lixinglian离散型随机变量的均值与方差(一).ppt

藁城市第二中学 李兴联 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值 的概念 2.能计算简单离散型随机变量的均值，并 能解决一些实际问题. 2两点分布的分布列是 X01 P1pp 复习回顾 1离散型随机变量X的分布列及性质 思考: 关于平均的意义, 1.某商场要将单价分别这18元，24元，36元每 千克的3种糖果按需分3：2：1的比例混合销售，对 混合糖果怎样定价才合理? 它是对三种糖果价格的一种加权平均 由于平均在每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量 分别是第一种1/2kg, 第二种1/3kg,第三种1/6kg, 每公斤这种糖果的价格为: 2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量 相等,你能解释权数的实际含义吗? 现在混合糖果中任取一个，它的实际价 格用表示，取值的分布列为： 18 24 36 合理价格=18 +24 +36 =18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36) 代表X的平均取值 数学期望的定义 若离散型随机变量X的分布列为： Xx1x2xixn Pp1p2pipn 则称： E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量X的数学期望或均值。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 X P 设离散型随机变量X的概率分布为 所以Y的分布列为 Y P 线 性 性 质 结 论 结论： 若X服从两点分布，则E(X)p 例例1. 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中分，罚不中 得得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他罚球，则他罚球1 1 次的得分次的得分X X的期望为的期望为 0.7 0.7 (详细解答过程见课本例1) 1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球 ，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 . 1.2 2.（1）若 E(X)=4.5,则 E(X)= . （2）E(XEX)= . -4.5 0 3若随机变量X的分布列如表，则E(X) ( ) X012345 P2x 3x 7x2x 3xx E( X )=0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0 P(X=k)= Cnkpkqn-k证明： =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0 ( k Cnk =n Cn-1k-1) 结论：若XB(n，p)，则E(X)= np 1、随机变量X的分布列是 X135 P0.50.30.2 (1)E(X)= . 2、随机变量X的分布列是 2.4 (2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 5.8 X47910 P0.3ab0.2 E(X)=7.5,则a= b= .0.40.1 3某人进行射击，每次中靶的概 率均为0.8，现规定：若中靶就停止 射击；若没中靶，则继续射击，如果 只有3发子弹，则射击次数X的数学 期望为( ) A2.14 B4.12 C1.24 D2.41 解：射击次数X的分布列为 E(X)0.810.162 0.0431.24. 答案：C X123 P0.80.160.04 练习练习 三 某运动员投篮命中率为p0.6. (1)求一次投篮时命中次数X的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值 解：（1）投篮篮一次命中次数X的分布列为为 下表，且E(X) =p0.6 X01 P0.40.6 (2)由题题意，重复5次投篮篮，命中的次数 Y服从二项项分布， 即YB(5,0.6) 则则E(Y)np50.63. 【误误区】 对对于两点分布，找清成功 率p，本题题分布列不可写为为下表，对对于 二项项分布关键键找对试验对试验 次数 X01 P0.60.4 技巧： (1)随机变量的数学期望等于该随 机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘 积的和 (2)均值(数学期望)是随机变量的一个重要 特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平 均水平，均值(数学期望)是算术平均值概念的 推广，是概率意义下的平均 (3)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是 可变的，而E(X)是不变的 提醒：若随机变量X服从二项分布，即X B(n，p)，则可直接使用公式E(X)np. 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成 绩大约是90分 例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选 项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选 错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学 生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 的个数分是X和Y,则 XB(20,0.9),YB(20,0.25)， 所以E(X)200.918， E(Y)200.255 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5X和5Y.这样，他们在测验中的成绩的 期望分别是 E(5X)5E（X）51890， E(5Y)5E（Y）5525 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么? 随机变量的均值与样本均值的关系是 怎样的？ 提示：随机变量的均值是一个常数， 样本均值是一个随机变量，随观测次数的 增加或样本容量的增加，样本的均值趋于 随机变量的均值。 例题3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有 一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到 小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3种 方案: 方案1.运走设备,搬运费为3800元; 方案2.建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 防小洪水 方案3.不采取措施,希望洪水不发生. 试比较哪一种方案好?并说明理由. 解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即X1 = 3 800 . 采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元； 没有大洪水时，损失2 000 元，即 同样，采用第 3 种方案，有 EX13 800 , EX262 000P (X2 = 62 000 ) + 2 000P (X2 = 2 000 ) = 620000. 01 + 2000(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000P (X3 = 60000) + 10 000P(X3 =10 000 ) + 0 P (X3 =0) = 60 0000.01 + 100000.25=3100 . 采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的一般地 ，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发 生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及 洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的 思考2.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利 2 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利1010万元；如万元；如 遇下雨可则损失遇下雨可则损失4 4万元。万元。6 6月月1919日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨 的概率为的概率为40%40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？ 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益X万元,则X的分布列 P X10 4 0.60.4 所以E(X)=100.6(-4) 0.4=4.4 因为4.42, 所以商场应选择在商场外进行促销. 思考3. 有场游戏，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8 元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场 游戏对你是否有利? 1离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 知识梳理 ： x1p1x2p2xipixnpn 数学期望 平均水平 称E(X)为 随机变量X的均值或 ，它反映了离散型 随机变量取值的 2均值的性质 E(aXb). 3两点分布与二项分布的均值 (1)若X服从两点分布，E(X) (2)若XB(n，p)，E(X) 4.求离散离散型随机变量均值的步骤 确定所有可能取值； 写出分布列； 求出均值 aE(X)b np p 学习至此，请做课后作业 彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色 不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，