模糊逻辑与近似推理.ppt

从17世纪德国数学家莱布尼兹开始，不少数 学家和哲学家共同努力，把数学方法用于哲学的 研究，出现了逻辑与数学相结合的一门新学科 数理逻辑。数理逻辑又称为符号逻辑，是一种二 值逻辑。 在模糊逻辑的发展过程中，首先突破了二值 逻辑，在二值逻辑的基础上，扩展成了多值逻辑 ，模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。 3.1 模糊逻辑 二值逻辑： 二值逻辑也称为布尔逻辑。只取真，假，即非此即彼 的逻辑，用一整套符号代替人们的自然语言。 多值逻辑： 认为逻辑真值具有离散的中间过渡，通过穷举中介的 方法表示过渡性，其真值可以是01的任何值。多值逻辑 本质上是一种精确的逻辑。 模糊逻辑： 模糊逻辑是在多值逻辑基础上发展起来的。用带有模 糊限定算子（例如：很，略，比较，非常等）的从自然语 言提炼出来的语言真值（例如：年轻，非常年轻等）或者 模糊数（例如，大约25，45左右等）来代替多值逻辑中命 题的确切数字真值，就构成模糊语言逻辑。 模糊逻辑可在0，1闭区间上连续取值，认为事物在 形态和类属方面具有亦此亦彼模棱两可的模糊性，其真值 也是模糊的。承认从01 之间有无穷多个相互渗透的中 介。它为自然语言的语意表达提供了一个具有充分弹性的 自然系统工具。可以处理几乎有无穷多个“大多数”，“很少 ”，“多于10个”等这样的模糊量词。然而为方便起见，模糊 逻辑往往借助多值逻辑来表示。 2.4.1模糊逻辑基本运算 模糊逻辑的基本运算是通过连接词：“、 ”将原子命题组成复合模糊命题。 模糊命题是普通命题的推广。概括起来，模糊逻辑是研究 模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模 糊性的陈述句。模糊命题有真值不是绝对的“真”或“假”，而是 反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是 有多个值，甚至是连续量。普通命题的真值相当于普通集合中 元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以真 值的运算也就是隶属度函数的运算。 合取是“与” 或“交”的意思，如果用P、Q分别表示 两个命题，则由合取联结词构成的复合命题表示为PQ。 复合命题PQ的真值是由两个简单命题的真值来决定的， 仅当P和Q都是真时，PQ才是真。 PQ =min（P，Q） 例 P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。 则 PQ：他喜欢打篮球并且喜欢跳舞。 析取 是“或” 或“并”的意思，如果用P、Q分别表示两个 命题，则由析取联结词构成的复合命题表示为P Q。复 合命题P Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的， 仅当P和Q都是假时，P Q才是假。 P Q =max（P，Q） 例 P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。 则 PQ：他喜欢打篮球或喜欢跳舞。 蕴含表示“如果那么”。由于命题P的成立，即可 推出Q也成立，以PQ来表示。 PQ =（1-P）Q) 1 例 P：甲是乙的父亲； Q：乙是甲的儿女。 则 PQ：若甲是乙的父亲；那么乙必定是甲的儿女。 例： P：水箱温度偏低， Q：蒸汽阀门被开得较大。 则 PQ：若水箱温度偏低，那么蒸汽阀门被开得较大。 例 设有模糊命题 P：他是个和善的人，它的真值P0.7； Q：他是个热情的人，它的真值Q0.8。 则： PQ ：他既是和善的人又是热情的人的真值 PQ =min（P，Q） PQ ：他是个和善的人或是个热情的人的真值 P Q =max（P，Q） PQ ：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值 PQ =（1-P）Q) 1 否定是对原命题的否定。如果用P是真的，则 是假的 。 例 P：他喜欢打篮球：则 ：他不喜欢打篮球。 等价表示两个命题的真假相同。是“当且仅当”的意 思。 PQ=（PQ）（QP） 例 P：A是等边三角形； Q：A是等角三角形。 则 PQ ：A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。 如果是P那么是Q,并且有如果是Q,那么是P。 模糊逻辑有界积： 模糊逻辑有界和： 模糊逻辑有界差： 根据以上模糊逻辑的基本运算定义，可以得出以下模糊逻辑 运算的基本定律 幂等律： P P = P ； P P = P 交换律： P Q = Q P ； P Q = Q P 结合律： P （Q R） = （P Q） R P （Q R） = （P Q） R 吸收律： P （ P Q ） = P P （ P Q ） = P 分配分律： P （Q R） = （P Q）（Q R ） P （Q R） = （P Q）（Q R ） 双否律： 德摩根律： 常数运算法则： P 1 = 1；P 0= P P 1 = P；P 0= 0 注意： 与二值逻辑不同之处是二值逻辑中的互补律， 。