《剪力图和弯矩》PPT课件.ppt

弯 曲 第 9 章 9-4 求惯性矩的平行移轴公式 9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 9-3 弯曲正应力 9-6 梁的强度条件 9-5 弯曲切应力 9-8 弯曲应变能 9-10 超静定梁 9-7 挠度和转角 9-1 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 9-9 斜弯曲 材料力学发展大事记 梁的弯曲问题 在关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证 明一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问题 。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式并不 完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力和bh2 （b、h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁承载能 力和d3（d为横截面直径）成正比的正确结论。对于空心梁 承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大大提高强 度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应用。在自然 界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可 以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗 能力”。 梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长也 不缩短者，称为中性层。早在1620年荷兰物理学家和力学家比 克门（Beeckman I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另一侧纤 维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国科学家胡 克（Hooke R）于1678年也阐述了同样的现象，但他们都没有 述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法国科学家马 略特（Mariotte E, 1680年）。其后莱布尼兹（Leibniz G W ）、雅科布伯努利（Jakob Bernoulli，1694）、伐里农（ Varignon D, 1702年）等人及其他学者的研究工作尽管都涉及 了这一问题，但都没有得出正确的结论。18世纪初，法国学者 帕伦（Parent A）对这一问题的研究取得了突破性的进展。直 到1826年纳维（Navier，C. L. M. H）才在他的材料力 学讲义中给出正确的结论：中性层过横截面的形心。 平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科布 伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明 梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲 线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性 模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。 梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（Nemore J de）已经提出，此后雅科布伯努利、丹尼尔伯努利（ Daniel Bernoulli）、欧拉（Euler L）等人都曾经研究 过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正确 的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁的 变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。 俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ ）于1855年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞 别斯帕罗夫（）开始使用弯矩图，被认为 是历史上第一个使用弯矩图的人。 内 容 提 要 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 9 1 剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。 a P AB 一、梁的剪力（ FS ）和弯矩 （ M ） 的定义与计算 m m x 1、用截面法求横截面上的内力 FS 用截面法假想地在 横截面mm处把梁分 为两段，先分析梁左段。 x x m A m y C a P AB m m x 由平衡方程得 可得 FS = FA FS 称为 剪力剪力 可得 M = FAx 由平衡方程 M 内力偶 M 称为 弯矩弯矩 a P AB m m x FS x x m A m y C M a P AB m m x FS x x m A m y C 梁在弯曲变形时， 横截面上的内力有 两个，即， 结论 剪力 FS 弯矩 M FS M 其上剪力的指向和弯矩 的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。 M FS x x m A m y C 取右段梁为研究对象。 B m m P dx + （1）剪力 FS 的符号 2、FS 和 M 的正负号的规定 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。 FS FS 或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。 dx - - 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左下右上” 的错动为负。 FS FS 或使 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。 + 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。 （2）弯矩符号 （受拉） MM （受压） 横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为 负。 - （受压） M M （受拉） 例题：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 横截面上的剪力和弯矩。 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 1 1 2 2 3 3 4 4 FB FA 解：求支座反力，取整体为研究对象 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 1 1 2 3 3 4 4 FB FA FA 1 1 M1 FS1 求 1-1 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。 2 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 2 2 3 3 4 4 FB FA M2 FS2 求 2-2 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。 FA 12KN.m 2 2 1 1 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 2 2 3 3 4 4 FB FA 1 1 在集中力偶两侧的相邻横截面上, 剪力相同而弯矩发生突变, 且突变值等于外集中力偶之矩. 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 2 2 3 3 4 4 FB FA 1 1 求 3-3 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。 FA 12KN.m 3 3 M3 FS3 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 2 2 3 3 4 4 FB FA 1 1 求 4-4 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。 M4 FS4 2KN 4 4 12KN.m A B 2m2m2m 2KN 2 2 3 3 4 4 FB FA 1 1 在集中力两侧的相邻横截面上 , 剪力发生突变 , 且突变值等于 集中力的数值 。而弯矩保持不变。 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右 侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的 代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。 求剪力和弯矩的简便方法 剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动 趋势时的剪力为正；反之为负。 横截面上的 弯矩弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁 段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。 弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下 半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。 不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。 利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的，利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法简便法。 熟练掌握 简便法 梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的位 置而变化。 为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩 沿梁长的变化情况用图形来表示剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置， 纵坐标表示相应的剪力和弯矩。 剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化 的函数式，再由函数式画出函数图形。 二、列剪力方程和弯矩方程 ，画剪力图和弯矩图 弯矩 : 正值弯矩画在 x 轴的下侧；负值弯矩画在x 轴上侧 。 剪力 : 正值剪力画在 x 轴上侧，负值剪力画在 x 轴下侧。 剪力图和弯矩图 即 Fs = Fs (x ) M = M（x） * 剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁 的轴线重合, 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , 这种关系称为剪力方程和弯矩方程。 绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。 x M(x) M 图的坐标系 o x Fs(x) Fs 图的坐标系 o 例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。 x l 解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 q x q M FS 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值 x l q x q M FS 根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段 。 x l q 剪力图为一斜直线 FS x - ql 弯矩图为二次抛物线 - ql2/2 l/2 ql2/8 x M x l q FS x - ql - ql2/2 l/2 ql2/8 x M 解：求得两个支反力 例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。 AB l q FB FA 取距左端为 x 的任意横截面。写出 剪力方程 和 弯矩方程。 AB l q FB FA x 剪力图为一倾斜直线。 绘出剪力图。 x = 0 处 ， x = l 处 ， + AB l q FB FA x _ 弯矩图为一条二次抛物线。 AB l q FB FA x 绘出弯矩图 + AB l q FB FA x 梁跨中截面上的弯矩值为最大 但此截面上 ，FS = 0 两支座内侧横截面上剪力 绝对值为最大 AB l q FB FA x + + 解：求梁的支反力 例题 : 图示的简支梁在 C 点处受集中荷载 P作用。试作此梁 的剪力图和弯矩图。 l P A B C a b 因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写 剪力方程和弯矩方程。 l P A B C a b l P A B C a b x AC段： l P A B C a b x x CB段： l P A B C a b x1 x2 Pb/l Pa/l + - l P A B C a b x1 x2 + Pab/l l P A B C a b x1 x2 + Pab/l Pb/l Pa/l + - 在集中荷载作用处的左、 右两侧截面上 剪力值（图） 有突变。突变 值等于集中 荷载 P 。弯矩图形成尖角， 该处弯矩值最大 。 例题: 试作简支梁的剪力图和弯矩图 . 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m 解: 求支座反力 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m 分段列剪力方程和弯矩方程 x AC段 : 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m x CB段 : x 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m x x - 6 2 剪力图 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m x x 弯矩图 AC段为斜直线 , CB段为二次 抛物线 . CB段取三个截面的弯矩值 + - 1.6 0.4 0.4m 1.0 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m + - 1.6 0.4 - 6 2 最大剪力位于 B 支座稍左横 截面上 . 最大弯矩位于 集中力偶作用 处稍右横截面上 . 0.4m A B C 2KN.m 10KN/m 0.2m + - 1.6 0.4 - 6 2 集中力偶作用处弯矩值发生突 变 , 突变值等于集中力偶之矩 . 以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处， 及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯 矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。 作剪力图和作剪力图和弯矩图的弯矩图的几条规律几条规律 取梁的左端点为坐标原点，x 轴向右为正；剪力图向 上为正；弯矩图向下为正。 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（ 图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则 形成一个尖角。 梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值 （图