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第5章 虚功原理与结构位移计算 5-1 刚体体系的虚功原理与位移计算 5-3 荷载作用下的位移计算 5-2 结构位移计算的一般公式 5-4 荷载作用下的位移计算举例 5-6 温度变化时的位移计算 5-7 互等定理 5-5 图乘法 5-7 互等定理 本节介绍 线性变形体系 的四个互等定理，其中最基本的是 功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。 1. 功的互等定理 (a) 第一状态 FP1 12 1121 (b) 第二状态 FP2 1 2 1222 为证明功的互等定理,这两组力按不同次序先后作用于同一 结构上, 所作的总功分别如下： (1)先加F P1 后加F P2 ，外力的总功 (2)先加FP2后加FP1，外力的总功 (a) 第一状态 FP1 12 1121 (b) 第二状态 FP2 1 2 1222 功的互等定理：（最基本的定理） 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 外力所作总功与加载次序无关， 即： 由(1)、(2)可得： 2. 位移互等定理 若令：F P1 =F P2 =1 则有： 即： (a) 第一状态 FP11 12 21 (b) 第二状态 FP21 1 2 12 位移互等定理: 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移， 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的 位移。(单位力广义力， 位 移广义位移） 功的互等定理为 （功的互等定理的一个特例 单位力） 第二状态： 支座2发生单位位移21时， 使支座1产生的反力r12。 3.反力互等定理（也是功的互等定理的一个特例 单位位移） 11 第一状态： 支座1发生单位位移11时， 使支座2产生的反力r21； 根据功的互等定理有： 反力互等定理: 支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于 支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。 即： (a) 第一状态 r21 12 (b) 第二状态 21 r12 12 由反力互等定理，则有： r12 = r21 注意：该定理对结构上任何两支座都适用， 但注意反力与位移在作功的关系上要对应， 即力对应线位移；力偶对应角位移。 (a) 第一状态 r21 1 2 11 (b) 第二状态 21 r12 1 2 这里反力偶r12等于反力r21，量纲不同？ 并不矛盾！实质上应该是功的量纲。 例： 4.反力位移互等定理 （也是功的互等定理的一个特例） 由两个状态应用功的互等定理，则有 (b) 第二状态 （由1=1 引起21 ） 21 1 2 11 （a）第一状态 （由F P2 =1 引起r12） FP21 r12 1 2 即有： 反力位移互等定理： 单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位
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