2015届广东省珠海市高三下学期学业质量监测（二模）理科数学试题及答案.pdf

理科数学试题 b 第 1 页（ 共 10 页） 珠海市珠海市 2014-20152014-2015 学年度第二学期高三学生学业质量监测学年度第二学期高三学生学业质量监测 理科数学试题和参考答案及评分标准理科数学试题和参考答案及评分标准 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的请在答题卡上填涂相应选项请在答题卡上填涂相应选项. . 1已知集合a0)21)(1(xxrx，集合 11xrxb ，则ba a) 1 , 2 1 (b) 1 , 2 1 c 1 ( 1 2 ，d 2 1 , 1 2已知复数z满足方程05)3(izi（i为虚数单位） ，则z的虚部是 ai 5 4 bi 5 4 c 5 4 d 4 5 3已知向量a b 、，命题 2 :p a ba ，命题:q ab ，则p是q的 a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d 既不充分也不必要条件 4函数 2 ( )logf xx的定义域是2 8，则( )f x的反函数 1( ) fx 的定义域是 a1 3，b2 8，c1 4，d2 4， 5已知函数)(xf是定义在)6 , 6(上的偶函数，)(xf在0,6)上是单调函数，且) 1 ()2(ff，则下列不 等式成立的是 a) 3() 1 () 1(fffb)4()3()2(fff c) 1 ()0()2(fffd) 1() 3()5(fff 6将函数sin(2) 3 yx 的图像向右平移 7 12 个单位，再将图像上每个点的横坐标扩大到原来的倍，纵 坐标不变，得到的图像对应的函数表达式是 a) 6 5 sin(xybcosyxc) 6 5 4sin(xydxy4cos 7如下图，为一旋转体沙漏，上部为一倒立圆台，下部为一圆柱，单位时间流出的沙量固定，假定沙的上 表面总能保持平整，则沙漏内剩余沙的高度h与时间t的函数关系图像最接近的是 试卷类型：b 理科数学试题 b 第 2 页（ 共 10 页） abcd 8在平面直角坐标系中，定义 1 1 () nnn nnn xyx nn yyx 为点() nnn p xy，到点 111 () nnn pxy ，的一个变换：附中变换 已知 1222111 (0 1)()()() nnnnnn pp xyp xypxy ， ， ，是经过“附中变换”得到的一列点，设 1 | nnn ap p， 数列 n a的前 n 项和为 n s，那么 10 s的值为 a31(22)b31(22)c31( 21)d31( 21) 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 7 7 小题小题，考生做答考生做答 6 6 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 3030 分分其中第其中第 14141515 题是选做题题是选做题，考考 生只能选做一题生只能选做一题，两题全答的两题全答的，只计算前一题得分只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置请将答案填在答题卡相应位置. . 9某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人，若在老年人中的抽样人数是 70，则在中年人中的抽样人数应该是_.80 10 100 4被 9 除所得的余数是. .4 11( 2 0)(2 0)bc ， ，a为动点，abc的周长为10，则点a的轨迹的离心率为.2/3.2/3 12变量x，y满足约束条件：0x，0y，02 kykx. .当2k 时，对应的可行域面积为s，则 2 ks z k 的范围是. .2)， 13某代表团有abcdef、 、 、 、 、六名男性成员全部住进abc、 、三个房间，每房间住 2 人，其中a 没住房间a，同时b没住房间b的概率是. . 7 15 14.（参数方程与极坐标选做题参数方程与极坐标选做题）在直角坐标系中,圆 c 的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） ，若以原 点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆c的极坐标方程为_sin4_ 15 （几何证明选做题几何证明选做题）如图，pa 切o于点 a，割线 pbc 经过圆心 o，pb=1，3pa，oa 绕点 o 逆 时针旋转 60到 od，则 pd 的长为7 b c d o a p 第 15 题图 理科数学试题 b 第 3 页（ 共 10 页） 三三、解答解答题题: :本本大大题共题共 6 6 小题小题，满分满分 8080 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤。 