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文档简介

定积分的概念 a bx y o 原型 （求曲边梯形的面积） 一、抽象定积分概念现实原型 面积怎么求？面积怎么求？元素法元素法 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可 概括“分割-取近似-求和-取极限” 的步骤. 将曲边梯形的底，即a ,b进行分割(用垂直于x 轴的直线). 第一步 分割； 曲边梯形的面积的解决思路： a bx y o 取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. 第二步 取近似； a bx y o 用矩形面积近似用矩形面积近似 小曲边梯形面积小曲边梯形面积 底 典型小区域面积 a bx y o 第三步 求和； 矩形面积和与曲边梯 形面积不相等 有误差有误差 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所 有的小矩形面积加起来. 第四步 取极限. 当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之 和越近似于曲边梯形面积. a bx y o 二、 定积分的定义 定义 以直代曲 求和 被积函数 被积表达式 积分上限 积分下限 积分变量 积分和 取极限 注意： 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义 几何意义 例1 解 定理 三、定积分的性质 定理 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 定理 （积分区间的可加性） a bc Sac Scb S 定理 对定积分的补充规定: 定理（保序性） 推论（保号性） 定理 （有界性） 例2 解 . 定理（绝对值不等式） 用保序性证得 定理（积分中值定理） 积分中值公式的几何解释 定积分的计算 定积分计算 如何计算定积分？如何计算定积分？ 定义很复杂，直接计算很困 难.需要转换新的思路. 根据几何意义，图不好画 定理 牛顿-莱布尼茨公式 微积分基本定理 微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题 例1 求 解 提示与分析： 先看成不定积分问题 ，求出原函数. 例2 例如 问题 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程令 第一换元法 考虑 到底该令哪个式子为u 一定要换积分上、下限 第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式: 解 例4 计算 说明:使用第一换元法的关键在于将 化为 观
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