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第0章 矢量分析基础 一、矢量和标量的定义 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 矢量表示为： 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 、速度 、电场 等 如：温度 T、长度 L 等 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： b.满足结合律： 三个方向的单位矢量用 表示。 根据矢量加法运算： 所以： 在直角坐标系下的矢量表示: 其中： 矢量： 模的计算： 单位矢量： 方向角与方向余弦： 在直角坐标系中三个矢量加法运算： 2.减法：换成加法运算 逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 方向不变，大小为|k|倍 方向相反，大小为|k|倍 （2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： 两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。 在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 有两矢量点积： 结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论1：满足交换律 推论2：满足分配律 推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 推论1：不服从交换律： 推论2：服从分配律： 推论3：不服从结合律： 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 b.矢量积（叉积）： 含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： 两矢量的叉积又可表示为： x y z o （3）三重积： 三个矢量相乘有以下几种形式： 矢量，标量与矢量相乘。 标量，标量三重积。 矢量，矢量三重积。 a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 定义： 含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。 注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。 在直角坐标系中： b.矢量三重积： 4. 矢量的微积分 (a) 矢量的微分 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可： 作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量： 有 作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量： 有 (b) 矢量的积分 （1）对时间 t 的积分： （2）沿曲线 s 的线积分： 例2： 求：中的标量 a、b、c。 解： 则： 设 例3： 已知 求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。 解：已知所得矢量垂直于 、 所在平面。 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ， 求：通过A点和B点的直线方程。 例4：
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