《误差理论与测量平差基础教学课件》第四讲.pptVIP

第二章 误差理论与最小二乘原理 Error Theory and The Least Squares Principle 第三讲 精度估计标准（复习） 思考题 1、什么是精度、准确度、精确度？它们之间有什 么区别和联系？ 2、什么是中误差？为什么要定义中误差？ 3、什么是平均误差？它和中误差的关系是什么？ 4、什么是或然误差?它和中误差有什么关系? 5、何为相对误差？为什么定义相对误差? 6、何为极限误差？它是哪些量的限差? 第三讲 精度估计标准（复习） 1、在仅含有偶然误差时，精度和精确度是统一的 上节课内容回顾： 2、方差指的是随即变量的离散程度，亦即反映 了随即变量精度的高低 3、衡量精度的标准包括：中误差、平均误差和 或然误差，统称为绝对误差 4、相对误差一般用于长度测量 5、极限误差是真误差的限值（界限） 第四讲 参数估计和最小二乘原理 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 2、Properties of The Estimates 3、Maximum Likelihood Estimate 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation . Collectivity（母体，总总体） .Individual（个体） 随机变量可能取值的全体 1) Some Concepts 组成母体的每个单元 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation . Sample（子样样，样样本） . Amount（容量） 1) Some Concepts 总体中随机抽取的若干个体 样本中个体的数目 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation . Theoretical Characteristic .Statistical Characteristic 1) Some Concepts 母体所具有的特性（理论方差，理论分布） 子样具有的特性（统计分布，统计方差） No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation Example: 某项观测所有可能取得的观测值为总体 一观测组的n个观测值称为子样（样本） n就是子样的容量 观测本身就是抽样 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation n 科学实践中，常以子样的某些特征估计推 断母体的相应的特征 2) Parameters Estimation n 此时，我们关心的不是母体的分布，而是 母体的某些数字特征 例如，为了推断一批灯泡的质量，就要求出这批灯 泡的平均使用寿命，使用时数长短的差异，即要推 断母体的期望和方差 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 2) Parameters Estimation 例如，已知偶然误差服从正态分布，需要确定的 只是期望和方差，因此确定分布问题又归结为确 定其中参数的问题。 n 当需要确定母体分布时，亦可以事先断定 母体服从某种分布，未知的还是母体的某 些数字特征 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 2) Parameters Estimation 通常，我们能得到母体的理论特征值吗？ 因为子样具有随机性； 因为子样的容量不可能很大； No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 2) Parameters Estimation 参数估计定义： 用有限个数的子样观测值，来估计母 体中某些特征参数的问题 分为点估计和区间估计分为点估计和区间估计 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 3) Point and Interval Estimation A、点估计的定义 母体X服从某种分布，概率密度函数f(x)，其中有 参数 ，则PDF通常写作f(x; )，设参数个数为t 个。现从母体中抽取子样(x1,x2,xn)，点估计就 是遵循某种原则，由子样构成一些统计量 (x1,x2,xn) 将这些分别作为母体参数的估计量。由子样观测 值计算出的数值称为参数的估值。 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 3) Point and Interval Estimation B、区间估计的定义 在一定置信概率下，估计参数所在区间的方法。 例如，或然误差的求法。 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 4) Parameters Estimation in LS 依据作为子样的观测值，估计被观测量母 体的均值和母体的方差。 No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1、Concepts of Parameters Estimation 4) Parameters Estimation in LS 例：对某量x（如角度）进行了n次等精度、独立观测，得子样 观测值 ，在不含系统误差时，母体服从正态分布，即x（ u， ），其中u， 是其数学期望和方差，求其估值。 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1) Unbiased 若参数 的估计量 的 数学期望等于参数 ，即 称 为 的无偏估值 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1) Unbiased 例1：证明子样的均值是母体均值的 无偏估值。 例2：证明子样的统计方差是母体方差的有偏估值。 期望表达式： 因为 所以 取 子样统计方差有偏 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1) Unbiased 例3：Bessel 公式。 当未知参数个数为1，观测值个数为 n时，根据改正数计算中误差公式 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 2) Validity 设 和 都是 的无偏估值，如果 的方差小于 的方差，即 称 比 更有效。 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 2) Validity 例1：证明均值比任一观测值更有效。 当n1时，子样平均值比观测值更有效。 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 3) Identical 如果参数 的估计量 ，随着子样容量n 的增大，依概率收敛于 ，则有 称 为 的一致估计量。 2、Properties of The Estimates No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 证明:子样均值是母体均值的严格一 致估计量。 3) Identical 3、Maximum Likelihood Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS Description： 1）f(x)称为PDF，f一定时，可以计算 点密度和区间密度； 2）当分布参数已知时，任一向量都有 确定的概率密度，但是，我们关心 的是向量取值观测向量时的概率密 度；在观测向量确定后，如何估计 分布参数就是参数估计 3、Maximum Likelihood Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS Description： 3）如果不附加任何条件，分布参数取 值不唯一； 4）极大似然估计：子样出现概率为最 大的前提下，来求取未知参数估计 量的方法。 3、Maximum Likelihood Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS Example： 设观测值母体服从正态分布N（a,2),由子样（ x1,x2,xn)求参数a和2的最大或然估计量。 解：或然函数取对数得到 3、Maximum Likelihood Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 最大或然估计就是：当子样（x1,x2,xn)取值确定 后，参数a和2取何值时，或然函数取值最大。 分别对a和求导，令其等于零 3、Maximum Likelihood Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 解得 当母体服从正态分布时，子样算术平均值和子样方 差就是母体数学期望和方差的最大或然估计量。 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 1）设某一量n个非等精度观测结果L1,L2,Ln，观测 值服从正态分布，以中误差mi代替均方差 ，以估 值 代替E(L),组成的或然函数为 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 或然估计就是使上式取得最大值，即 亦即 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 上式乘以常数22， 对求最小值无影响 vi表示观测值Li和参 数估值 之差 并令 于是 或者 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 其中 此即为非等精度且观测值独立时的最小二乘原理。 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度 函数，观测值向量L的分布密度函数为 其中 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 协方差矩阵 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 引入非零参数参数0 于是 可得到如下关系式 此即为权矩阵和协方 差矩阵的关系式。 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度 函数，观测值向量L的分布密度函数为 上式中以估值代替理论值 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 2）设存在n个未知量，根据随机向量的正态分布密度 函数，观测值向量L的分布密度函数为 或然函数取最大值时，得到最小二乘估值公式 4、The Least Squares Estimate No.4 Parameters Estimation and Principle of LS 当