次型及其标准型1.ppt

在平面解析几何中，我们知道标准方程 中 的图形为圆。 的图形为椭圆。 的图形为双曲线。 对于一般二次曲线的图形是什么？ 6.36.3 二次型及其标准型二次型及其标准型 引言 判别下面方程的几何图形是什么？ 作旋转变换 代入(1)左边，化为： 见图所示. 称为二次型。（1） 含有n个变量 的二次齐次多项式定义定义1 1 注：关于二次型的讨论永远约定约定在实数范围内. 一、基本概念 例如： 都是二次型。 不是二次型。 取则 则（1）式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中A为对称矩阵。 二次型的矩阵表示（重点） 注: (1) 对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 (2) 其对角线上的元素恰好是 的系数。 (3)的系数的一半分给可保证 例如：二次型 注：二次型 对称矩阵 把对称矩阵A称为二次型f 的矩阵； 也把二次型f 称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型f 的秩，记为r( f ). 二次型定义定义2 2 例1写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩。 解: 问问： 在二次型 中,如不限制A对称, A唯一吗? 定义定义3 3 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 注：注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排 系数为-1的项。 平方项系数只在 中取值的标准形 称为二次型的规范形。 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得 则称A与B合同. 定义定义4 4 (1) 自反性：A与A合同； (2) 对称性：若B与 A合同，则A与B合同; (3) 传递性：若A与B合同, B 与C合同，则A与C合同 . 说明：矩阵的合同等价相当于二次型可以互化 (也 称二次型等价). 在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即 简记 若 二、可逆线性变换 为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称 当C是正交矩阵时，称 为正交变换。 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型经过可逆线性变换 使得 为什么研究 可逆变换？ 即经过可逆线性变换可化为 三、化二次型为标准形1.正交变换法（重点） 2.配方法 目标： 问题转化为： 回忆： 此结论用于二次型。 所以， 主轴定理主轴定理 1. 正交变换法(重点) 解:二次型的矩阵为 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的 正交变换。 例1 3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化： 5) 写出正交变换X=QY，则可得标准型 注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。 例2 解解 的特征值 (1)求二次型的矩阵 (2)求A的规范正交的特征向量 单位化 得正交的基础解系 单位化 (3)求正交变换矩阵 (4)写出二次型的标准形 用正交变换X= PY，二次型f 化为标准形为 经正交变换 化为标准形 例3设二次型 求(1)a,b ;(2)正交变换矩阵Q. 解解 二次型的矩阵为 由题意 由相似矩阵的性质得 ，从而 解得 A与D有相同的特征值，分别为 求得它们对应的特征向量(正交)为 再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 2. 配方法 同时含有平方项与交叉项的情形。 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。 解： 例4 令 二次型的标准形为 所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为 即 解: 令 只含交叉项的情形。 为标准形,并求出所作的可逆线性变换. 用配方法化二次型 例5 即 即令 则二次型的标准形为则二次型的标准形为 所用的可逆线性变