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R语言在概率与统计及线性代数领域中的应用 一、概率与统计：概率与统计在科学领域、工程领域与社会研究领域都有相当强的实用性。最近，机率与统计在人工智能、自然语言翻译、语音识别、机器人控制等领域，都有相当深入的进展，但是这些进展所使用到的数学，都需要相当深的机率统计基础。 在实务研究上，要重视“程序语言实作”的方式，因此采用R 这个专为机率统计而设计的语言来做研究，透过 R 语言，我们可以较为轻松的实作出许多用传统语言难以实作的程序范例，这些范例可以引导我们深入理解机率统计的理论，并且达到“以理论指导实务，以实务印证理论”的功能。R 语言当中默认就包含了各式各样的机率模型，以及各种统计工具。举例而言，当看到常态分配的机率模型时，我们可以直接使用下列指令来画出常态分布，并且用程序产生符合常态分布模型的样本，以便进行某种交互式的学习，用实验体会常态分布的意义。 dnorm(0)1 0.3989423 dnorm(0.5)1 0.3520653 dnorm(2.5)1 0.0175283 curve(dnorm(x), from = -3.5, to = 3.5, ylab=pdf, main=N(0,1) probability density function (pdf)以上只是一个绘图的范例而已，R 语言能轻易做出各式各样的机率统计程序，像是抽样、叙述报告、检定、推论、回归分析、变异数分析 (ANOVA)、质量管理、时间数列等等。范例：(1)模拟掷骰子： sample(1:6, 1)1 2 sample(1:6, 5)1 4 1 3 2 5 sample(1:6, 10)错误在sample(1:6, 10) : cannot take a sample larger than the population when replace = FALSE sample(1:6, 10, replace=T) 1 4 3 2 4 1 6 4 2 5 1 sample(1:6, 10, replace=T) 1 4 3 2 4 1 6 4 2 5 1 x x 1 1 2 5 2 4 1 4 4 6 5 x=2 x1 2 x x 1 2 4 2 2 5 4 4 5 3 2 sum(x=2)1 2 x x 1 4 1 6 2 1 3 5 5 3 6 x=2 1 FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE sum(x=2)1 1 sum(x=6)1 2(2)统计抽样结果： x for (i in 1:6) print(sum(x=i)1 10361 9781 10371 10161 9861 947绘制统计图： x = sample(1:6, 10000, replace=T) hist(x)(3)用 R 软件仿真扑克牌： num=1:13 type=c(a,b,c,d) num*type type=c(space, heart, diamond, club) interaction(num, type) 1 1.space 2.heart 3.diamond 4.club 5.space 6.heart 7 7.diamond 8.club 9.space 10.heart 11.diamond 12.club 13 13.space 52 Levels: 1.club 2.club 3.club 4.club 5.club 6.club 7.club . 13.spaceWarning message:In ans * length(l) + if1 : longer object length is not a multiple of shorter object length expand.grid(num, type) Var1 Var21 1 space2 2 space3 3 space4 4 space5 5 space6 6 space7 7 space8 8 space9 9 space10 10 space11 11 space12 12 space13 13 space14 1 heart15 2 heart16 3 heart17 4 heart18 5 heart19 6 heart20 7 heart21 8 heart22 9 heart23 10 heart24 11 heart25 12 heart26 13 heart27 1 diamond28 2 diamond29 3 diamond30 4 diamond31 5 diamond32 6 diamond33 7 diamond34 8 diamond35 9 diamond36 10 diamond37 11 diamond38 12 diamond39 13 diamond40 1 club41 2 club42 3 club43 4 club44 5 club45 6 club46 7 club47 8 club48 9 club49 10 club50 11 club51 12 club52 13 club poker = expand.grid(num, type)二、1.