直接证明与间接证明1.ppt

考纲要求考纲研读 直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方 法分析法和综合法；了解分 析法和综合法的思考过程、特 点 (2)了解间接证明的一种基本方 法反证法；了解反证法的思 考过程、特点. 数学结论的正确性必须通过逻 辑推理的方式加以证明而直接 证明与间接证明就是两类基本 的证明方法综合法的特点是从 已知看可知，逐步推出未知；分 析法是从未知看需知，逐步靠拢 已知反证法是间接证明的一 种，它是从否定原命题的结论入 手进行推理的. 第2讲直接证明与间接证明 1直接证明 综合法(1)_是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法 分析法(2)_是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的 条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法 2间接证明 反证法_是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法， 它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止； 断言假设不成立； 肯定原命题的结论成立 A 2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，应假设()B A三个内角都不大于 60 B三个内角都大于 60 C三个内角至多有一个大于 60 D三个内角至多有两个大于 60 3某个命题与正整数 n 有关，若 nk(kN*)时该命题成立， 那么可推得 nk1 时该命题也成立，现在已知当 n5 时该命题 不成立，那么可推得()C A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立 C当 n4 时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立 假设中正确的是_. 假设 a，b，c 都是偶数；假设 a，b，c 都不是偶数； 假设 a，b，c 至多有一个偶数；假设 a，b，c 至多有两 个偶数 4用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2bxc 0(a0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数下列 考点1 综合法 例1：已知 a，b，c 为正实数，abc1. ab lgalgb 【互动探究】 1证明：若a，b0，则lg 2 2 . 考点2 分析法 【互动探究】 考点3 反证法 反证法主要适用于以下两种情形：要证的条件 和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； 如果从证明出发，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面 证明，只要研究一种或很少几种情形 【互动探究】 考点4 信息给予题中的推理与证明 例4：(2011年湖南醴陵测试)对于给定数列cn，如果存在 实常数p，q使得cn1pcnq对于任意nN*都成立，我们称数 列cn是“M类数列” (1)若an2n，bn32n，nN*，数列an，bn是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明 理由； (2)证明：若数列an是“M类数列”，则数列anan1也 是“M类数列” 解析：(1)因为an2n，则有an1an2，nN*. 故数列是an是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2. 因为bn32n，则有bn12bn，nN*. 故数列bn是“M类数列”，对应的实常数分别为2,0. (2)证明：若数列an是“M类数列”，则存在实常数p，q， 使得an1panq对于任意nN*都成立， 且有an2pan1q对于任意nN*都成立 因此(an1an2)p(anan1)2q对于任意nN*都成立， 故数列anan1也是“M类数列”，对应的实常数分别为p,2q. 准确把握信息是解题的关键，本题“只要找到实 常数p，q使得cn1pcnq成立，则数列cn就是“M类数列”， 如an2n，an12n2，则有an1an2，此时p1，q2， 则称数列cn是“类数列”以此类推 【互动探究】 4对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条 ：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10， x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则称函数 f(x)为理想函数 (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以 证明 解：(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0， 又由条件f(0)0，故f(0)0. (2)显然g(x)2x1在0,1满足条件g(x)0， 也满足条件g(1)1. 若x10，x20，x1x21，则g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) 2x1x22x12x21 (2x21)(2x11)0， 即满足条件，故g(x)是理想函数 1综合法是一种由因导果的证明方法，又叫顺推法它常见 的书面表达形式是“，”或“”利用综合法证 明“若 A 则 B”命题的综合法思考过程可用如图 1021 的框图 表示为： 图 1021 2分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法它常见的书面表达形式是：“要证，只需证”或“ ”利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 1022 的框图表示为： 图 1022 综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途 径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B ，B1，B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4 等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可 3反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、 分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反” 分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从B上溯寻其论据 ，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3 ，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其中之一B 的论据恰为已知条件，于是命题得证 分析法和综合法是对立统一的两种方法