次型和正定矩阵.ppt

第四章 二次型和正定矩阵 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量 ，然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且 运用这些知识来判断二次型的正定性，与 此同时，我们也介绍特征值与行列式、秩 、迹的关系，最后我们介绍用行列式来判 断二次型正定性的方法，作为特征值方法 的补充。 第一节 引言 二次型 完整形式： 其中 代表变量而 为常数 矩阵表示法： 常要求 为对称矩阵。 例 二次型 用矩阵表示为 问题1： 我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？ 问题2： 是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型 总是取同一个正负号？ 定义 关于问题2，我们有如下定义： （i）矩阵 为正定的，如果对于所有非零实向量 ， （ii）矩阵 为半正定的，如果对于所有实向量 ， （iii）矩阵 为负定的，如果对于所有非零实向量 ， （iv）矩阵 为半负定的，如果对于所有实向量 ， （v）矩阵 为不定的，如果对于某些向量 为正，而对 于某些向量 为负。 第2节 对称矩阵的特征值 定义 A为 矩阵， 的特征值是一个数 ，对应存在着一个 非零向量 ，满足： 该向量 被称为 的特征向量。有如下定义式： 为保证非平凡解的存在，要求 一般而言，上式表达的是 的 次多项式方程： 定理 如果 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。 例 则 为二次方程 其两个特征值为 和 第3节 特殊矩阵的特征值 相似矩阵 定义 令A和B为nXn矩阵。A和B是相似矩阵，如果存在一非奇异 矩阵C使得 定理 如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 令A和B相似，考虑 因此 和 是同一方程。 幂等矩阵 定理 幂等矩阵的特征值为1或0。 证明 令A为幂等矩阵，考虑 上下两式想减可得 由于 ，则 或者 第4节 对称矩阵的特征向量 定义 向量集 （两两）正交，如果对于 ，有 向量 是标准化的，如果 向量组 为规范正交的，如果 定理 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。 证明 令 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 和 。 那么有 分别左乘 和 ，有 由于 是数量， ，同理， 而A对称，故 ，则 由于 ，则 定理 如果 为K重的特征值，存在着K个对应着 的特征向量， 它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。 求特征向量 求解方法：将下列两式联立求解 例 求矩阵 特征向量的规范正交向量组。 已知A的两特征值为 和 由 得到 即 由方程可得 ，那么 作为特征向量我们取 由 可得 即 标准化条件要求 ，从而 即 因此我们取第二个特征向量为 第5节 列为对称矩阵特征向量的矩阵 的列为对称矩阵A特征向量，A的特征值为 的性质 定义 矩阵B是正交的，如果 定理 是正交矩阵 证明 显然 那么 因此， 定理 矩阵 为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。 证明 第6节 二次型的对角化 引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？ 令 是列为A的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑 非奇异替换： 或者 则 其中 为对角矩阵 引言所提第二个问题，我们有如下定理： 定理 （i）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二次型 为正（负）定 （ii）当且仅当 的所有特征值都非负（非正）且至少一 个为零时，二次型 为半正（半负）定 （iii）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不 定 例 的特征值为0和3，故 为半正定的，因此对 于任意 ， ， 第7节 特征值与 ， 和 因为 而 故有如下定理： 对于对称矩阵 ， A的非零特征值的个数 考虑到一个矩阵左乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保 持不变，故 定理 对于对称矩阵 ， 等于其非零特征值的个数 而 则有如下定理： 定理 对于对称矩阵 ， 第8节 另一种方法：运用行列式 定义 的顺序主子式为 ， ， ， ， 。 定理 当 为 对称矩阵，则 （i）当且仅当 的 个顺序主子式都为正时，其为正定矩 阵。 （ii）当且仅当 的顺序主子式正负符号交替变化：第一 个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵 例 考虑 其顺序主子式为 -1， ， 这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则 为负 定矩阵。 定义 的主子式为 剔除同号行列后形成的子方阵的行列式 定理 令 为对称矩阵，则 （i）当且仅当所有的主子式大于等于零时