运筹学基本概念和理论基础.ppt

第 二 章 基本概念 和 基本理论 第二章 基本概念和理论基础 2.1 数学规划模型的一般形式 min f(x) -目标函数 s.t. xS -约束集合，可行 集 其中，S R n，f :S R，xS称（f S )的可行 解 l最优解: x*S，满足f (x*) f (x), xS。则称 x*为(f S)的全局最优解(最优解), 记 g.opt.(global optimum),简记 opt. l最优值: x*为(f S)的最优解, 则称 f * = f (x*) 为 (f S)的最优值(最优目标函数值) ( f S ) 2.1 数学规划模型的一般形式（续） l局部最优解: x*S， x* 的邻域 N(x*) ，使满足 f (x*) f (x), x S N(x*) 。则称 x*为(f S)的局部 最优解,记 l .opt.(local optimum) l在上述定义中，当x x* 时有严格不等式成立， 则分别称 x* 为(f S)的严格全局最优解和严格局 部最优解。 严格l .opt .严格g .opt .l .opt . 2.1 数学规划模型的一般形式（续） l函数形式: f(x), gi(x) , hj(x) : RnR min f(x) (fgh) s.t. gi(x) 0 , i = 1,2,m hj(x) = 0 , j = 1,2,l l矩阵形式: min f(x) ，f(x) : RnR (fgh) s.t. g(x) 0 , g(x) : RnRm h(x) = 0 , h(x) : RnRl 当 f(x), gi(x) , hj(x)均为线性函数时，称线性 规划；若其中有非线性函数时，称非线性规划。 2.2 凸集、凸函数和凸规划 一、凸集 1、凸集的概念： 定义：设集合 S Rn，若x(1), x(2)S, 0,1 ，必有 x(1)(1- ) x(2) S ，则称 S 为凸集 。 规定：单点集 x 为凸集，空集为凸集。 注: x(1)(1- ) x(2) = x(2)(x(1)- x(2) 是连接 x(1)与x(2)的线段 。 凸集 非凸集 非凸集 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 1、凸集的概念： l例:证明集合 S = xAx = b 是凸集。其 中，A为 mn矩阵，b为m维向量。 l凸组合：设 x(1) , x(2) , , x(m) Rn, j 0 m m j =1, 那么称 j x(j) 为x(1), x(2), , x(m)的 j =1 j = 1 凸组合。 m 比较: z = j x(j) j =1 jR 构成线性组合 线性子空间 j0 , j 0 构成半正组合 凸锥 j0 , j =0 构成凸组合 凸集 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 1、凸集的概念： 定理：S是凸集S中任意有限点的凸组合属于 S l多胞形 H(x(1) , x(2) , , x(m) )： 由 x(1) , x(2) , , x(m) 的所有凸组合构成。 l单纯形：若多胞形 H(x(1) , x(2) , , x(m) )满足 ， x(2)-x(1) , x(3) -x(1) , , x(m)- x(1) 线性无关。 多胞形 单纯形 单纯形 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 2、凸集的性质： l凸集的交集是凸集；（并？） l凸集的内点集是凸集；（逆命题是否成立？） l凸集的闭包是凸集。 （逆命题是否成立？） l分离与支撑： 凸集边界上任意点存在支撑超平面 两个互相不交的凸集之间存在分离超平 面 支撑 强分离分离 非正常 分离 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 3、凸锥： l定义：C Rn, 若 x C, 0 有 x C, 则 称 C 是以 0 为顶点的锥。如果 C 还是凸集， 则称为凸锥。 l集合 0 、Rn 是凸锥。 l命题：C是凸锥C中任意有限点的半正组合属于 S 0 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集 定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR 若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有 f( x(1)(1- ) x(2) ) f(x(1)+(1- )f(x(2) ， 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。 若进一步有上面不等式以严格不等式成立， 则称 f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 l当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x) 为 凹函数（严格凹函数）。 