上机教学二线性代数综合实例.ppt

线性代数 上机教学 理学院 Science College 西南石油大学西南石油大学 Southwest Petroleum UniversitySouthwest Petroleum University 二 线性代数综合实例 1 上机目的：上机目的： 一、培养学生运用线性代数的知识解决实际一、培养学生运用线性代数的知识解决实际 问题的意识、兴趣和能力问题的意识、兴趣和能力 ； 二、掌握常用计算方法和处理问题的方法二、掌握常用计算方法和处理问题的方法. . 2 上机内容：上机内容： 一、求一、求向量组的最大无关组； 二、解线性方程组； 三、解决实际问题举例. 上机软件：上机软件：MatlabMatlab 例1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组. 解：在Matlab中输入： a=1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4; b=rref(a) 求得: 所以 是一个极大无关组,且 一、求一、求向量组的最大无关组 3 b = 1.0000 0 0.3333 0 1.7778 0 1.0000 0.6667 0 -0.1111 0 0 0 1.0000 -0.3333 0 0 0 0 0 解： 在Matlab中输入： 4 故 二、解线性方程组 一、直接解法 利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运 算符“”求解： x=Ab 例1 用直接解法求解下列线性方程组. 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab 5 2利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指：根据一定的原理用某种算法将一 个矩阵分解成若干个矩阵的乘积.常见的矩阵分解有 LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分 解、Hessenberg分解、奇异分解等. 6 、LU分解 (i)、矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角 矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式.线性代数中已经证明， 只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的. (ii)、 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调 用格式为： L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU.注意，这里的矩阵X必须是方 阵. L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU.当然矩阵X同样必须是方 阵. (iii)、实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U(Lb)或 x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度. 7 例2 用LU分解求解例1中的线性方程组. 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; L,U=lu(A); x=U(Lb) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： L,U ,P=lu(A); x=U(LP*b) 8 解得： x = -66.5556 25.6667 -18.7778 26.5556 (2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交 矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式.QR分解只 能对方阵进行.MATLAB的函数qr可用于对矩阵 进行QR分解，其调用格式为： Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上 三角矩阵R，使之满足X=QR. Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个 上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足 XE=QR. 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解: x=R(Qb)或x=E(R(Qb). 9 例3 用QR分解求解例1中的线性方程组. 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; Q,R=qr(A); x=R(Qb) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： Q,R,E=qr(A); x=E*(R(Qb) 10 三、解决实际问题举例 例1 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥 每千克含氮70g、磷8g、钾2g;乙种化肥每千克含 氮64g、磷10g、钾0.6g; 丙种化肥每千克含氮70g 磷5g、钾1.4g.若把此三种化肥混合,要求总重量 23kg且含磷149g、钾30g,问三种化肥各需多少千克? 11 12 解: 设甲、乙、丙三种化肥分别需 千克,依题意得方程组: 用Matlab解方程组: A=1 1 1;8 10 5;2 0.6 1.4;b=23;149;30; X=inv(A)*b （X=Ab） 13 X= 3.0000 5.0000 15.0000 结果分析: 方程组的解为: 即甲、乙、丙三种化肥分别需3kg、5kg、15kg. 四、上机作业 1、设A=2 1 2 4; 1 2 0