在模糊逻辑中互补律是不成立，模 糊逻辑的互补运算满足 利用这些基本公式就可化简模糊逻辑函数，以便根据化简 得到的结果来组成最简单的模糊逻辑控制电路。 2.4.2 模糊逻辑函数运算 二值逻辑只可能取两个值0和1，这两个值都有确切的意义 ，例如它们分别代表开关的“断开“和“接通”、电平的“低”和“高 ”等。但在模糊逻辑中，其真值可取从0到1之间的无穷多个任 意值。这在实际问题应用中就难以处理。 为了能方便地应用于实际，往往就把模糊函数变量 x 分成 若干有限级。这样就可用多值逻辑的方法来处理模糊逻辑问题 。 例如，若“水温中等”和“水温高”的隶属函数曲线如图2.4.1所示 ，那么，我们可把从0到100的水温分割成10级，取每级的 隶属度用列举法写出其隶属函数： M(x) = x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50 +0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100 H(x) = x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/50 +0.5/60+0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 在二值逻辑中函数“与”和“或”的运算比较单纯；但在模 糊逻辑中就有几种不同的方法。下面以“水温中等”和“水温高 ”为例，对三种不同的方法进行比较。 模糊逻辑“与”和“或”运算 “与” “水温中等”“水温高” = min( M(x), H(x) ) =x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.25/50+0.5/60 +0.25/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100 “或” “水温中等” “水温高” = max( M(x), H(x) ) =x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50+0.5/60 +0.75/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 模糊“有界积”和“有界和”运算 “有界积”： “水温中等” “水温高” = max( M(x)+ H(x)-1，0 ) =x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.0/50 +0.0/60+0.0/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100 “有界和”： “水温中等” “水温高” = min( M(x)+ H(x)，1 ) =x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+1.0/50 +1.0/60+1.0/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 模糊“代数积”和“代数和”运算 “代数积”： “水温中等” “水温高” = M(x) H(x ) =x|0.0/0+0.0/10+0.0/20+0.0/30+0.0/40+0.19/50 +0.25/60+0.19/70+0.0/80+0.0/90+0.0/100 “代数和”： “水温中等” + “水温高” = M(x)+ H(x)- M(x) H(x ) =x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.81/50 +0.75/60+0.81/70+1.0/80+1.0/90+1.0/100 模糊逻辑补运算 在二值逻辑中的“非”运算只需将0与1之相对调即可， 而模糊逻辑“补”运算则要通过用1.0与隶属函数运算来完成 。例如： M=“水温中等” M(x) = x|0.0/0+0.25/10+0.5/20+0.75/30+1.0/40+0.75/50 +0.5/60+0.25/70+0/80+0.0/90+0.0/100 =“水温不是中等” = x|1.0/0+0.75/10+0.5/20+0.25/30+0.0/40+0.25/50 +0.5/60+0.75/70+1,0/80+1.0/90+1.0/100 3.2 模糊语言变量及其算子 模糊逻辑原则上是一种模拟人思维的逻辑，要用从0到1的 区间上的确切数值来表示一个模糊命题的真假程度，有时是很 困难的。