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傅里叶变换 (傅立叶变换) (傅立叶逆变换) 傅里叶变换变换 定理（1） （1）线性定理：如果 （波的叠加原理） 则有 （2）相似性定理：如果 （缩放和反演定理） 则有 （单缝衍射，缝窄衍射变宽） 傅里叶变换变换 定理（2） （3）位移定理：如果 则有 ，函数在空域中的平移，带来频域中的相移 同时 ，函数在空域中的相移，带来频域中的平移 傅里叶变换变换 定理（3） （4）帕色伐（Parseval）定理： 如果 则有： 该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。 （5）卷积定理：如果 则有 即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换变换 对应着两者变换式的乘积 而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换变换 对应着两者变换式的卷积 卷积定理为傅里叶变换变换 的计算提供了另一个方便的途径。 傅里叶变换定理（4） 傅里叶变换变换 定理（5） （6）傅里叶积分定理：在函数 的各个连续连续 点上有 对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而 对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“ 倒立像”。 二维傅里叶变换变换 定义 若函数 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅 里叶变换定义为 傅里叶变换记作 函数 的傅里叶反变换变换 为 傅里叶反变换记作 傅里叶频谱概念和狄里赫利条件 根据欧拉公式， 是频率为 的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加 时的权重因子是 。因此傅里叶变换 常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和 狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为为：“在任一有限矩形区域里 ，必须须只有有限个间间断点和有限个极大极小点，而且 没有无穷穷大间间断点” 关于存在性的两点说明 在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函 数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说 ，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度 来看，可以认为傅里叶变换总是存在的 在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、 阶跃阶跃 函数以至最简单简单 的常数等。它们们都是光学中经经常用到的，而且 都不能满满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对 于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换 可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义 和广义的区别 二维不变线变线 性系统统的传递传递 函数 如果不变线变线 性系统统的输输入是空域函数，其傅里叶变换为 同时输输出函数和脉冲响应应函数的傅里叶变换分别为 根据卷积定理有 即 称做不变线变线 性系统统的的传递传递 函数 传递传递 函数的意义 空间频谱是基元函数的线线性组组合中对应对应 的权权重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不 同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递” 为输出过程中的作用，因而称为传递函数 传递传递 函数一般是复函数，其模的作用是改变输变输 入函数各 种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这变这 些 基元成分的初位相 传递传递 函数的模称作振幅传递传递 函数，传递传递 函数的幅角称 作位相传递传递 函数 空间频率的两种意义 空间频率类类似于时时域函数的时间时间 频率，时间时间 倒数称作频频率，长长度倒 数称作空间频间频 率，即在单单位长长度内周期函数变变化的周数 信息光学中有两种空间频间频 率，一种是对二维图象进行频谱分析得到 的图象频谱对应的空间频间频 率，这是一种空间强度分布，其大小是没 有限制的，可以是无穷大 另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因 为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变 的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为： 光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方 向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数 。下章再详细讲这两者区别 不变线变线 性系统统的本征函数 如果函数 满足以下条件 （式中 为为一复常数）则则称为为算符所表征的系统统的本征函数。这这 就是说说，系统统的本征函数是一个特定的输输入函数，它相应应的输出 函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。 前面讲的基元函数复指数函数就是线线性不变变系统统的本征函数 即 物理光学中已经说明光波可以用复指数函数表示，光学系统 传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入 变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统 非相干成像系统的本征函数（1） 下面再讨论讨论 其脉冲响应是实函数的一类类特殊的空间间不变变线性系统 ， 它把一个实值输入变换为一个实值输出。 这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。 实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有 由于 因而 由此可见，这种系统振幅传递传递 函数是偶函数，位相传递传递 函数是奇 函数 常用函数及其傅里叶变换变换 （1）常数c （2） 函数 （3）余弦函数 （4）正弦函数 非相干成像系统的本征函数（2） 余弦函数或正弦函数是这类这类 系统统的本征函数 ，输输入函数为为余弦 函数 对应的频谱为 该该不变变线性系统输输出函数频谱频谱 则为为 系统输输出函数相应为为 非相干成像系统的本征函数（3） 因而有： 这表明，对对于脉冲响应是实函数的空间间不变变线性系统，余弦输入 将产生同频率的余弦输出。 同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递 函数的模和幅角。 非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间间不变变线 性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。 级联系统 下图表示的是两个级联在一起的空间间不变变线性系统，前一系统的 输出恰是后一系统的输入 两个系统级联的传递函数 对于总的系统 和 分别别是其输输入和输输出，因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有 总的脉冲响应为 总的传递函数为 n个空间间不变变线性系统的级联 n个空间间不变变线性系统级联的情况，总的等效系统的