16 （本小题满分本小题满分 12 分分）abc中，角a、b、c所对的边分别为abc、 、， 8 sin2sin 5 aa，3b ， ),(cbacm，),(cban，mn (1)求sin a； (2)求角b与c 解：(1)abc中， 8 2sincossin2sin 5 aaaa分 4 cos 5 a 分 ), 0(a 3 sin 5 a 分 (2)mn 222 0m nacabc 分 即 222 1 cos 22 acb b ac 分 0b分 3 b 分 2 3 ac 分 23134 3 sinsin()cossin 322 3413 251025 caaa ，分 sinsin cb cb 分 34 3 3 sin34 3 10 sin53 2 bc c b 分 17 （本小题满分本小题满分 12 分分）2004 年 5 月 31 日国家制定了新的酒驾醉驾标准，车辆驾驶人员血液酒精含量大于 或等于 20mg /100ml（0.2 000） ，小于 80mg /100ml(0.8000)为饮酒驾车；大于或等于 80mg /100ml(0.8000)为醉 酒驾车以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段： 血清酒精 含量 0.2000，0.4 000 )0.4000，0.8 000 )0.8000，1.2 000 )1.2000，1.6 000 )1.6000，) 人数1113 理科数学试题 b 第 4 页（ 共 10 页） 但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下，是因人而异有所不同的。下面是某卫生机构在 2055 岁 的饮酒男性志愿者中，随机选取 30 人作为样本进行测试。在饮用了 250ml（ 00 60）60 度纯粮白酒（相当于 5 瓶啤酒）恰好一小时，血清中酒精含量（最大值）统计数据如下： (以上数据为参考依据) 在午夜 12 点，酒吧营业两小时，客人餐饮大约一小时，随机在酒吧街请出名 2055 岁的男性（每人 饮用相当于度白酒饮酒量 250ml 左右） (1)计算其中恰有两人进入狮子态的概率是多少？ (2)用表示 3 人中血清酒精含量 0.8000及以上的人数，求出的概率分布列和期望 解： (1)设“在酒吧街请出名饮酒量 250ml 左右的 2055 岁的男性，其中恰有两人进入狮子态”的事件为 a 分 则 22 3 121836 ( )() 3030125 p ac分 恰有两人进入狮子态的概率是 36 125 分 (2)=0，1，2，3分 0.8 000及以上的概率 9 10 p 分 9 (3) 10 b，分 3 11 (0)() 101000 p 12 3 1927 (1)() 10101000 pc 22 3 19243 (2)() 10 101000 pc 3 9729 (3)() 101000 p 的分布列为 0123 p1 1000 27 1000 243 1000 729 1000 分 血清酒精 含量 0.2000，0.4000)0.4000，0.8000)0.8000，1.2000)1.2000，1.6000)1.6000，) 常人精神 状态 君子态(愉快)孔雀态(炫耀)狮子态(打架)猴子态(失控)狗熊态(昏睡) 理科数学试题 b 第 5 页（ 共 10 页） 的期望为 9 32.7 10 e 分 18（本小题满本小题满分分14分分） 如图为一多面体abcde， 四边形acde是边长为2的菱形， 其所在平面与平面abc 垂直，2abbc， 3 eac ，fg、分别是ac、bd中点 （1）求证：fg/平面abe； （2）求二面角abed的正弦值 (1)证明：取be中点h，连接ah、hg /aced，aced，fg、分别是ac、bd中点 /ghde， 1 2 ghde /ghac， 1 2 ghac /ghaf，ghaf 四边形afgh是平行四边形2 分 /gfah ah 平面abe，fg 平面abe /gf平面abe4 分 (2)解：连接febfce、 四边形acde是边长为 2 的菱形，且所在平面与平面abc垂直， 3 eac ace为等边三角形 efac，且3ef 5 分 ef 平面abc6 分 2abbc 222 abbcac h g f ed c b a 理科数学试题 b 第 6 页（ 共 10 页） abbc，且bf 平面acde，1bf 8 分 过d向平面abe做垂线dk，设垂足为k，连接ek，则dkbe ef 平面abc，bf 平面acde acef，acbf ac 平面bef acbe acde debe be 平面dke beek dek是二面角abed的平面角0 分 在 t rbfe中，2be 故等腰abe面积为 7 2 abe s 又 d 1 3 2 aeacde ss 菱形 由 -d abeb aed vv 锥锥 得 11 33 abeaed dk sbf s 得 2 3 7 aed bf s dk s abe 2 分 在 t rdke中 2 3 21 7 sin 27 dk dek de 3 分 二面角abed的正弦值为 21 7 4 分 19.