人在日常生活交流中用的自然语言则能用充满了不确 定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。自然语言可以对 连续性变化的现象和事物既进行概括抽象又作模糊分类。要想 用机器来模仿人的思维、推理和判断，扎德教授在1975年提出 了语言变量的概念。语言变量是一种模糊变量，它是用词句而 不是用数字来表示变量的“值”。引进了语言变量后，就构成了 模糊语言逻辑。模糊集的应用为系统地处理不清晰、不精确概 念的方法提供了基础,这样就可以应用模糊集来表示语言变量。 然而语言变量既可用模糊数来表示，也可用语言术语来定义。 （1）模糊数 定义：连续论域U中的一模糊数 F（例如一实线 ）是一个U上的正规凸模糊集. 那就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续 隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。 通俗地说，就是把那些诸如“大约5”，“10左右”等 具有模糊概念的数值称作模糊数模糊数。 这里凸模糊集的直观几何意义是,假设F表示”速度 快”这个模糊集,如下图所示,u1的速度慢， u2的速度快 ，那么, u1和 u2连线上的任意点 u的速度都比u1快而比 u2 慢。 （2）语言变量 定义：语言变量用一个有五个元素的集合 （X，T(X)， U，G，M）来表征，其中X是语言变量名；T(X)为语言变量 X的项集合，即语言变量的名集合，且每个值都是在 U上定 义的模糊数 xi ，U为语言变量X的论域；G为产生x数值名的 语言值规则，用于产生语言变量值的；M为与每个语言变量 含义相联系的算法规则。它们的相互关系可用下图表示，语 言变量通过模糊等级规则，可以给它赋予不同的语言值以区 别不同的程度。 “速度”为一语言变量，可以赋予很慢，慢，较慢，中等 ，较快，快，很快等语言值。这里用不同的语言值表示模糊 变量速度形态程度的差别，但无法对他们的量做出精确的定 义，因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。在实 用中，为了方便于推理计算，常常还要用模糊定位规则，把 每个语言值用估计的渐变函数定位，使之离散化，定量化和 精确化。这样项集合就可以写成这样的形式： T（速度）=快、中速、慢、非常慢 其中项集合 T（速度）中的每一个左右项都与论域U中的一 个模糊集对应。我们可以把“慢”看成低于50km/h的速度；“中 速”为接近70km/h；“快”为高于90km/h。以四个项为例，这些 项可用隶属函数如图所示的模糊集来表示。 虽然语言变量与我们熟悉的数值变量不同，数值变量的结 果是精确的，但是对模糊的自然语言形式化和定量化，进一步 区分和刻画模糊值的程度，常常还借用自然语言中的修饰词， 诸如“较”，“很”，“相当”，“极”等来描述模糊值，为此引入语 言算子的概念。语言算子常常又分为三类：语气算子，模糊化 算子和判断化算子。 （3）语言算子 语气算子语气算子： 语气算子用于表达模糊值的肯定程度，可分成相反的两类： 一类是强化算子亦称集中化算子一类是强化算子亦称集中化算子，起加强语气的作用，例 如：“很”、“极”、“非常”等，可以使模糊值的隶属度减小 ，其分布向中央集中，如图所示，集中化算子在图形上有 使模糊值尖锐化的倾向。 另一类是弱化算子亦称淡化算子或松散化算子另一类是弱化算子亦称淡化算子或松散化算子，起减弱语 气的作用，例如：“比较” “稍许”等，可使隶属度增大，其 分布由中央向两边离散，在图形上使模糊值平坦化。 为了规范语气算子的意义，扎德曾对此作了如下约定：用 H作为语气算子来定量描述模糊值，若模糊值为A，则把H定 义为HA=A。 由于隶属度函数的取值范围在闭区间0，1，由于集中化 算子的幂乘运算的幂次大于1，故乘方运算后变小，即隶属函 数曲线趋于尖锐化，而且幂次越高，越尖锐；相反， 松散化 算子的幂次小于1，乘方运算后变大，隶属函数曲线趋于平坦 化，幂次越高越平坦。 模糊化算子：模糊化算子： 模糊化算子是把肯定转化为模糊或使模糊更模糊。如果 对数字进行作用，就把精确数转化为模糊数。诸如“大约”，“ 近似”等这样的修饰词都属于模糊化算子。例如数字65是精确 数，而“大约65”就是模糊数。 如果对模糊值进行作用就使模糊值更模糊，例如“年轻” 是个模糊值，而“大约年轻”就更模糊。 在模糊控制中，采样的输入量总是精确量，要利用模糊 逻辑推理方法，就必须首先把输入的精确量模糊化。模糊化 实际上就是使用模糊化算子来实现的。 判定化算子判定化算子 判定化算子是与模糊化算子有相反作用的另一类算子， 其作用是把模糊值进行肯定化处理，对模糊值做出倾向性判 断，其处理方法类似于“四舍五入“，常把隶属度为0.5作为分 界来判断。 