线性代数：使用 R 软件求解特征值与特征向量 matrix(rep(3,8), nrow=4) ,1 ,21, 3 32, 3 33, 3 34, 3 3 matrix(3, nrow=4, ncol=3) ,1 ,2 ,31, 3 3 32, 3 3 33, 3 3 34, 3 3 3 w=matrix(0, nrow=3, ncol=4) w ,1 ,2 ,3 ,41, 0 0 0 02, 0 0 0 03, 0 0 0 0 w2,3=5 w ,1 ,2 ,3 ,41, 0 0 0 02, 0 0 5 03, 0 0 0 0 x=matrix(1:12, nrow=3, ncol=4) x ,1 ,2 ,3 ,41, 1 4 7 102, 2 5 8 113, 3 6 9 12 dim(x)1 3 4 y = 1:12 y %*% x错误于y %*% x : 非整合参数 y = 1:3 y %*% x ,1 ,2 ,3 ,41, 14 32 50 68 t(x) ,1 ,2 ,31, 1 2 32, 4 5 63, 7 8 94, 10 11 12 diag(c(3,7,2) ,1 ,2 ,31, 3 0 02, 0 7 03, 0 0 2 diag(x)1 1 5 9 z = matrix(1:9, nrow=3, ncol=3) det(z)1 0 z ,1 ,2 ,31, 1 4 72, 2 5 83, 3 6 9 z2,1=10 z ,1 ,2 ,31, 1 4 72, 10 5 83, 3 6 9 det(z)1 48 eigen(z)$values1 17.936765+0.000000i -1.468383+0.721055i -1.468383-0.721055i$vectors ,1 ,2 ,31, 0.4100596+0i 0.2162169-0.1118877i 0.2162169+0.1118877i2, 0.6875542+0i -0.8668747+0.0000000i -0.8668747+0.0000000i3, 0.5992665+0i 0.4306386+0.0617265i 0.4306386-0.0617265i x ,1 ,2 ,3 ,41, 1 4 7 102, 2 5 8 113, 3 6 9 12 rownames(x) = paste(r, 1:3, sep=_) x ,1 ,2 ,3 ,4r_1 1 4 7 10r_2 2 5 8 11r_3 3 6 9 12 colnames(x) = paste(c, 1:4, sep=) x c1 c2 c3 c4r_1 1 4 7 10r_2 2 5 8 11r_3 3 6 9 12 hist(x) 范例：(1)R 软件与排列组合 prod(5:1)1 120 prod(5:3)1 60 choose(5,3)1 10 choose(52, 4)1 270725(2)人工智能中的机率统计范例 - 牙医判断牙痛问题问题描述：当病人来看牙医时，该病人可能有蛀牙或没蛀牙，也可能有牙痛或没有牙痛，而牙医可能会找到牙痛的原因或找不到。因此有下列三个随机变量：X:(蛀) 蛀牙与否 (Cavity)Y:(痛) 牙痛与否 (Toothache)Z:(找) 是否找到痛的牙 (Catch)假如这个问题个统计机率都已经知道了，如下表所示：牙痛 (Y=1)不牙痛 (Y=0)找到 (Z=1)找不到 (Z=0)找到 (Z=1)找不到 (Z=0)蛀牙(X=1)0.1080.0120.0720.008沒蛀牙 (X=0)0.0160.0640.1440.576如果将这个表格写成一整排，那么将会以下列机率表格显示。蛀 X痛 Y找 ZP(X,Y,Z)0000.5760010.1440100.0640110.0161000.0081010.0721100.0121110.108问题1：请计算 P(没痛) = P(Y=0) = ?2：请计算 P(找到 | 牙痛) = ?3：请问这是一个合理的机率分布吗？4：请计算 P(Z=1 | X=1) = ?5：请计算 P(Z=1, Y=1) = ?6：请计算 P(蛀 | 找到), P(蛀), P(找到), P(找到 | 蛀) ，然后验证下列贝氏定理是否成立。