《不定积分滴学习》PPT课件.ppt

4.1 不定积分的概念与性质 4.2 不定积分的换元积分法 4.3 不定积分的分部积分法 4.4 积分表的用法 第4章 不定积分 结束 前页结束后页 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的原函数. 定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意 点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数. 4.1.1 原函数的概念 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数. 4.1 不定积分的概念与性质 前页结束后页 (2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数 不是唯一的,且有无穷多个 注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存 在具体理由将在下一章给出 例如 而 在 上 是 的原函数 也是它的原函数 即 加任意常数都是 的原函数. (3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任 意两个原函数只差一个常数项. 此结论由Lagrange定理推论可证 前页结束后页 定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那 么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区 间 I 上的不定积分. 记作 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称 为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. 即 2.不定积分的概念 前页结束后页 例2 求 解 例1 求 解 前页结束后页 例3 求 解 前页结束后页 3 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. 特别地，有 前页结束后页 4.1.2不定积分的基本积分公式 前页结束后页 前页结束后页 例4 计算下列积分 解 前页结束后页 例5 计算下列积分 解 (1) (2) 前页结束后页 4.1.3 不定积分的性质 性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 性质2可以推广到有限多个函数的情形，即 性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即 前页结束后页 例6 求 解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可 前页结束后页 例7 求 解 例8 求 解 前页结束后页 例9 求 解 例10 求 解 前页结束后页 解 例11 求 前页结束后页 例12 求 解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 前页结束后页 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的 积分曲线,不定积分表示的不是一个原 函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常 说成一族函数,反映在几何上则是一族 曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族. 4.1.4.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k, 因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x) 处的切线斜率. 前页结束后页 例13 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知 因此所求曲线的方程为 前页结束后页 4.2.1 第一类换元法 例1 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积 函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从 而 所以有 ？分析 4.2 换元积分法 前页结束后页 综合上述分析，此题的正确解法如下： 前页结束后页 解 前页结束后页 定理1 证 依题意有 即有又由复合函数微分法可得 前页结束后页 根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用 第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积 分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 前页结束后页 例2 求 解 解 例3 求 前页结束后页 例4 求 解 例5 求 类似地，有 解 前页结束后页 (1) = (2) (3) (4) (5) 此外还可以得到一组积分公式： 前页结束后页 4.2.2 第二类换元积分法 例6 求 解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有 前页结束后页 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想. 前页结束后页 设 是单调可导的函数， 且定理2 那么 应用第二类换元法求不定积分的步骤为 前页结束后页 例7 求 解 前页结束后页 例8 求 解 前页结束后页 ax t 前页结束后页 例9 求 解 前页结束后页 a x t 前页结束后页 例10 求 解 前页结束后页 a x t 前页结束后页 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角 换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如 下情形： 前页结束后页 补充的积分公式： 前页结束后页 前页结束后页 由函数乘积的微分公式 移项得 对上式两端同时积分，得 公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . 或 4.3 分部积分法 前页结束后页 注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为 易，解题的关键在于恰当的选择u和v. 选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定 前页结束后页 即一般情况下，u与dv按以下规律选择 前页结束后页 例1 求 解 前页结束后页 例2 求 解 前页结束后页 例3 求 解 前页结束后页 例4 求 解 例5 求 解 前页结束后页 例6 求 解 前页结束后页 例7 求 解 前页结束后页 例8 求 解 在计算积分时,有时需要同时使用换元积 分法与分部积分法. 前页结束后页 把常用的积分公式汇集成表，这种表 叫做积分表.积分表是按照被积函数的类 型来排列的.求积分时，可根据被积函数 的类型直接地或经过简单的变形后，在 表内查得所需的结果. 4.4 积分表的使用 前页结