（本小题满分本小题满分 14 分分） 设数列 n a的前 n 项和为 n s，1 1 a，且满足 2 5 ) 1( 2 3 1 n nn as， * nn （1）求 2 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； 理科数学试题 b 第 7 页（ 共 10 页） （3）记 n n a b 1 ， * nn，求证： 2 3 21 n bbb (1)解:令1n,有 2 5 ) 1( 2 3 21 as,1 11 as,5 2 a(2 分) (2)解: 2 5 ) 1( 2 3 1 n nn as， * nn )2( 2 5 ) 1( 2 3 1 1 nas n nn 两式相减: 1 11 ) 1( 2 3 ) 1( 2 3 nn nnnn aass（3 分） n nn aa) 1(32 1 （4 分） ) 1( 2) 1( 1 1 n n n n aa （5 分） ) 1(2) 1(2) 1( 2) 1( 1 1 1 1 21 1 aaaa nn n n n n n 1 2 n （6 分） 令 n nn ac) 1(，则 n c为以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， n n c2（7 分） nn n a) 1(2， * nn（8 分） （3）证明： n n aaa bbb 111 21 21 nn ) 1(2 1 ) 1(2 1 ) 1(2 1 ) 1(2 1 ) 1(2 1 44332211 2345 111111 2 12121212121 n 当2n时， 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 1 1 1 n n n （10 分） 当4n时， 12 1 ) 2 1 ( 12 1 3 3 n n （11 分） 23 123123 111 1( )( )( ) 2 22 n n bbbbbbb （12 分） 2 23 1 1 ( ) 111 2 1 2 12121 1 2 n （13 分） 2 7 1 5 1 1 1 2 3 70 105 70 104 35 52 （14 分） 理科数学试题 b 第 8 页（ 共 10 页） 20.（本小题满分本小题满分 14 分分）已知双曲线e：)2( 1 4 2 2 2 2 a a y a x (1)若e的一条渐近线为直线xy 3 5 ，求e的方程； (2)设e的左、右焦点为 1 f、 2 f，点p为双曲线上的点，直线pf2交y轴于点q，并且qfpf 11 ，当a变 化时，若点p是第一象限内的点，则点p在某一条定直线上吗？如果这条定直线存在，请求出直线方程；如 果不存在这条定直线，请说明理由 ()解：的渐近线方程为：x a a y 4 2 ，（分） a a4 3 5 2 (分) 解得：9 2 a（分） 2a，3a（分） 双曲线e的方程为：1 59 22 yx （分） ()解：假设这条定直线存在 设),(yxp、), 0( q yq，而42 2 ac，)0 ,( 1 cf 、)0 ,( 2 cf 由p、 2 f、q三点共线知)0,( xcx cx y x yy q ，（分） 即 q yc y xc ，（分） 所以),( 1 ycxpf，),( 1 cx yc cqf （分） 因为qfpf 11 ，所以0 2 2 11 cx cy cxcqfpf，（分） 故 222 cyx，即42 222 ayx，（分） 与双曲线方程联立得， 1 4 42 2 2 2 2 222 a y a x ayx 解得 4 4 2 a x ， 4 )4( 22 2 a y，（分） 若点p为第一象限内的点，则0x，0y， 理科数学试题 b 第 9 页（ 共 10 页） 所以 2 2 a x ， 2 4 2 a y，（分） 2 yx， 即点p在定直线2 yx上（分） 21. （本小题满分本小题满分 14 分分）已知函数)()(raaxexf x (1)求函数)(xf的极值； (2)若函数存在两个不同的零点 1 x、 2 x，求证：axxln2 21 ()解：aexf x )(分) 当0a时，0)(axf，(分) )(xf为上增函数，没有极值；(分) 当0a时，令0)( x f，解得