《ch15连续函数》PPT课件.ppt

第1章 函数、极限、连续 第1节 集合、映射与函数 第2节 数列的极限 第3节 函数的极限 第4节 无穷小量及无穷大量 第5节 连续函数 2008年10月22日1 南京航空航天大学 理学院 数学系 第5节 连续函数 n5.1 函数的连续性概念与间断点的分类 n5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续 n5.3 闭区间上连续函数的性质 n5.4 函数的一致连续性 2008年10月22日2 南京航空航天大学 理学院 数学系 5.1 函数的连续性概念与间断点的分类 1 连续性概念 2 间断点及其分类 2008年10月22日3 南京航空航天大学 理学院 数学系 考察函数的图形： 图1 图2 几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线! 1 连续性概念 2008年10月22日4 南京航空航天大学 理学院 数学系 可见 , 函数在点 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义 ,存在 ; 若 2008年10月22日5 南京航空航天大学 理学院 数学系 continue 若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间上的连续函数的集合记作 只要都有 2008年10月22日6 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月22日7 南京航空航天大学 理学院 数学系 左连续右连续 当时, 有 函数在点连续有下列等价命题: 2008年10月22日8 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 事实上， 例1 2008年10月22日9 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 解 右连续但不左连续 , 2008年10月22日10 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 解 2008年10月22日11 南京航空航天大学 理学院 数学系 在 在 (1) 函数 (2) 函数不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在无定义 ; 2 间断点及其分类 2008年10月22日12 南京航空航天大学 理学院 数学系 图3 图4 图5 图6 观 察 函 数 的 图 形 2008年10月22日13 南京航空航天大学 理学院 数学系 图7 o y x 图8 图3- 图8曲线在某点断开了! 2008年10月22日14 南京航空航天大学 理学院 数学系 间断点分类: 第一类间断点: 及均存在 , 若 称 若称 第二类间断点: 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 及 2008年10月22日15 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4 确定函数间断点的类型. 解 间断点 为无穷间断点; 故为跳跃间断点. 2008年10月22日16 南京航空航天大学 理学院 数学系 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别: 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:跳跃型,可去型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 2008年10月22日17 南京航空航天大学 理学院 数学系 Z 思考题 2008年10月22日18 南京航空航天大学 理学院 数学系 思考题解答 且 1、 2008年10月22日19 南京航空航天大学 理学院 数学系 但反之不成立. 例 但 2008年10月22日20 南京航空航天大学 理学院 数学系 5.2 连续函数的运算性质 与初等函数的连续 1 连续函数的运算法则 2 初等函数的连续性 2008年10月22日21 南京航空航天大学 理学院 数学系 1 连续函数的运算法则 n和、差、积、商的连续性 n复合函数的连续性 n反函数的连续性 n初等函数的连续性 n幂指函数的连续性 （一类特殊的初等函数） 2008年10月22日22 南京航空航天大学 理学院 数学系 和、差、积、商的连续性 在定义域内都连续 定理5.1 设 例如, 2008年10月22日23 南京航空航天大学 理学院 数学系 复合函数的连续性 2008年10月22日24 南京航空航天大学 理学院 数学系 连续性定义 复合函数连续性 意义 函数运算和极限运算可交换次序！ 2008年10月22日25 南京航空航天大学 理学院 数学系 反函数的连续性 p18的反函数存在定理 例如, 在其定义域内连续 2008年10月22日26 南京航空航天大学 理学院 数学系 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 常数函数在(-,+ )内是连续的. 2008年10月22日27 南京航空航天大学 理学院 数学系 2 初等函数的连续性 结论1 基本初等函数在定义域内是连续的. 结论2 一切初等函数在其定义域内任何区间上 都是连续的. 称为 定义区间 2008年10月22日28 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意2 初等函数求极限的方法代入法. 例1 例2 解 解 2008年10月22日29 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 解 例4 解 2008年10月22日30 南京航空航天大学 理学院 数学系 幂指函数的连续性 一类特殊的初等函数 2008年10月22日31 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7. 求 解原式 2008年10月22日32 南京航空航天大学 理学院 数学系 5.3 闭区间上连续函数的性质 1 有界性定理 2 最值定理 3 零点存在定理（二分法） 4 介值定理 2008年10月22日33 南京航空航天大学 理学院 数学系 1 有界性定理 在a, b上有界. 反证法+Weiestrass 定理 即，在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定理5.4 2008年10月22日34 南京航空航天大学 理学院 数学系 2 最大值和最小值定理 定理5.5 在闭区间上连续的 函数一定有最大值 和最小值. 验证 由上确界定理 +Weiestrass 定理+夹逼性。 2008年10月22日35 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 2008年10月22日36 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理5.6且 3 零点存在定理（二分法） 几何解释 2008年10月22日37 南京航空航天大学 理学院 数学系 零点定理的证明 不妨设f (a) 0 f (b) . 如此等分区间进行下去， 得到一列不断缩小的闭区间 2008年10月22日38 南京航空航天大学 理学院 数学系 若对某个k有，定理得证！ 不然等分区间无限进行下去. 由闭区间套定理， 由函数的连续性，及夹逼性，对 两边取极限得 2008年10月22日39 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 证明方程 一个根 . 证 显然又 故据零点定理, 至少存在一点使即 说明: 内必有方程的根 ; 取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根. 二分法 在区间内至少有 则 则 2008年10月22日40 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 证 由零点定理, 2008年10月22日41 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理5.7 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 m , 一点 证 作辅助函数 则且 故由零点定理知, 至少有一点使 即 使 至少有 4 介值定理 2008年10月22日42 南京航空航天大学 理学院 数学系 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 推论 闭区间上非常数的连续函数的值域为闭 区间. 2008年10月22日43 南京航空航天大学 理学院 数学系 连续的定义 是一个局部概念 一致连续在某个区间上“一起”连续 整体化 5.4 函数的一致连续性 2008年10月22日44 南京航空航天大学 理学院 数学系 在 I 上一致连续 . 显然: 定义5.2 例如, 但不一致连续 . 2008年10月22日45 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 证明： 都有 2008年10月22日46 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 但不一致连续 . 因为取点 则 可以任意小 但 这说明在 ( 0 , 1 上不一致连续 . 证明 2008年10月22日47 南京航空航天大学 理学院 数学系 但 证明： 2008年10月22日48 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理5.8 闭区间上的连续函数都是一致连续的 反证法+Weiestrass 定理 2008年10月22日49 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明：利用weierstrass证明 2008年10月22日50 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月22日51 南京航空航天大学 理学院 数学系 在a,b上有界; 在a,b上达到最大值与最小值; 在a,b上可取最大与最小值之间的任何值; 4.当 时,使必存在 在a,b上一致连续; 小结 2008年10月22日52 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月22日53 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 例1 证明: 若 令则给定当 时, 有 又 根据有界性定理, 使 取 则 在内连续, 存在, 则 必在内有界. (P80(B). 2题) 2008年10月22日54 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2. 证明： (P80. 14题) 2008年10月22日55 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3. 证明： (P80. 15题) 2008年10月22日56 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4. 证明： 可以看出， 一致连续要求函数变化不要“太陡” (P79. 5题) 2008