2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛.doc

全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1方程的实数解为 提示与答案：x0无解; 当时，原方程变形为32x+3x6=0，解得3x=2，x=log322函数R的单调减区间是 .提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z 3在中，已知，则 .提示与答案：，得4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 提示与答案：极小值4，端点函数值f(2)=0，f(0)=2，最小值4，最大值05在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B，106设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 提示与答案：f(2k-1)=0，kZ. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，kZ. 所以至少有50个零点. （第7题）7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 10设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 提示与答案：由，恒成立，即. 因为或，故，所以二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭圆上的三点若，证明：线段的中点在椭圆上解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 y121，y221 由，得 M(x1x2，y1y2) 因为M是椭圆C上一点，所以 (y1y2)21， 6分 即 (y12)()2(y22)()2+2()()(y1y2)=1， 得 ()2()2+2()()(y1y2)1，故 y1y20 14分 又线段AB的中点的坐标为 (，)， 所以 2()2(y12)+(y22)+y1y21， 从而线段AB的中点(，)在椭圆2y21上 20分 12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=1+2d，a6=1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 6分当n6时，an =n4， 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n5时，an =2n-5. 故 an = 10分(2) 由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 当m=1时等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 当m=3时等式成立，即 1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； 15分 当m5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=72m-5， 72m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3 20分13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、 证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形ABCDEFHG证明：(1) 由HGCE，得BHF=BEC， 又同弧的圆周角 BAF=BEC， BAF=BHF， 点 A、B、F、H共圆； 8分 (2) 由(1)的结论，得 BHA=BFA， BEAD， BFAC， 又AD是圆的直径， CGAC， 14分 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，BFG =DAB =BCG， B、G、C、F共圆. BGC=AFB=900, BGGC， 所以四边形BFCG 是矩形 20分14求所有正整数，使得与都是完全平方数解：若x=y，则x2+3x是完全平方数. x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 5分 若xy，则x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方数， x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+16k+16= (2k+4)2， y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11. 15分 若xy，同xy情形可求得 x=11，y=16. 综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11) 20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1方程的实数解为 2函数R的单调减区间是 .3在中，已知，则 .4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 （第7题）6设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 10设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭圆上的三点若，证明：线段的中点在椭圆上12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得ABCDEFHG13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形14求所有正整数，使得与都是完全平方数2009年全国高中数学联赛（江苏赛区初赛）(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分)1已知sincos1，则cos() 2已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 4已知，则实数x 5如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 6设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 7右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 10设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC13若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 填0解：由于|sin|1，|cos|1，现sincos1，故sin1，cos1或sin1，cos1， 2k，2l或2k，2l2(kl)(k，lZ) cos()02已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 填11解：设公差为d，则得 555111110d55d110d2 ak554101552(k1)k113设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 填解：由(2b)22c2aa2c2ace2e10e4已知，则实数x 填1解：即32x43x303x1(舍去)，3x3x15如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 填解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高故其比值等于这两个三棱锥的体积比VAPQRVAPQDVAPCDVABCDVABCD；又，SBPQSBCDSBDQSCPQ(1)SBCDSBCD，VRBPQVRBCDVABCDVABCD A、B到平面PQR的距离的比14又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点由Menelaus定理知，1，而，故4在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点由Menelaus定理知，1，而4，1，故 A、B到平面PQR的距离的比146设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 填3，4解：定义域(0，4在定义域内f(x)单调增，且f(3)0故f(x)0的x的取值范围为3，47右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3填78000解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy300，V30(20x)(60y)30(120060x20yxy)30(12002300)30(15001200)302700 至少可以存水78000cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 填解：设|R则()R2cos(2C)R2cos2BR2(2sin2C2sin2B)(2RsinB)2(2RsinC)2(122132)9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 填2008解：若an10，则an2，故a20082，a20072，a20062，a2005一般的，若an0，1，2，则an2，则an1，an2，an3an1，故an4an于是，an502(a1a2a3a4)a2009502(a2005a2006a2007a2008)a2009200810设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 填0，1解：若a为负整数，则a20，2b(ab)0，不可能，故a0于是a22b(ab)2(a1)a22a200a1a0，1，2a0时，b0；a1时，2b22b10b；a2时，b22b20b1说明：本题也可以这样说：求实数x，使x22xx二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积解：取方程组代入得，25y264y280 此方程的解为y2，y即得B(0，2)，A(，)，又左焦点F1(，0)连OA把四边形AFOB分成两个三角形得，S2(727)也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(4，0)所求面积42(4)(727)也可以这样计算面积：所求面积(02000()2()0()()000)()(727)12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC解：ACDABCABCACDBCE CEBE12AEABBE16 cosA BC2AC2AB22ACABcosA14228221428729BC2113若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围解法一：显然k0()2k2(2xy)(2k21)x2(k21)y0对于x，y0恒成立令t0，则得f(t)(2k21)t22t(k21)0对一切t0恒成立当2k210时，不等式不能恒成立，故2k210此时当t时，f(t)取得最小值k21当2k210且2k230，即k时，不等式恒成立，且当x4y0时等号成立 k，)解法二：显然k0，故k2令t0，则k2(1)令u4t11，则t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k时，不等式恒成立(当x4y0时等号成立)又：令s(t)，则s(t)，t0时有驻点t且在0t时，s(t)0，在t时，s(t)0，即s(t)在t时取得最大值2，此时有k2(1s()解法三：由Cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()对一切正实数x，y成立当k时，取x，y1，有，而kk即不等式不能恒成立而当k时，由于对一切正实数x，y，都有k，故不等式恒成立 k，)14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论解：对于任意nN*，n20，1(mod 4)设a，b是两个不同的自然数，若a0(mod 4)或b0(mod 4)，或ab2(mod 4)，均有ab0(mod 4)，此时，ab102(mod 4)，故ab10不是完全平方数； 若ab1(mod 4)，或ab3(mod 4)，则ab1(mod 4)，此时ab103(mod 4)，故ab10不是完全平方数由此知，ab10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a2，b3，c13，则231042，2131062，3131072即2，3，13是满足题意的一组自然数 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数故证2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m，n，x，y满足，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 2. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数 与其反函数的图像的公共点只可能是点 A. P B. Q C. M D. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比120.51 数列，那么的值为 A. 1 B. 2C. 3 D. 44. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么A. 与都是锐角三角形B. 是锐角三角形，是钝角三角形C. 是钝角三角形，是锐角三角形D. 与都是钝角三角形 5. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数）.8. 已知点O在内部，.的面积之比为 9. 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 或 . 10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值. 12. A、B为双曲线上的两个动点，满足。 （）求证：为定值； （）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内. 已知，且， 都是锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）.14. 能否将下列数组中的数填入33的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m，n，x，y满足，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 答：BA. B. C. D. 解 由柯西不等式；或三角换元即可得到，当，时，. 选B.2. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数 与其反函数的图像的公共点只可能是点 答：D A. P B. Q C. M D. N 解 取，把坐标代入检验，而，公共点只可能是 点N. 选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比120.51 数列，那么的值为 答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，则. 选A.4. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么答：BA. 与都是锐角三角形B. 是锐角三角形，是钝角三角形C. 是钝角三角形，是锐角三角形D. 与都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设cos=sin=cos， cos=sin=cos，cos=sin=cos.则 ，即 ，矛盾. 选B.5. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 . 解 ，的值可取.当x=，则无解； 当x=，则，x=；当x=0，则无解； 当x=1，则，.所以.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数）. 解 考虑对立事件，.8. 已知点O在内部，.的面积之比为5：1. 解 由图，与的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或 .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 . 解 切割化弦，已知等式即， 亦即，即=1，即. 所以，故.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值. 解 由题 ， 5分 ，即，上单调减， 且. 10分 ，n是方程的两个解，方程即=0， 解方程，得解为1，. ，. 15分12. A、B为双曲线上的两个动点，满足。 （）求证：为定值； （）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.证 （）设点A的坐标为，B的坐标为，则，A在双曲线上，则. 所以. 5分 由得，所以，. 同理，所以. 10分 （）由三角形面积公式，得，所以 ，即. 即. 于是，. 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. 15分13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内. 已知，且， 都是锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）.解 在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则， 5分 并且就是二面角平面角. 10分在中，利用余弦定理，可得等式，所以，=， 15分故得到. 20分14. 能否将下列数组中的数填入33的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（）不能. 5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是3622481218672424681218243648=21+2+1+3+2+1+3+2+43=21938不是立方数，故不能.（）可以. 15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是2623. 20分2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知函数，则 答： （A）有最小正周期 （B）有最小正周期（C）有最小正周期 （D）无最小周期2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是 答： （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的 三点是 答： （A） 、 （B） 、（C） 、 （D） 、4. 设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是 答： （A）， （B），（C）， （D），5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为 答： （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 6. 已知（R），且 则a的值有 答： （A）个 （B）个 （C）个 （D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得 分 评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7. 设为等差数列的前项和，若，则公差为 .8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于 . 9. 已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 . yOx110. 圆锥曲线的离心率是 .11. 在中，已知，则的面积为 .12. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得 分 评卷人13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面B1BA1C1AC，. 求证：（1）；（2）求点到平面的距离. 15. 已知数列中，. 求.16. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1已知函数，则（ B ）. （A） 有最小正周期为 （B） 有最小正周期为（C） 有最小正周期为 （D） 无最小正周期解：，则最小正周期. 故选（B）2关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 解：方程的两根是，则由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即 . 故选（C）3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是（ A ）. （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三点共线. 故选（A）4设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ D ）.（A）， （B），（C）， （D），解：（A）选项缺少条件；（B）选项当，时，；（C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 故选（D）5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为 ，故（1） 由知，首位数字的可能选择有种；（2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为种. 故选（C）6已知（R），且 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故选（D）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7设为等差数列的前项和，若，则公差为 .解：设等差数列的首项为，公差为. 由题设得 即 解之得.8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于 .解：由题设知 化简得 解之得 （舍去）. 故等于4.9已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 yOx1（第9题）解： 因为 ，所以. 于是，由图象可知，即 ，解得. 故x的取值范围为 10圆锥曲线的离心率是 解：原式变形为，即 所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为故此动点轨迹为双曲线，离心率为11在中，已知，则的面积为解：在中，由 得由正弦定理得 因为，所以角可取锐角或钝角，从而故12. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 或 .解：由得由对于任何R成立，得，即因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是 或 三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 解：由题意可知，平面区域如图阴影所示xyO设动点为，则，即 由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲线的方程为1(y0)5分设，则以线段为直径的圆的圆心为. 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，即 10分因为直线AB过点F(2，0)，当AB x轴时，不合题意所以设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因为直线与双曲线