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第七节 函数的连续性 一、函数的连续性的有关定义 1 变量在一点处的改变量（增量）： 自变量的改变量： 因变量的改变量： 强调： 2 连续的定义 定义1 定义2 注释： 定义表明： （1）函数在一点的连续性定义 证明： 左连续： 左连续 右连续： 右连续 左连续右连续连续 重要结论： 解： 解： 解： （2）函数在区间上的连续性定义 定义： 注释： 证明： 注释： （2）函数在一点处极限存在与连续的关系： 二、函数的间断点及分类 间断点： 1 概念 2 间断点的分类 分析： 分类如下： 第一类间断点：左右极限都存在的间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点第二类间断点： 总结： 解： （1） 振荡型不存在 解： 三、连续函数的性质 1 连续函数的四则运算法则 定理1：两个连续函数的和、差、积、商仍是连续函数 证明： 只对和的情况证明： # 推论： 任意有限个连续函数的和、差、积、商仍是 连续函数 注释：商的情况下要求分母不为0 三角函数在定义区间上连续 2 反函数的连续性 定理2 ：原函数连续则反函数也连续 反三角函数在定义区间上连续 3 复合函数的连续性 定理3 ：连续函数复合后仍是连续函数 结论：一切初等函数在其定义区间上连续 由定义可知：其它基本初等函数在其定义区间上连续 解： 解： 四、小结 思考题 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 4. 初等函数的连续性 （1）初等函
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