[理学]第5章 约束优化方法.ppt

第五章第五章 有约束优化方法有约束优化方法 无约束优化方法是优化方法中最基本 最核心的部分。但是，在工程实际中，优 化问题大都是属于有约束的优化问题，即 其设计变量的取值要受到一定的限制，用 于求解约束优化问题最优解的方法称为约 束优化方法。 一、约束优化问题的类型一、约束优化问题的类型 根据约束条件类型的不同可以分为三种，根据约束条件类型的不同可以分为三种， 其数学模型分别如下：其数学模型分别如下： 1 1、不等式约束优化问题（、不等式约束优化问题（IPIP型）型） 约束优化方法概述约束优化方法概述 2、等式约束优化问题（EP型） 3、一般约束优化问题（GP型） 注：subject to 使服从，使遭受. 二、约束优化方法的分类 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接 法和间接法两类。 1、直接法 只能求解不等式约束优化问题的最优解。其基 本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目 标函数的最优解。如：约束坐标轮换法、复合形法 等。 其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适 当步长。 搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性 与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行 域内，即满足 gu(x) 0, u=1,2,p 适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下 降的，即满足 F(xk+1)r1r2. rk 0 障碍项 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项” 的作用是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数 形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近 于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好 像在可行域的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始 终不能越出可行域。 罚因子的作用罚因子的作用是：由于内点法只能在可行域内迭 代，而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边 界上，此时尽管泛函的值很大，但罚因子是不断递减 的正值，经多次迭代，惩罚因子rk0，接近最优解。 例1 用内点法求 的约束最优解。 解: 用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数: 用解析法求函数的极小值，运用极值条件： 联立求解得： 时不满足约束条件 应舍去 。 无约束极值点为 当 惩罚函数法惩罚函数法 l1） 初始点x0的选取 使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较 远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚 函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解 无约束优化问题发生困难。 2） 惩罚因子初值r0的选取 惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的 正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太 小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极 值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都 要经过多次试算，才能决定一个适当 r0。 2 、参数选择及收敛条件 一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决 定性作用，通常的取值范围在0.10.7之间。 4) 收敛条件 3) 惩罚因子的缩减系数c的选取 惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两 次迭代的惩罚因子的关系为 : 3 3、算法步骤：、算法步骤： 1）选择可行域内初始点X(0); 2）选取初始罚因子r(0)与罚因子缩减系数c，并置K0； 3）求min(x(K),r(K)解出最优点xK*； 4）按终止准则判别，若满足转步骤5），否则令KK+1， r(K+1)r(K)， xK+10xK*转步骤3）； 5）输出最优解（X*，F*），停止计算。 内点法程序流程图 = = = + = = 优化设计实例: 欲设计一空心传动轴, D和d分别为空心轴的外径和内径, 轴 长L=2m。轴的材料密度=7.8103kg/m3，杨氏模量E=2 105MPa，剪切模量G=80GPa，许用剪应力=50MPa, 单 位长度许用扭转角=0.5/m , 轴所传递的功率P=10KW ，转速n= 400r/min。要求在满足使用性能条件和结构尺寸限 制的前提下使其重量最小。 1.设计变量和目标函数 该传动轴的力学模型是一个受扭转的圆柱轴。其外径和内 径是决定圆轴的主要独立参数, 故将其作为设计变量。写 成向量形式为X=x1 x2T=D dT。依题意, 取重量最小为优 化目标。空心圆轴的重量可按下式计算： w = gL(D2-d2)/4 2.约束条件 (1)扭转强度 根据扭转强度, 要求扭转剪应力需满足： (2)扭转刚度 单位长度的最大扭转角不超过规定的许用值: (3)扭转稳定性 扭转剪应力不得超过临界剪应力： (4)结构尺寸 由结构尺寸要求决定的约束条件为： 3.数学模型 将所有函数表达式规范化并代人已知数据, 可得传 动轴优化设计的数学模型为： 优化结果: D = 43.2mm d = 8.7mm wmin = 215.25N 二、外点惩罚函数法二、外点惩罚函数法 l 外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近 原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和 等式约束的优化问题。 外点惩罚函数的形式为： r是惩罚因子 , 外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用 是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项 的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于0。 惩罚函数法惩罚函数法 l用外点法求下列问题 的约束最优解 惩罚函数法惩罚函数法 l例2 用外点法求解下列有约束优化问题 解：惩罚函数为： 对上式求偏导，得 无约束目标函数极小化问题的最优解系列为： 当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。 r 0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.9977 0.1-0.45969 -5.00000 -2.2344-4.9474 10.23607-0.500000.96310.1295 100.83216-0.050002.30682.0001 10000.99800-0.000502.66242.6582 10 8/38/3 内点法和外点法的简单比较 内点法的特点： （1）始点必须为严格内点 （2）不适于具有等式约束的数学模型 （3）迭代过程中各个点均为可行设计方案 （4）一般收敛较慢 （5）初始罚因子要选择得当 （6）罚因子为递减，递减率c有01 三、混合惩罚函数法三、混合惩罚函数法 l1、混合惩罚函数法的提出 l外点法的特点： （1） 其初始点可任选，可用于约束较多、初始点不易确定 的优化问题。 （2）由于有第1个特点，故外点法适用于不等式或等式约 束优化问题。 （3）外点法可从可行域外部逼近真正的极小点，因此外点 法只有最优解是可行方案，用外点法求解时必须迭代到底才 能得到唯一的可行解。 l内点法的特点： （1）内点法的初始点必须在可行域内部。 （2）只能用于不等式约束，因为等式约束只有边界而无内 部可言。 （3）内点法从可行域内部逼近极小点，在其迭代的全过程 都在可行域内部，每个中间结果都是一个比初始点更优的可 行方案。 惩罚函数法惩罚函数法 2、混合法的惩罚函数形式 l 混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处 理等式约束。可以用来求解含不等式和等