例如“倾向于”“偏向于”等，被称为判定化算子。 （4）语言值 语言值：在语言系统中，那些与数值有直接联系的词， 如：长、短、多、少、高低等，或者由它们加语言算子派生 出来的词语如不太大、非常小、较轻、偏高等叫语言值。 它们以实数域R（-,+ ）或其子集为论域的口语化量词。 例如：可能，不大可能，不可能 语言值一般都是模糊的，可用模糊数来表示。往往按其 论域作离散化处理。 例如：成年男子身高论域 U=130、140、150、160、170、180、190、200、210 =u1、 u2、 u3、 u4、 u5、 u6、 u7、 u8、 u9、 在论域U上定义： 个子高= 将语言算子作用于这些语言值： 个子很高=H2个子高= 个子极高=H4个子高= 个子倾向高= 判定化算子 例如：成年男子身高论域 U=130、140、150、160、170、180、190、200、210 =u1、 u2、 u3、 u4、 u5、 u6、 u7、 u8、 u9、 在论域U上定义： 个子矮= 将语言算子作用于这些语言值： 个子较矮=H1/2 个子矮= 个子倾向矮= 语言真值就是由0，1区间的模糊子集所表现的命题的真假程度。 判定化算子 3.3 模糊逻辑与近似推理 （1）模糊逻辑推理 模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，它是一种 以模糊判断为前提，运用模糊语言规则推出一个新的近似 的模糊判断结论的方法。 这种推理是近似的、非确定性的，其前提和结论都具 有模糊性。 例如：大前提：健康则长寿。 小前提：老人很健康。 结 论：老人似乎会很长寿。 这里小前提中的模糊判断和大前提中的前件不是严 格相同，而是相近，有程度上的差异，其结论也应该是 与大前提中的后件相近的模糊判断。 （2）模糊蕴含关系 “如果x为A，则y为B ”，表示了A与B之间的模糊 蕴含关系，记为 AB 。它相当于普通集合中因果关系 ，但又不是简单的因果关系 。 在模糊逻辑控制器中常用到下列几种模糊蕴含关系 的运算方法： 模糊蕴含最小运算（Mamdani） 模糊蕴含积运算（Larsen) 模糊蕴含算术运算（Zadeh) 模糊蕴含的最大最小运算（Zadeh) 模糊蕴含的布尔运算 模糊蕴含的标准法运算a. 例题：设论域X=a1、a2、a3、a4、a5和Y =b1、b2、b3、b4 上的模糊集合分别为： “大”“小” 则模糊关系“如果x为小，则y为大”的模糊关系矩阵RAB等于： = 0.8 （3）模糊逻辑推理方式和方法 模糊逻辑推理方法有多种，尚在发展中。这里介绍扎德方法。 模糊蕴含推理规则： 广义的前向推理法GMP 广义的后向推理法GMT GMP推理规则： 前提1： X为A， （知识） 前提2：若X为A则Y为B, (事实) 结论： Y为B。 推理公式： 其中“R”为模糊蕴含关系，它可采用任何一种运算方法，常 用模糊蕴含最小运算Rc和模糊蕴含积运算Rp，“o”是合成运 算符,“ B”是模糊集合。 近似推理或语言推理 模糊条件推理 多输入模糊推理 多输入多规则模糊推理 从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规 则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。 近似推理或语言推理 人们平常如果遇到象“如果x小，那么y就大”这样的前提， 要问“如果x 很小，y将怎样呢？”，我们会很自然地想到“如果 x 很小，那么y就很大”。人们所使用的这种方法就被称做模糊 假言推理或似然推理。这是一种近似推理方法。它可以这样 来表达： 大前提：如果x 是A，那么y是B； 小前提： x 是A； 结 论： 那么y是B=Ao（AB）； 该结论B可用A和A到B的推理关系进行合成而得到，其中 的算子“o”表示合成运算，R=（ AB）是蕴含运算，表示由A 到B进行推理的关系或者条件，即是“如果x 是A，那么y是B”简 化表示方法；这里： “R”可以采用不同的蕴含关系表示。 “A”可以加语言算子取不同的值，如很A、略A、非A等。 “o”合成运算也可以采用不同的方法。 uZadeh的模糊推理方法 为了求得模糊条件“若X is A 则 Y is B”所确定的X与Y之间的 模糊关系R，Zadeh提出两种方法。一种称之为条件命题的极大 极小规则，由此获得的模糊关系用Rm表示，另一种称之为条 件命题的算术规则，由此获得模糊关系用Ra表示。 令A、B分别为X和Y的具有如下形式的模糊集： 由条件命题“若X is A 则 Y is B”所确定的X与Y之间的模糊关系 表示为： 故而，由条件命题“若X is A 则 Y is B”及“X is A ”所确定的“ Y is B ”中的B 可按下式求得： 其中 则： B m，B a按在Y上的隶属函数分别是： uMamdani最小运算规则 Mamdani提出最小运算规则确定的X与Y之间的模糊 关系，由此模糊关系用Rc表示: “Y is B ”中的B 可按下式求得： 其中 则：B c按在Y上的隶属函数分别是： 令： 是指模糊集合A对A交集的高 度，也可以表示为 ，这可以看成是对 的适配程度或隶属度。 