随机过程第四版研究生上课课件刘次华Ch.ppt

参 考 教 材 随机过程（第四版） 刘次华 编著 华中科技大学出版社 1 ，564564 2 随机事件 随机变量 随机过程 3 引例 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 , 求击中3次的概 率. X表示击中目标的次数. 4 第一章 概率论基础 5 一维随机变量 随 机 变 量 离 散 型 随机变量 连 续 型 随机变量 分 布 函 数分 布 律密 度 函 数 均 匀 分 布 指 数 分 布 正 态 分 布 两 点 分 布 二 项 分 布 泊 松 分 布 随机变量 的数字特 征 定 义 数学期望 差 方 6 一维随机变量 随 机 变 量 离 散 型 随机变量 连 续 型 随机变量 分 布 函 数分 布 律密 度 函 数 均 匀 分 布 指 数 分 布 正 态 分 布 两 点 分 布 二 项 分 布 泊 松 分 布 随机变量 的函数的 分 布 定 义 7 定 义 联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概 率 密 度 边 缘 分 布 条 件 分 布 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 定 义 性 质 二 维 随 机 变 量 推 广 二维随机变量 数字特征 8 随机变量的数字特征 数学期望 方 差 离散型 连续型 性 质 协方差与相关系数 随机变量函数的数学期望 定 义 计 算 性 质 二维随机变量的 数学期望 定 义 协方差 的性质 相关系数 定理 9 1.1 概率空间 随机试验：可重复、可预见、不确定 样本空间：随机试验所有可能结果的集合 样本点：e 事件：A 基本事件：只包含一个样本点的事件 必然事件： 不可能事件： 事件运算：并、交、差、（上、下）极限 10 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 都为随机事件. 骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”, “点数不大于6”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 11 =0,1,2,； 记 A至少有10人候车10,11,12, ， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。 例：观察某路公交车某站候车人数， B至少有0人候车= ,为必然事件 C有1.5人候车 = ,为不可能事件，不包含 任何样本点。 12 1.1 概率空间 定义1.1 -代数(事件域) 集合的某些子集组成集合族F （1）F （必然事件） （2）若AF, 则AF （对立事件） （3）若AiF,i=1,2，则 F （可 列并事件） 称F为-代数，（， F ）为可测空 间 13 例例 投掷一次骰子试验，ei表示出现i点， =e1,e2,e3,e4,e5,e6 F =，e1,e2,e3，e4,e5,e6， F为-代数，（， F ）为可测空间 F =， 的所有子集的集合 14 1.1 概率空间 例例：连续投掷两次硬币试验 =正正，正反，反正，反反 15 1.1 概率空间 F1 =，正正， 正反，反正，反反， F2 =，正正，正反，正正，正反， 反正，反反，正反，反正，反反， 正正 ，反正，反反 ，正正，正反，反正，反反 F3 =，反正，反反， 反正，反反， 正正，正反，正正，正反，反反， 正正 ，正反，反正 ，正正，正反，反正，反反 F4 =，正反， 正正，反正，反反 ， Fi为-代数，（，Fi）为可测空间 16 F=，正正，正反，反正，反反 ， 正正，正反，正正，反正，正 正，反反，正反，反正，正反，反 反，反正，反反，正正，正反，反 正，正正，正反，反反，正正，反 正，反反，正反，反正，反反，正 正，正反，反正，反反 为-代数， （ ， F ）为可测空间 17 1.1 概率空间 可测空间的性质 设（，F ）为可测空间,则 （4）F （不可能事件） （5）若A,B F,则AB F （差事件） （6）若Ai F,则 F （有限并，有限交，可列交事件） 18 1.1 概率空间 定义1.2概率空间：设（，F）为可测 空间, 映射P：F R，A|P（A）满足 (1)任意AF， 0 P（A） 1 (2) P（）= 1 (3) 称P是(, F)上的概率， (, F,P)为概率 空间， P(A)为事件A的概率。 