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文档简介

一、随机变量的函数 定义：设有一实函数 以及随机变量 ，定义一个 新的随机变量 ，称随机变量 是随机变量 的 函数。 问题：已知 的统计特性，求 的统计特性。 若g(x)为单调连续函数： 单调函数示意图 )(xg y = y x x y 0 二、一维随机变量函数的分布 雅可比(Jacobi) 例、设随机变量X与随机变量Y的关系为 a,b is constant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的 概率密度。 如果 正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。 若g(x)为非单调函数： )(xg dy y + y 22 dx x + 2 x 11 dx x + 1 x x 0 其中 例2、设平方律检波器的输入输出关系为 求Y的概率密度。 只考虑 为单调情形 ： 雅可比变换为： 三、多维随机变量函数的分布 例3 设X、Y为相互独立的随机变量，有 求Z1和Z2的联合概率密度。 两个独立随机变量之和的概率密度为其各自的概率密度的卷积 。 两个独立随机变量之积和商的概率密度？ 均值： 方差： 四、随机变量函数的数字特征 一、特征函数(Characteristic function) 若X为离散型随机变量，则有： 随机变量X的特征函数定义为： 性质： 若 （C is constant）则： 若 （a,b is constant） 则： 相互独立的随机变量之和的特征函数是各 特征函数之乘积，即 例4、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为： 求特征函数。 例5、设X为均匀分布随机变量，其概率分布为： 求特征函数。 例6、若随机变量相应的特征函数分别为： (1) (2) 求随机变量的分布。 2、特征函数与矩的关系 或 定理：设随机变量X的n阶矩为 一、一维正态随机变量 概率密度： -4-3-2-101234 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 N(0,1)正态分布概率密度 二、二维正态随机变量 定义：设两个随机变量 ,如果它们的联合概率密度为 ： 其中r为相关系数。 则称 是联合正态的。 性质： X1,X2的边缘概率密度也是正态的 若X1,X2的不相关，则r=0，两随机变量相互独立 三、矩阵表示方法 协方差矩阵： 综上，概率密度矩阵表示形式为： 令： 特征函数矩阵表示形式为： 以上矩阵形式均可推广到多维。 四、正态随机变量的线性变换 可见，Y仍然服从正态分布，均值为Lm，协方差阵为LKLT 第三讲：小第三讲：小 结结 随机变量的函数随机变量的函数 若g(x)为单调连续函数： 若g(x)为非单调连续函数： 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 第三讲：小第三讲：小 结结 多维正态随机变量多维正态随机变量 课后作业：1.6、1.16 X1,X2的边缘概率密度也是正态的 若X
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