《函数的积分学》PPT课件.ppt

上页下页首页 第三章 一元函数的积分学 内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积 分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨公式 不定积 分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用 上页下页首页 要求 1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式 ，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数 并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积 分法 3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用 定积分求解简单的经济应用问题 4了解反常积分的概念，会计算反常积分 上页下页首页 3.1 不定积分 内容重点： 1.不定积分、原函数的定义 2.不定积分的计算(主要是换元法和分部积分法) 上页下页首页 例 定义： 1、原函数与不定积分的概念 上页下页首页 原函数存在定理 ： 连续函数一定有原函数. 注意： (1) 原函数不唯一; (2) 原函数之间的关系: 若 和 都是 的原函数 ， 上页下页首页 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 上页下页首页 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. 上页下页首页 基 本 积 分 表 是常数); 说明： 简写为 2、 基本积分表 上页下页首页 上页下页首页 上页下页首页 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 3、 不定积分的性质 上页下页首页 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 化为 4、 不定积分的计算 即 上页下页首页 则有换元公式 定理2 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 换元法 积分中为了化掉 根式是否一定采 用三角代换并不 是绝对的，需根 据被积函数的情 况来定. 上页下页首页 基 本 积 分 表 上页下页首页 上页下页首页 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 上页下页首页 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 . 若分部产生循环式 , 由此解出积分式 (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 上页下页首页 3.2 定积分 内容重点：1.定积分的定义 3.定积分的计算(主要是换元法和分部积分法) 4.定积分的性质及积分中值定理 5.定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用 6.广义积分的收敛与发散，广义积分的计算 2.变上限积分及其导数 上页下页首页 1、定积分定义 定义 上页下页首页 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 上页下页首页 注意： 上页下页首页 定理1 定理2 存在定理 上页下页首页 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值 定积分的几何意义 上页下页首页 几何意义： 上页下页首页 2、定积分的性质 (设所列定积分都存在) ( k 为常数) 上页下页首页 6. 若在 a , b 上则 推论1. 若在 a , b 上则 推论2. 7. 设 则 8. 积分中值定理 则至少存在一点使 上页下页首页 考察定积分 记积分上限函数 3、积分上限函数及其导数 上页下页首页 积分上限函数的导数 补充 上页下页首页 定理 3（微积分基本公式） 4、牛顿莱布尼茨公式 上页下页首页 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 上页下页首页 定理 5、定积分的换元法和分部积分法 设函数单值函数 满足: 1) 2) 定积分的换元公式 上页下页首页 应用换元公式时应注意: （1） （2） 上页下页首页 定积分的分部积分公式 推导 定积分的分部积分法 上页下页首页 上页下页首页 6、广义积分 无穷限的广义积分 上页下页首页 上页下页首页 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 上页下页首页 引入记号 则有类似牛 莱公式的计算表达式 : 上页下页首页 无界函数的反常积分 上页下页首页 上页下页首页 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. 上页下页首页 注意: 若瑕点 的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 上页下页首页 微元法 7.定积分的应用 上页下页首页 这个方法通常叫做微元法 应用方向： 平面图形的面积；体积。 上页下页首页 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形的面积 1.直角坐标系情形 上页下页首页 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴 圆柱圆锥圆台 旋转体的体积 上