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1.3.2函数的极值与导数 a b x y O 定义 一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有 定义, 如果对x0附近 的所有的点, 都有 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小 值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. y abx1x2x3x4 Ox 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点. （1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值 （2）极大值不一定比极小值大 （3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例：y=x3 练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. a b x y x1O x2x3 x4x5 x6 因为 所以 例1 求函数 的极值. 解: 令 解得 或 当 , 即 , 或 ; 当 , 即 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x(, 2)2(2, 2)2( 2, +) 00 f (x) + 单调递增单调递减单调递增 所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 . 求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成 若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 练习2 求下列函数的极值: 解: 令 解得 列表: x 0 f (x) + 单调递增单调递减 所以, 当 时, f (x)有极小值 练习2 求下列函数的极值: 解: 解得 列表: x(, 3)3(3, 3)3( 3, +) 00 f (x) + 单调递增单调递减单调递增 所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 . 练习2 求下列函数的极值: 解: 解得 所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 解得 所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 . 习题 A组 #4 下图是导函数 的图象, 在标记的点中,
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