严格凸函数 凸函数 严格凹函数 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集： l定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。 l思考：设f1, f2是凸函数， l设1, 2 0, 1f1+2f2 , 1f1 - 2f2是否凸函 数？ lf(x)= max f1(x) , f2 (x) , g(x)= min f1(x) , f2 (x) 是否凸函数？ 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集： l定义：设集合 S Rn ，函数 f :SR， R ， 称 S = x Sf(x) 为 f(x) 在 S 上 的 水平集。 l定理：设集合 S Rn 是凸集，函数 f :SR是 凸函数，则对 R ，S 是凸集。 l注： l水平集的概念相当于在地形图中，海拔高度不高于某一 数值的区域。 l上述定理的逆不真。 考虑分段函数f(x)=1(x0)或0(x 0 充分小时有 x*+d S, 如果 lim f(x*+ d )-f(x*) / 存在（包括 ） 则称 f(x) 为在点沿方向的方向导数存在，记 f (x*;d) = lim f(x*+ d )-f(x*) / 若 f(x) 在 x* 可导，则 f (x*;d) = f (x*) Td . 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 2、凸函数的性质： 以下设 S Rn 为非空凸集，函数 f :SR 2）若f 凸，则 f 在 S 的内点集上连续； 注： f 在 S 上不一定连续。 例: f(x)2(当x=1)； f(x)x2 (当x 0 , 总 有 x + d S. d(1) = d(2) ( 0) 时，称 d(1)和d(2)同方向 。 4) 极方向：方向 d 不能表示为两个不同 方向的组合 ( d = d(1)+d(2) ) . 2.3 多面体、极点、极方向 多面体 S = xRnAx = b , x0 的极点和极方向 定理1（极点特征）设 A 满秩，x 是 S 极 点的充分必要条件是: 存在分解 A = B , N ，其中B为m 阶非奇异矩阵，使 xT = xBT, xNT , 这里 xB = B-1b0, xN =0. lS中必存在有限多个极点。( Cnm ) 2.3 多面体、极点、极方向 多面体 S = xRnAx = b , x0 的极点和极方向 定理2（极方向特征） 设 A = p1, p2, ,pn满秩，d 是 S 极方向 的充分必要条件是: 存在分解 A = B , N ，其中B为m阶非奇异矩阵，对 于N中的列向量 pj 使 B-1pj0, dT = dBT, dNT , 这里 j dB = -B-1pj , dN = (0, . , 1, ,0)T lS中必存在有限多个极方向。( (n-m)Cnm ) 考虑多面体 S = xRnAx = b , x0 ，其中 3 2 1 0 0 65 A = 2 1 0 1 0 b = 40 0 3 0 0 1 75 即 3 x1 + 2 x2 + x3 = 65 2 x1 + x2 + x4 = 40 3 x2 + x5 = 75 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 例题 3 2 1 0 0 A = P1 , P2 , P3 , P4 , P5 = 2 1 0 1 0 0 3 0 0 1 A矩阵包含以下10个33的子矩阵： B1=p1 ，p2 ，p3 B2=p1 ，p2 ，p4 B3=p1 ，p2 ，p5 B4=p1 ，p3 ，p4 B5=p1 ，p3 ，p5 B6=p1 ，p4 ，p5 B7=p2 ，p3 ，p4 B8=p2 ，p3 ，p5 B9=p2 ，p4 ，p5 B10=p3 ，p4 ，p5 例题 其中B4= 0，因而B4不能构成极点和极方向。其 余均为非奇异方阵，因此该问题共有9个可构成极 点、极方向的子矩阵，我们称之为基。 对于基B3=p1 ，p2 ，p5，令x3 = 0， x4 = 0，在 等式约束中令x3 = 0，x4 = 0，解线性方程组： 3 x1 + 2 x2 + 0 x5 = 65 2 x1 + x2 + 0 x5 = 40 0 x1 + 3 x2 + x5 = 75 得到x1 =15，x2 = 10，x5 = 45，对应的极点： x = (x1，x2，x3，x4，x5 )T = (15，10，0，0，45 )T 例题 类似可得到极点 x(2) = (5, 25, 0, 5, 0 )T （对应B2） x(7) = (20, 0, 5, 0, 75 )T （对应B5） x(8) = (0, 25, 15, 15, 0 )T （对应B7） x(9) = (0, 0, 65, 40, 75 )T （对应B10） 而 x(3)= (0, 32.5, 0, 7.5, -22.5 )T（对应B9） x(4)= (65/3, 0, 0, -10/3, 75 )T （对应B6） x(5)= ( 7.5, 25, -7.5, 0, 0 )T （对应B1） x(6) = ( 0, 40, -15, 0, -45 )T （对应B8） 不是极点 例题 2.3 多面体、极点