《大学物理教学课件》第3章.ppt

第3章 功和能 本章重点：3.1；3.2；3.3；3.4 本章作业： 3.1 功 保守力 力对空间的积累 ？ 3.1.1、功（work） 由 所作的功 1、外力对质点的功 元功： 直角坐标下： 2、多个力作用时的功（对质点） 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 （1）功是标量（可正、可负、可为零） （2）功与路径有关，是过程的函数（过程量） （3）功是力对空间的积累 （4）功的单位为焦耳（J） 说明 1 弹簧弹力的功。 解 当物体处于 x 处时所受的弹力为： 物体由 x a 移动到 x b 处 时弹性力所作的功为： 由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。 弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。 3.1.2、几种常见力的功 2 重力的功 作用于质点上的重力 位移元 在由P1到P2的过程中重力做功为: 重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力 作正功，质点上升时重力作负功。 3 万有引力的功。 m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到r b 。求 引力对m1 所作的功。 解： 讨论 万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。 在不同的位置，其功的正负和数值不同，在c,d点A=0,在f 点附近作正功，在e点附近作负功。 轨道为圆形时，A=0. 4 摩擦力的功 质量为m的质点，在固定的粗糙水平 面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到 末位置P2，路径长度为s，如图所示。 由于摩擦力的方向总是与速度的 方向相反。所以元功 质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为: 摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。 3.1.3、保守力与非保守力 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关 1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等 保守力的环流等于零。 3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推动力等 2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。 证明：证明： 平均功率： 瞬时功率： 3.1.4、功率(power) 表示作功快慢的物理量 定义：功随时间的变化率. SI单位: 焦耳/秒 (瓦特) 3.2 势 能 3.2.1、 势能 从3.1中得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为 与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关 。保守力做功必然伴 随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与 位置坐标有关的能量称为势能： 积分路径是任意的。 质点从 a点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。 重力势能为 万有引力势能为 弹性势能为 只有保守力场才能引入势能的概念。 势能是属于整个系统的。 势能只有相对的意义，在零势能点确定之后， 各点的势能才具有唯一的确定值。 说明 质点在保守力场中任意两点（如点a和点b）的势能差等于把质点 从a点经过任意路径移到b点的过程中保守力F所做的功。即 得重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 可统一写成 3.2.2、保守力与势能梯度 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点 势能梯度矢量的负值。 哈密顿算符 3.3.1、质点的动能定理 末态的状态量 初态的状态量导致状态量 变化 1. 质点的动 能 标量 由于运动而具有的能量 状态量 3.3 动能定理 2. 质点的动能定理 合外力对质点做的 功等于该质点动能 的增量。 质点 的动能定理 功是动能变化的量度外力作正功，质点动能增加 外力作负功，质点动能减少 A为过程量，与过程有关，而Ek为状态量 A与v应对应同一惯性系 说明 3. 用动量表示动能 m p E K 2 2 = 动能定理的微分形式 动能定理的积分形式 例题3.1 质量为m、线长为l的单摆，可绕 o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被 拉至水平，然后自由放下，求摆线与水 平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。 解 摆球受摆线拉力T和重力mg,合力作的功为 由动能定理 牛顿第二定律的法向分量式为: 证明：由牛顿第二定律： 又由于故有： 即： 亦即： 补充例题在光滑的水平桌面上平放有半 圆形屏障。质量为m的滑块以速度v0 沿切 线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦 系数为，试证明：当滑块从屏障的另一 端滑出时，摩擦力所作的功为： 作定积分，得： 即： 故： 由质点的动能定理得： 质点系所有内力之和为零 1、质点系 内力和外力 ： 外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。 内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。 注意:质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的 系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零 。 质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系 受的合外力，即 3.3.2、质点系的动能定理： 含两个或两个以上的质点的力学系统。 对m1: 对m2: 对各质点应用动能定理： 两式相加，得： 即 2、质点系的动能定理： 2、n 个质点的系统： 推广： 所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等 于质点系总动能的增量。 4、内力能改变系统的总动能， 但不改变系统的总动量。 1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。 2、动能是质点因运动而具有的做功本领。 3、功与动能必须对应同一惯性系。 说明 质点系动能定理的微分形式 质点系动能定理的积分形式 两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质 点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。 一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统在t时间内 o m1 m2 TA作负功、T B作正功，其代数和为零。 由动能定理得 解得： 系统初态动能为： 例题3.2物体mA和mB通过一不能伸缩的细绳相连，mA 由静止下 滑，mB 上升，mA滑过S 的距离时， mA和mB的速率v = ? (摩擦力 及滑轮的质量不计)。 解 选取物体A、B 与细绳组成一系 统，系统所受外为重力GA、GB 支持力N；内力为绳子的拉力。 未态动能为： 3.4 机械能守恒定律 能量守恒定律 3.4.1、质点系的功能原理 质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为 内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则 而 则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成： E表示动能和势能之和称为机械能。 系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。 质点系的功能原理 质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样， 但表达方式不同。它对于不同的惯性系也保持其形式不变。需 要指出的是:在动能定理中,功包括所有外力功和内力功。在功 能原理中的功,包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力 的功,在功能原理中计算在内,因为它已用势能的形式考虑在内。 说明 3.4.2、机械能守恒定律 只有每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为 零时，则此过程中的机械能守恒。 语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的 总功始终为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作 功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒 量。 上式是不是机械能守恒定律的条件和表示式？ 问： 3.4.3、能量守恒定律： 各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量 既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。 例题3.3 如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧， 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端 系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环 上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球 静止于A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆 环的半径R。当小球运动到圆环的底端B点时， 小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。 解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小 球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P 点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A运动 到B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性 势能为零；取B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得 B点时由牛顿第二定律得方程 例题3-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的 速度最小值为多大？ 解：由机械能守恒定律得到 例题3.5 目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是 它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上 面发射出来，这种天体被称为黑洞（black hole)。若由于某种 原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？ 解 由机械能守恒定律 当 时m要从M上逃逸，有： 逃逸速度为v与m无关，与R,M有关. 光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