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第三章 微分中值定理与导数的 应用 高等数学 第五节 函数曲线的凹凸性 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 二、曲线凹凸的判定 定理1 例1 解 注意到, 注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。 例2 解 三、曲线的拐点及其求法 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 证 方法1: 例3 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 方法2: 例4 解 注意: 例5 解 凹、降凸、降拐点 极大 值 拐点 凹、 升 凸、 升 例7 解 拐点非拐点 例7 解 例8 解 四、小结 曲线的弯曲方向凹凸性; 改变弯曲方向的点拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 思考题 思考题解答 例 第五节 函数作图 一、渐近线 定义: 1.铅直渐近线 例如 有铅直渐近线两条: 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 3.斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 例1 解 二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步 三、作图举例 例2 解非奇非偶函数,且无对称性. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间 断 点 作图 凹、降凸、降拐点 极大 值 拐点 凹、 升 凸、 升 例3 解 偶函数, 图形关于y轴对称. 拐点 极大值 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点: 拐点 例4 解无奇偶性及周期性. 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 拐点 极大值 极小值 四、小结 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点 凹的 凸的 单增 单减 思考题 思考题解答 练
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