19 1.1 概率空间 概率空间的性质 设(, F,P)为概率空间，则 （4） P（）= 0 （5）P（BA）= P(B) -P(A) , (AB) （6） 20 乘法公式和全概率公式 乘法公式: P(AB)=P(B|A) P(A) 全概率公式： P(B)= P(BA1)+ P(BA2)+ =P(B|A1) P(A1)+ P(B|A2) P(A2)+ 其中A1，A2为完备事件族 21 练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放 回的接连取出两个球。求第二次取出红球的 概率。 解：设A1表示第一次取出红球，A2表示第 一次取出白球，B表示第二次取出红球。那 么 P（B）=P（BA1）+ P（BA2） = P（B|A1）P(A1)+ P（B|A2） P(A2) =1/4*2/5+2/4*3/5 =2/5 2/5 1/4 2/4 3/5 22 1.1 概率空间 设(, F,P)为概率空间，F1 F，若对 任意A1, A2, , An F1 ，n=2 ,3,，有 则称F1为独立事件族,或称F1中的事件 相互独立。 事件A, B独立，有 P(AB)=P(A)P(B) 独立事件 23 1.1 概率空间 事件A, B, C相互独立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 24 1.2 随机变量及其分布 定义1.4 设(, F,P)为概率空间， 映射X： R，e X（e）满足 任意xR，e:X(e)x F， 则称X(e)是F上的随机变量，简记X。 对xR，称F(x)=Pe:X(e)x为随机变 量X的分布函数。 25 1.2 随机变量及其分布 例例 投掷两枚硬币试验，=正正，正反，反 正，反反 F=，正正，正反，反正，反反， 正正，正反，正正，反正，正正，反反 ，正反，反正，正反，反反，反正，反 反，正正，正反，反正，正正，正反， 反反，正正，反正，反反，正反，反正 ，反反，正正，正反，反正，反反 为- 代数，（ ， F ）为可测空间 P=0，P正正=P正反= P反正=P反反 = 1/4，P=1， (, F,P)为概率空间 26 映射X： R，X(正正)=2， X(正反)= X(反正 )= 1，X(反反)=0 （1）x0，k=0,1,2, (4)几何分布 P(X=k)= ， 0 0的y，定义 Y=y时X的条件概率 Y=y时X的条件分布 Y=y时X的条件期望 115 例： 袋中有2个红球，3个白球，从中不放 回的接连取出两个球。设X表示第一次 取到的红球数，Y表示第二次取到的红 球数。求 E（Y|X=1）和E（Y|X=0） 116 1.6 条件期望 条件期望的性质： 若随机变量X,Y的期望存在，则 如果Y是离散型随机变量，则 如果Y是连续型随机变量，则 117 1.6 条件期望 证明：设X,Y都是离散型随机变量 118 1.6 条件期望 若X,Y是连续型随机变量，其联合概率密 度为f（x，y），则对一切使fY(y)0的y ， 给定Y=y时，X的条件概率密度为 给定Y=y时，X的条件分布为 给定Y=y时，X的条件期望为 119 1.6 条件期望 应用条件期望求事件的概率 事件A的示性函数 IA： R，是二值随机变量 PIA =1= P(A) ， PIA =0= 1-P(A) EIA =1 P(A) + 0 1-P(A)= P(A) 因此E（IA|Y=y）= P（A|Y=y） 120 1.6 条件期望 P(A) = EIA=EE(IA |Y) = 若Y为离散型随机变量，则 若Y为连续型随机变量，则 E(IA |Y=y)= 1 P(A|Y=y) + 0 1-P(A|Y=y) = P(A|Y=y) 121 122 1.6 条件期望 例例 设X,Y为随机变量，证明公式 证 123 1.6 条件期望 证 124 1.6 条件期望 E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能 值,在已知Y的条件下，考虑X的均值， 需要以Y代替y， E(X|Y)是随机变