如果A 和A完全一致，那么隶属度=1，结论当然B 和 B完全一致，说明这种推理方法包容传统的二值逻辑推理方 法。 扎德的细分语气算子： 例题：人工调节炉温，有如下经验规则：“如果炉温低，则应施 加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”、“略低”、“不低”时 ，应施加怎样的电压？ 解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y 的论域为： X=Y=1，2，3，4，5 设A表示“炉温低”的模糊集合，且有： 设B表示“电压高”的模糊集合，且有： 模糊蕴含最小运算法 合成运算按最大最小规则计算： 炉温低： 推理结果满足直觉判据 合成运算按最大最小规则计算： 炉温非常低： 推理结果满足直觉判据 尚属满足要求 合成运算按最大最小规则计算： 炉温略低： 推理结果满足直觉判据 尚属满足要求 合成运算按最大最小规则计算： 炉温不低： 直觉推理 结果与直觉判据有较大出入！ 模糊蕴含积运算法 合成运算按最大最小规则计算： 满足直觉判据 不满足直觉判据 模糊蕴含算术运算法 基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。 合成运算按最大最小规则计算： 低： 非常低： 略低： 不低： 模糊蕴含最大最小运算法 基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。 合成运算按最大最小规则计算： 低： 非常低： 略低： 不低： 模糊蕴含布尔运算法 基本上均不满足直觉判据，所以在模糊逻辑控制中很少使用。 合成运算按最大最小规则计算： 低： 非常低： 略低： 不低： 模糊蕴含标准运算法 与直觉判据具有较好的符合程度。 合成运算按最大最小规则计算： 低： 非常低： 略低： 不低： 模糊蕴含标准运算法 合成运算按最大最小规则计算： 低： 非常低： 略低： 不低： 基本上均不满足直觉判据。 模糊条件推理 在模糊逻辑控制中，经常用到模糊条件推理。其形式是： 如果什么是什么，那么怎么怎么，否则怎么怎么。 用语言规则表示，即： 如果A，那么B，否则C。 其逻辑表达式是 其模糊关系R是XY的子集，可以表示为 其模糊关系矩阵中的各个元素可通过下式求出： 有了这个模糊关系，就可根据推理合成规则，将输入A该关系 R进行合成得到模糊推理结论B，即 这个模糊推理合成计算式在模糊控制中得到广泛应用。在一 些简单的应用中往往先根据此式用穷举法把各种可能得到的 推理结论值计算出来，再列成查询表供推理过程用查表法实 现推理计算。 例 对于一个系统，当输入例 对于一个系统，当输入A A时，输出为时，输出为B B，否则为，否则为C C。 已知已知 解 先求关系矩阵解 先求关系矩阵 ，求输出，求输出D D 多输入模糊推理 以上讨论的都是模糊推理关系的前件部为一个输入的情 况，但在模糊控制系统经常遇到的问题往往是多输入的，特 别是两输入的情况，例如“如果压力偏高而且还在继续升高， 那么停止加热”这样的规则。其一般形式为： 如果A且B,那么C； 现在 如果A且B ,那么C ； 这里A和 A ， B和 B ， C和 C ，分别是不同论域 X、Y、 Z上的模糊集合。 “A和B”，英语表示式为“A and B”，其意义是： “如果A且B ,那么C ”的数学表达式： 若用玛达尼推理方法，就是用玛达尼蕴含定义 由此，推理结果为： 其隶属函数为： 是指模糊集合是指模糊集合A A与与A A 交集的高度。玛达尼推理削顶法的几何交集的高度。玛达尼推理削顶法的几何 意义是分别求出意义是分别求出A A 对对A A、 B B 对对B B的隶属度，的隶属度， ，并且取这两个，并且取这两个 之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基 准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论C C 。 二输入玛达尼推理法过程 两输入的情况很容易就可推广到多输入的情况，只要分别 先求出各个输入对推理前件中相应条件的隶属度，再取其中最 小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，去切割推理后件的 隶属函数，便可得到推理的结论。 如果各语言变量的论域是有限集时，即模糊子集的隶属度 函数是离散的，则模糊逻辑推理过程可以用模糊关系矩阵的 运算来描述。下面以一类模糊控制器为例来说明离散模糊子 集下的模糊逻辑推理。已知当A和B时，输出为C，即存在推 理规则