(1) P(找到|蛀)=P(蛀|找到)P(找到) P(蛀)解答：由于 R 的 数组是用以行为主的顺序 (Column Major Order)，因此没办法直接与上列的表格对起来。所以我们必须先将真值表改为以行为主的方式，改写后如下表所示：蛀 X痛 Y找 ZP(X,Y,Z)0000.5761000.0080100.0641100.0120010.1441010.0720110.0161110.108由于 R 的数组是从 1 开始算的，因此还必须将上表修改如下：蛀 X痛 Y找 ZP(X,Y,Z)1110.5762110.0081210.0642210.0121120.1442120.0721220.0162220.108 p p, , 1 ,1 ,21, 0.576 0.0642, 0.008 0.012, , 2 ,1 ,21, 0.144 0.0162, 0.072 0.108 p1,1,11 0.576 p2,1,11 0.008 p1,2,11 0.064 p2,2,11 0.012 p1,1,21 0.144 p2,1,21 0.072 p1,2,21 0.016 p2,2,21 0.108 dimnames(p)1 = c(沒蛀, 蛀) dimnames(p)2 = c(沒痛, 痛) dimnames(p)3 = c(沒找, 找) p, , 沒找 沒痛 痛沒蛀 0.576 0.064蛀 0.008 0.012, , 找 沒痛 痛沒蛀 0.144 0.016蛀 0.072 0.108解答1：P(没痛) = 0.8计算过程： p,沒痛, 沒找 找沒蛀 0.576 0.144蛀 0.008 0.072 sum(p,沒痛,)1 0.8解答2：P(找到 | 牙痛) = 0.62 p,找 沒痛 痛沒蛀 0.144 0.016蛀 0.072 0.108 sum(p,找)1 0.34 sum(p,痛,找)1 0.124 sum(p,痛,找)/sum(sum(p,痛,)1 0.62解答3：请问这是一个合理的机率分布吗？ (是的，因为总和为 1，而且每个机率直都介于 0 到1之间) sum(p)1 1 0 p sum(p2,2)/sum(p2,)1 0.9解答5：请计算 P(Z=1, Y=1) = 0.124 p,2,2 沒蛀 蛀 0.016 0.108 sum(p,2,2)1 0.124解答6：请计算 P(蛀 | 找到), P(蛀), P(找到), P(找到 | 蛀) ，然后验证下列贝氏定理是否成立。P(蛀 | 找到) = p(找到|蛀) * p(蛀)/p(找到)说明：P(蛀 | 找到) = 0.5294118, P(蛀)=0.2, P(找到)=0.34, P(找到 | 蛀)=0.9P(蛀 | 找到) = 0.5294118 = 0.9 * 0.2/0.34 = = p(找到|蛀) * p(蛀)/p(找到) pab = sum(p蛀,找)/sum(p,找) ; pab = P(蛀 | 找到) pba = sum(p蛀,找)/sum(p蛀,) ; pba = P(找到 | 蛀) pa = sum(p蛀,) ; pa = P(蛀) pb = sum(p,找) ; pb = P(找到) pab1 0.5294118 pba1 0.9 pa1 0.2 pb1 0.34 pba*pa/pb1 0.5294118 pab-pba*pa/pb1 0所以：p(蛀|找) = sum(p蛀,找)/sum(p,找) = pab = pba * pa / pb = p(找|蛀) * p(蛀)/p(找) = sum(p蛀,找)/sum(p,蛀)* sum(p,蛀)/ sum(p找,)2.线性代数：使用 R 软件计算最小二乘法： x y l l$coefficientsIntercept X1.02 4.00$residuals1 -0.12 0.08 0.18 -0.12 -0.02$intercept1 TRUE$qr$qt1 -5.85849810 2.52982213 0.23749843 -0.02946714 0.10356728$qrIntercept X1, -2.2360680 -0.89442722, 0.4472136 0.63245553, 0.4472136 -0.19543954, 0.4472136 -0.51166735, 0.4472136 -0.8278950$qraux1 1.447214 1.120788$rank1 2$pivot1 1 2$tol1 1e-07attr(,class)1 qr最小二乘法也可用 QR 分解完成 X X,1 ,21,