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1 第2章 连续时间信号与系统的时域分析 n2.1 系统微分方程的建立及算子表示 n2.2 零输入响应 n2.3 零状态响应 n2.4 卷积积分 n2.5 LTI连续时间系统时域分析举例 1 2 2 nLTI连续系统的时域分析，归结为：建立并 求解线性微分方程。 n由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t ，故称为时域分析法。这种方法比较直观， 物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的 基础。 3 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n2.1.1系统方程的算子表示法 n如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数 间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见 ，把微分算子用符号p来代表，如令 ，通过引 入算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方 程。它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程 消元)，一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便 于形成系统分析的统一的方法。 n先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则 ，最后介绍如何用算子法列写微分方程。 3 积分算 子 微分算 子 算子符号 4 5 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n例 用算子法表示下面的微分方程。 n解:根据微分算子与积分算子的定义，上式 可表示为 5 n还可以将上式改写为 6 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n例 利用广义微分算子与广义积分算子来表 示下面的微分方程。 解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分 方程的算子方程如下 其中 6 微分方程的算子形式 算子方程 7 8 9 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p) 解：可将上述方程改写为为 根据转转移算子的定义义，上式可进进一步表示为为 9 也即 10 2.1系统微分方程的建立及算子表示 2.算子的运算规则 （1）由P的多项式所组成的运算符号可以 像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况： 10 11 2.1系统微分方程的建立及算子表示 特殊一： 这里也像代数式中一样，分子分母中的p可 以消去。但是 n这里除非x(-) = 0，否则分母和分子中的 p就不能消去。这表明在一般情况下，有 11 12 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n特殊二： n若将式 n两边积分，可得 （ c为积分常 数） 对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消 去。 n以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等 式两边中的算子符号不能随便消去。 12 13 2.1系统微分方程的建立及算子表示 n3.算子方程组的消元 n为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为 的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地 做到这一点。 13 电感和电容的算子表示 电感算子符号，理解为电感的感抗值 电容算子符号，理解为电容的容抗值 14 电 感 电 容 15 例题 如下图所示电路， 为激励信号，响应为 ， 用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。 16 利用克莱姆法则， 解出: 系统函数为： 微分方程为： 17 18 2.2 零输入响应yx(t) n2.2.1 yx(t)的定义 n2.2.2 yx(t)的求法 n2.2.3 系统的自然模式 返回首页 18 19 n系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应，记 为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结构 与状态决定，而与激励信号无关。 n在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程 yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。 2.2.1 yx(t)的定义 19 20 n其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程 D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称 系统的特征根。 n先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况，然后推广至n阶方程。 