矩阵及本章习题课总.ppt

复习上次课的内容： 定义 1对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等 行变换 (1)互换两行(记作： ) (2)以数 0乘以第 行(记作： ) (3)将第j 行各元素乘以数后加到第i 行的对应元素 上去 (记作： ) 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵。 定义2 (1) 交换矩阵 第 i 行 第 j行 (2) 倍乘矩阵 0 0 第 i 行 第 i 行 第 j 行 (1) 初等矩阵都是可逆矩阵 (2) 初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵 说 明 ( A E )( E A1 ) 初等行变换 初等列变换 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 2.7 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 例如： 一个2阶子式 (1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式 (2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A | 注： 2. 矩阵的秩 (3) A中有二阶子式 ，但它的任何三 阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数 ，从 而 （1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有 | A | 0， A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。 (2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。 注意： 二、矩阵秩的求法 定理1：对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变 即:若矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B, 则 初等变换求矩阵秩的方法（1） 用初等变换把矩阵A化为型如 的 矩阵，可得 例1、 将A化为一个阶梯矩阵，数非零行的行数即为A的秩 初等变换求矩阵秩的方法（2）（更容易） 第二章 矩阵 （习题课） 矩阵 1、矩阵的定义 、方阵 列矩阵 行矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵 、同型矩阵和相等矩阵 、零矩阵 单位矩阵 交换律 结合律 、矩阵相加 运算规律 、数乘矩阵 、矩阵相乘 运算规律 n阶方阵的幂 、方阵的运算 方阵的行列式 运算规律 转置矩阵 、一些特殊的矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 幂等矩阵 正交矩阵 对角矩阵 对合矩阵 上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵 下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵 伴随矩阵 定义 10、逆矩阵 相关定理及性质 矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似 11、分块矩阵 在这一章中必须掌握的计算问题的有： 1）矩阵的和、数乘、乘积、转置、幂等的运算 2）矩阵的逆的求法（两种方法） 3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩 例2、设A,B为同阶方阵，则必有： 1）r(AB)=r(BA)； 2）r(A+B)=r(A)+r(B); 3)r(A-B)=r(B-A); 4) r(AB)=r(A)r(B). 例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有 1）A=0或B=0； 2）A+B=0; 3)|A|=0或|B|=0; 4) |A|+|B|=0 例4、同阶方阵A,B;则下列命题是否正确 1）|A|=0能否得到A=0； 2）A2=0能否得到A=0; 3) A对称，则A2对称。 例5、A2=A,且A可逆，则A=？ 例6、A3=I, 则A-1=? 4) (A+B)(A-B)=A2-B2 例7、设A,B为n阶矩阵，且有| A |-2，