2=；=2；又=15，即（）（）=15；+=15，+=15+，=（）（）=+=（15+）=15+（）+（）=15+=15+（）=15+=15=152=13故答案为：13【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题三、解答题：（本大题6个题，共80分）15某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示产 品木料（单位m3）第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；从而可得，z=6x+10y；利用线性规划求解【解答】解：由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；则，z=6x+10y；做其平面区域如下，则由y=8002x，x=7003.5y得，x=350，y=100；答：应生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润总额达到最大，利润最多3100元【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题16已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+（0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（）求的值； （）求函数f（x）的单调增区间；（）若f（）=，求sin（4）的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（i）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为，根据周期公式，可求的值；（ii）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（iii）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（4a）=sin2（2a+）=cos2（2a+）=2sin2（2a+）1，即可求得结论【解答】解：（i）f（x）=2sinxcosx2sin2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，函数的最小正周期为=1；（ii）由（i）知，f（x）=2sin（2x+）+2k2x+2k，kz+kx+k，kz函数f（x）的单调增区间为+k， +k，kz；（iii）f（a）=，sin（2a+）=sin（4a）=sin2（2a+）=cos2（2a+）=2sin2（2a+）1=【点评】本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，e为ad的中点，m是棱pc的中点，pa=pd=2，（1）求证：pe平面abcd；（2）求直线bm与平面abcd所成角的正切值；（3）求直线bm与cd所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角【分析】（1）推导出pead，平面pad平面abcd，由此能证明pe平面abcd（2）连结ec，取ec中点h，连结mh、hb，则mhpe，从而mbh即为bm与平面abcd所成角，由此能求出直线bm与平面abcd所成角的正切值（3）由cdbe，得直线bm与cd所成角即为直线bm与be所成角，由此能求出直线bm与cd所成角的余弦值【解答】证明：（1）pa=pd，e为ad的中点，pead，又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，pe平面abcd解：（2）连结ec，取ec中点h，连结mh、hb，m是pc的中点，h是ec的中点，mhpe，由（1）知pe平面abcd，mh平面abcd，hb是bm在平面abcd内的射影，mbh即为bm与平面abcd所成角，adbc，bc=ad，e为ad的中点，adc=90，四边形bcde为矩形，ec=2，hb=，又mh=pe=，mhb中，tan=，直线bm与平面abcd所成角的正切值为（3）由（2）知cdbe，直线bm与cd所成角即为直线bm与be所成角连接me，rtmhe中，rtmhb中，又，meb中，直线bm与cd所成角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值和线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18已知椭圆c：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（1）求椭圆c的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆c相交于a、b两点若线段ab中点的横坐标为，求斜率k的值；已知点，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段ab中点的横坐标为，即可求斜率k的值；利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得从而可解得，所以椭圆方程为（2）证明：将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k25=0=36k44（3k2+1）（3k25）=48k2+200，因为ab中点的横坐标为，所以，解得由知，所以=【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强19已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nn*，（1）求数列an的通项公式；（2）令tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1，求tn；（3）令bn= （n2），b1=3，sn=b1+b2+bn，若sn对一切nn*成立，求最小正整数m【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知an+1=an+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1=