20 21 n一阶与二阶齐次方程的解 n一阶齐次方程的一般形式为 n即 n通过分离变量，上式可改写为 21 22 n对两边积分得 n其中，k是积分常数。从而可得 n其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件 决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得 22 23 n从而得到一阶齐次方程的解为 n二阶齐次方程的一般形式为 其中，a,b是常数。其算子方程为 23 24 n将上式中的D(p)作因式分解 n从而将式(2-16)改写为 n不难看出，1与2是特征方程D(p)=0的两个 特征根 由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程 24 25 n它们的解分别为 n其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(t)与 yx2(t)都是解，且彼此线性无关，因此零输入响 应的计算通式为 n如果给定初始状态为 25 26 n将这些条件代入式(2-19)及其微分式可得 n解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确 定yx(t)。 n例2-5 某系统输统输 入/输输出微分算子方程为为 己知初始条件yx(0)= 3，yx(0)= 6，求系统统的 零输输入响应应yx(t)。 26 27 n解：由题意知 n因为 n所以 n把yx(0)= 3，yx(0)= 6，代入上式可得 n所以系统的零输入响应为 27 28 nn阶齐次方程的解 n上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程 即 首先求出特征方程 的n个根1，2 ，n 。然后将式(2-20)改 写为 2.2.2 yx(t)的求法 28 29 1.当 的根(特征根)为n个单根(不 论实根、虚根、复数根)p1， p2， ， pn 时，则yx(t)的通解表达式为 29 30 2.1是一个k重根，即 其中，待定系数可由初始状态 30 31 n例2-6 己知系统的方程为 n初始状态为， ， 求系统的零输入响应yx(t)。 31 32 n解:令f (t) = 0，得齐次方程 n将D(p)作因式分解得 32 33 n可见，系统的特征根1=-1是单根，而2=-3 是一个二重根，据此可写出yx(t)为 n将初始状态代入上式得 n解之得 n因此，系统的零输入响应为 33 34 n2.2.3由转移算子H(p)求系统的零输入响应 n从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特 征多项式D(p)及初始状态，就可以求出系统的 零输入响应。因此，知道系统的转移算子H(p) 和初始状态，也就可以直接求出yx(t) n前面己指出，转移算子 是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型 的简洁表示，即 34 35 n因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母 D(p)求出系统的特征根，亦即H(p)的极点1， ，n ，从而写出系统的零输入响应的一般式 n再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1n ，最后确定yx(t). 35 36 n例2-7 己知系统微分方程为 初始状态 , 计算零输入响应。 n解:用算子表示原微分方程，得转移算子 容易看出，转移算子的极点为1=-2, 2=-3。从 而可以直接写出y(t)的零输入响应为 36 37 n将初始状态 代入上式 得 n解之得 n将C1与C2代入yx(t)得 37 38 n2.2.4 算子法求解yx(t)的步骤 n第一步，将D(p)进行因式分解，即 其中， i和ri分别是系统特征方程的第i个根 及其相应的重根阶数。 n第二步，求出第i个根i对应的零输入响应 yxi(t) ，即 38 39 n第四步，根据给定的零输入响应初始条件 确定常数 （i=1,2，.l) n第三步，将所有yxi(t) （i=1,2，.l)相 加，得到系统的零输入响应，即 39 40 2.2.3 系统的自然模式 n1.系统零输入响应是由指数函数项组成 i 是系统特征方程D(P)=0的特征根。每一个特 征根i在响应中对应的指数项称为响应的一个 模式或自然模式。 n2.系统零输入响应中各项的模式，定义为系统 的自然模式。系统的自然模式由系统唯一确定 。 n3.如果H(P)有n个特征根，零输入响应yx(t)中 就有n个模式。对于同一个系统，不同的响应信 号与激励f(t)之间的转移算子一般具有相同的分 母，即D(P)。因此，同一系统中不同响应变量 的零输入响应具有相同的模式，不同的只是各 指数项的系统。 40 41 2.3 零状态响应yf(t) n2.3.1 零状态响应的定义 n2.3.2 系统的单位冲激响应 n2.3.3 系统的单位阶跃响应 n2.3.4 yf(t)的求法 返回首页 41 42 2.3.1 零状态响应的定义 n系统在输入信号的单独作用下（初始状态为 零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应 分量，记为yf(t)。是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始状 态为零时的解。 42 43 2.3.2 系统的单位冲激响应 n1、定义：输入为单位冲激信号(t)的零状态 响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲 激响应，记为：h(t)。