《D13函数极限》PPT课件.ppt

一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 第三节 函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下 两种情况： 二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 一、自变量趋向有限值时函数的极限 这个函数虽在x=1处 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 常数4为f(x)当x1 时 f(x) 的极限。 1 x y o 4 怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？ 1.定义 定义1设函数 有定义. 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 注 定义习惯上称为极限的定义其三个要素： 10。正数，20。正数，30。不等式 定义中 所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的 状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0 附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目 标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0 0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于， 对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯 一的。由不等式 |f(x) A| 来选定， 一般地，越小，越小 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 作出带形区域 一般说来, 应从不等式 出发, 推导出应小于怎样的正数, 这个正数就是要找的与 相对应的 这个推导常常是困难的. 但是, 注意到我们不需要找最大的所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 证 这是证明吗？这是证明吗？ 非常非常严格！非常非常严格！ 例1 例2 证明 证 于是 恒有 例3 证 min 可用 保证 (1) 证明 证 由于 要使 解出 只要可取 有 解不等式, (2) 证明 证 可取 有 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 两种情况分别讨论! 左极限 右极限 使得时, 或 使得时, 或 或 或 注 且 性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限. (1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等； (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一： 试证函数 证 左、右极限不相等,故 例4 y = f (x) xO y 1 1 在 x = 1 处的左、右极限. 解 练习 证 左右极限存在但不相等, 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 返回 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”. 2. 另两种情形 Axf x = - )(lim 解显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故不存在. 例5 讨论极限 是否存在? 图形 完全落在: 例6 证 成立. 由极限的定义可知: 例7 证要使成立. 只要 有 解不等式 试证 证注意有 为了使只要使 有 的图形的水平渐近线(horizontal asymptote). 结论 则直线 三、函数极限的性质 函数极限与数列极限相比,有类似的性质, 定理1(极限的唯一性) 有极限, 若在自变量的某种变化 趋势下,则极限值必唯一. 定理2(局部有界性) f(x)有极限, 则f(x)在 上有界;f(x)有 极限, 且证明方法也类似. 定理3(局部保号性) 证 (1) 设A0, 取正数 即 有 自己证 只要取便可得更强的结论: 证 (1) 也即 (2)自己证. 定理3 (1)的证明中, 不论 定理 证 假设上述论断不成立, 那末由(1)就有在该邻域内 这与所以 类似可证 的情形. 假设矛盾, 若定理3(2)中的条件改为 必有 不能! 如 是否 定理3 定理3 定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限存在,为函数 的定义域内任一收敛于x0的数列, 那么相应的函数值数列 且满足: 必收敛, 且 证 设则 有 对此有 有 即 )(lim 0 xf x x ).(lim)(lim 0 xfxf xx n n = = )(lim n n xf A ,)(lim 0 Axf xx = 例8 证 二者不相等, 1. 函数极限的 或定义; 2. 函数极限的性质 局部保号性; 四、小结 唯一性; 局部有界性; 函数极限与数列极限的关系; 3. 函数的左右极限判定极限的存在性. 思考题 1. 设函数 且存在, 则