是方程h(t)=H(p) (t)在 初始状态为零时的解。 nh(t)由系统唯一确定 43 44 图2-1 冲激响应示意图 44 45 l冲激响应的求法 v转移算子法 v直接求解法 45 46 n2、一些简单系统的h(t) 46 冲激响应 转移算子求解法 47 简单系统1 47 两边从0- 到t 取定积分： 冲激响应 转移算子求解法 48 简单系统 2 系统冲激响应h(t)满足的算子方程为 两边同乘以 并取积分 得 48 冲激响应 转移算子求解法 49 将上面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r 重 根的情况 简单系统3 49 冲激响应 转移算子求解法 50 n3、已知系统计算h(t) 当H(p)为有理真分式时，将H(p)部分分式展开 H(p)= H1(p)+ H2(p)+ 则： h(t)= H(p)(t) = H1(p) (t) + H2(p) (t)+ = h1(t)+ h2(t) 若H(p)为假分式，先长除再将真分式部分部分分 式展开。 50 冲激响应 转移算子求解法 51 综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是： 第一步，确定系统得传输算子H(p) 第三步，求各分式对应的冲激响应分量hi(t) 第四步，各部分求和 第二步，将H(p)进行部分分式展开 51 冲激响应 转移算子求解法 5252 例：已知系统的微分方程为 试求其冲激响应h(t)。 解：先求出方程的特征根： 转移算子为 故，系统的冲激响应为 冲激响应 转移算子求解法 53 例 描述系统的微分方程为 求其冲激响应h(t)。 53 冲激响应 转移算子求解法 5454 解： 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 其H(p)可表示为 例题 已知系统的传输函数 ， 求冲激响应 。 55 例题 已知系统的微分方程为 求冲激响应 。 56 5757 冲激响应与零输入响应的比较 冲激响应与零输入响应的形式相似，只不过零输入响 应中没有冲激函数项，另外零输入响应的系数 c 由初始条 件求得，而冲激响应的系数 k 是转移函数展开为部分分式 时的各系数。 相似原因: 零状态的系统输入是冲激函数时，该输入信号 只在t =0时存在。那时，系统在一瞬间输入了若干能量， 储存在系统的储能元件里，这就相当于系统在 t =0+ 时具有 某种初始状态。等到 t 0 时，系统已不再有输入信号，所 以响应就由上述储能的状态惟一地确定。 58 2.3.3 系统的单位阶跃响应 n输入为单位阶跃信号(t) 的零状态响应分量， 称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。记为g(t)。 n阶跃响应与冲激响应的关系为： 58 59 证明： 59 60 )(t 0 t 0 t 1 LTI系统 )(t )(tg )(tg 图2-2 阶跃响应示意图 60 61 2.3.4 系统的零状态响应yf(t)的求法 n系统的零状态响应等于输入信号与系统的单 位冲击响应之间的卷积积分 nyf(t)=f(t) * h(t) 61 n卷积法分析思路 （1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合 ； （2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应 ； （3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的 零状态响应 。 62 为了叙述方便，我们采用如下简化符号： 62 63 2.4 卷积积分 n2.4.1 卷积积分的定义 n2.4.2 卷积的图解法 n2.4.3 卷积的性质 n2.4.4 卷积计算小结 63 64 2.4.1 卷积积分的定义 n具相同自变量的二函数f1(t)， f2(t)的积分： 称为该二函数的卷积积分，简称卷积，记为： 64 例求卷积： 解 ： 66 例： 解： 66 67 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1 （） ， f2（） （2）反转平移：由f2（）反转 f2（）平移t f2 （t-） （3）乘积： f1（） f2（t-） （4）积分： 从到对乘积项积分。 2.4.2 卷积的图解法 67 6868 卷积积分的图解计算 步骤 计算 扫描扫描 6969 例 计算 和 没有公共的重叠部分， 故卷积 当当 即即 时：时： 当 即 时： 即为重叠部分的面积。 当 且 即 时： 即为重叠部分的面积。 7070 例 计算 当 即 时： 和 没有公共的重叠部分， 故卷积 当 即 时： 即为重叠部分的面积。 7171 例 计算 当当 且且 即即 时：时： 当当 时：时： 当当 即即 时：时： 7272 已知线性非时变系统的冲激响应 ，激励信号为 试求系统的零状态响应。 解：系统零状态响应为： 将将f(tf(t) )反折，再扫描可反折，再扫描可 确定积分上下限。确定积分上下限。 7373 卷积积分的解析法求解 74 n1、卷积的代数运算性质 （1）交换律 f1(t)* f2(t)= f2(t) * f1(t) （2）分配律 f1(t)* f2(t) +f3(t) = f1(t) * f2(t)+ f1(t) * f3(t) （3）结合律 f1(t)* f2(t) *f3(t) = f1(t)* f2(t) *f3(t) 2.4.3 卷积的性质 74 75 n2、(n)(t)与任意信号的卷积 例如，n=0时 n=1时，微分器 n=1时，积分器 75 76 n3、卷积的时移特性 若f1(t)* f2(t)= y(t)， 则： f1(t-t1)* f2(t-t2)=y(t- t1-t2 ) 76 77 n4、卷积的微分与积分 77 78 n5、时限信号间的卷积积分仍为时限信号。 若f1(t)， f2(t)占有的时间范围分别为l1， l2 ，则 y(t)= f1(t)* f2(t)占有的时间范围l=l1 +l2 n结论：时限信号与任意信号的卷积，必定存 在。 78 79 n6.用算子法计算卷积 n条件：参与卷积的函数必须是因果信号。 若因果信号 因果信号 则： 79 80 n一些简单系统的h(t) 80 冲激响应 转移算子求解法 81 1/p1/(p-) 81 8282 解： 8383 例 与冲激函数的卷积 * = * = *= * = 8484 冲激响应为 解：将转移算子按部分分式展开有： 系统的转移算子为 , 已知 ， 试求全响应。 零输入响应： 零状态响应： 代入初始条件得到C1=4，C2=-3 8585 已知某线性系统单位阶跃响应为 ,试利用卷 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。 解一：利用时不变特性： 解二：利用卷积性质： 8686 系统的方框图表示 H(p)h(t) h1(t)h2(t)子系统串联： h1(t) h2(t)等效于： 子系统并联： h1(t) h2(t) 等效于： h1(t)+ h2(t) 8787 如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分 别为： ， 试求系统的冲激响应。 解：冲激响应为 88 例 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成。已知 ，gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，f(t)=(t)- (t-2)，求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 88 89 解 (1) 系统N的冲激响应。 89 90 (2) 系统N的阶跃响应。设系统N的阶跃响应为gN(t) 方法一 因为已经求得系统的阶跃响应 它是输入为(t)时对应的零状态响应。f(t)=(t)-(t-2) (3) 系统的零状态响应。 90 91 方法二 91 92 2.4.4 卷积计算小结 n1、定义、图解； n2、性质和已知卷积结果； n3、因果信号之间的卷积算子法 若因果信号 因果信号 则： 92 9393 卷积表 1 1 、 2 2 、 3 3 、 6 6 、 8 8 、 9 9 、 94 2.5 无时限指数信号通过系统 n2.5.1 系统响应的分类 n2.5.2 系统的时域分析法举例 n2.5.3 无时限指数信号通过系统 94 95 2.5.1 系统响应的分类 n1全响应分解为零输入响应与零状态响应 n2全响应分解为自由响应与强迫响应 n3全响应分解为暂态响应与稳态响应 95 96 1全响应分解为零输入响应与零状态响应 n全响应可以分解为零输入响应yx(t)与零状态 响应 yf(t)之和，即： y(t)= yx(t)+ yf(t) 96 97 2全响应分解为自由响应与强迫响应 n由系统自然模式组成的响应分量，称为自由 响应又称固有响应，自由响应的模式取决于系 统的特征根；强迫响应又称强制响应，是与激 励相关的响应。 97 98 3全响应分解为暂态响应与稳态响应 n全响应y(t)还可以分解为暂态响应 yT(t)与稳态 响应 yS(t)之和，即： y(t)= yT(t)+ yS (t)之和， 其中：t , yT(t) 0 而yS (t)不趋于零。 98 暂态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分。 稳态响应分量：随着时间增长而趋于稳定的部分。 99 2.5.3 无时限指数信号通过系统 n若LTI系统转移算子 有特征根 输入 当满足主导条件 否则 99 100 2.6 LTI 连续时间系统时域分析举例 n零输入响应 n零状态响应 n全响应 以阶跃函数和冲击函数作为基本信号，将任意 输入信号表示为冲击分量的连续和（积分） ，并用卷积方法求取系统的响应 100 101 求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)y(t)=0 ，可根据 特征方程D(p)=0根的两种不同情况写出解的一般形式 。 1.零输入响应 101 102 n例1 如图RLC串联谐振电路，已知 L=1H , C=1F , R=2.5 初始条件为： n1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/s n2、i(0)=0 A, uc(0)=10 V n分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。 102 103 n解：前面我们已经列出了它的微分方程 写成算子形式： 103 104 1、初始条件为 i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时 104 105 2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时 初始条件uc(0)=10 V不能直接用于确定常数C1, C2 所以必须转化为i(0)。 105 106 代入零输入响应的一般形式得： 106 107 1、初始条件为i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时 107 108 2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时 108 109 1、由于电容C上的初始电压 为10V(i(0)=-10A/s)方向为左 正右负，所以电容放电，方 向与参考方向相反，曲线在 横