[信息与通信]第五章线性系统的频域分析.doc

159第5章 控制系统的频域分析5.1 频率特性及其描述5.1.1 频率特性的基本概念及求取5.1.2 频率特性的表示方法 1. 代数表示方法 2. 几何表示方法5.2 典型环节的频率特性5.3 控制系统开环幅相频率特性的绘制及奈奎斯特稳定判据5.3.1 系统开环极坐标图的绘制5.3.2 最小相位系统与非最小相位系统5.3.1 应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性 1. 奈奎斯特稳定判据 2. 应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性5.4 控制系统开环对数频率特性的绘制及对数稳定判据5.4.1 系统开环对数频率特性的绘制5.4.2 应用对数稳定判据判断系统的稳定性5.5 非单位反馈控制系统和多回路系统的稳定性分析 5.5.1 非单位反馈控制系统的稳定性分析 5.5.2 多回路系统的稳定性分析5.6 控制系统的相对稳定性5.6.1 增益裕量5.6.2 相角裕量5.6.3 控制系统的相对稳定性分析5.7 闭环系统的频率特性分析 5.7.1 闭环频率特性与开环频率特性的关系5.7.2 等M圆与等N圆5.7.3 闭环频域性能指标与时域性能指标5.8 应用MATLAB绘制系统的频率特性5.9 例题精解本章小结习题第五章 控制系统的频域分析 本章将研究频率特性的基本概念、典型环节和系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据、稳定裕度、根据频率特性求过渡过程性能指标的方法及MATLAB在绘制系统的频率特性中的应用。5-1 频率特性及其描述5.1.1 频率特性的基本概念及求取1. 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应，它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位一般都不同于输入量。下面以 RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。图5-1所示的 RC 电路，ui(t)和uo(t)分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为图5-1 RC电路式中TRC为电路的时间常数。 RC电路的传递函数为 （5-1） 当输入电压为正弦函数 ui(t) Ui sint ，则由式(5-1)可得 经拉氏反变换得电容两端的输出电压式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量。当 t 时，第一项趋于零，于是 （5-2）式中：，。由式(5-2)可见，电路的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同，幅值是输入幅值的倍,相角比输入迟后 显然 和都是 的函数，前者称为 RC 电路的幅频特性，后者称为RC 电路的相频特性，图5-2绘出了RC 电路的幅频和相频曲线。图5-2 RC电路的幅频特性和相频特性a) 幅频特性 b) 相频特性 由曲线可见，输入电压的频率 较低时，输出和输入的幅值相等，相角迟后不大， 增大时，输出的幅值减小，相角迟后增大，时，输出幅值为零，相角迟后90。一般的线性系统如图5-3所示，当输入信号为 时，在 t ，即稳态情况下，由分析法或实验的方法也可得出输出信号为，显然 y(t)也是正弦函数，如图5-4所示。y(t)和 x(t)具有相同的频率，但幅值和相角不同。进一步研究可知稳态输出分量的振幅Y 与输入正弦函数的振幅 X 的比值 Y /X 和相角差都是角频率的函数。我们定义正弦输出量与正弦输入量的幅值之比 为幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号，在稳态情况下的衰减（或放大）特性。图5-3 线性系统示意图 图5-4 线性系统的正弦输入、输出定义输出量与输入量的相角之差为相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率正弦输入信号在相位上产生的相角迟后(对应)或相角超前(对应)的特性。幅值和相角在复平面上构成一个完整的向量，如图5-5所示。用表示这一向量，当然它也是的函数，称为系统的频率特性，记为图5-5 频率特性向量表示法 （5-3） 利用和可将输出正弦函数的幅值和相角表示为 （5-4） （5-5）2.频率特性的求取频率特性和传递函数以及微分方程一样，也表征了系统的运动规律，因此频率特性也是数学模型的一种，是频率域的数学模型，传递函数是复数域的数学模型，微分方程是时间域的数学模型。 它们都反映了系统的固有特性，一个系统可以用这三种不同的数学模型来描述，知道其中一种数学模型便可求出另一种数学模型。它们三者之间的关系可用图5-6表示。s=j微分方程系 统 频率特性传递函数j= ps = p图5-6 频率特性、微分方程、传递函 数三种数学模型之间的关系 例如系统的传递函数为 令 s 代入上式，则得系统的频率特性为 也就是说，知道了系统的微分方程、传递函数便很容易求 ，反之也一样。 5.1.2 频率特性的表示方法1. 代数表示方法 显然，频率特性 是一复数，所以它和其它复数一样，可表示为直角坐标形式、极坐标形式和指数形式。 (直角坐标表示式) （5-6） (极坐标表示式) （5-7） (指数表示式) （5-8） 在以上各式中，通常称P() 为实频特性；Q() 为虚频特性；A() 为幅频特性；为相频特性 ；G( j)为G(j)的模；为 G( j )的相角。显然实频特性 (5-9) 虚频特性 (5-10) 幅频特性 (5-11) 相频特性 （5-12） 由式(5-2)可得图5-1所示RC电路的幅频特性和相频特性分别为 若将线性系统(或装置)在正弦输入作用的稳态情况下，输入、输出正弦函数用向量表示，即正弦函数 x(t)，y(t)分别用 , 表示为 式中，X ，Y 和 ， 分别表示 x(t)，y(t)的幅值和相角。则即 (5-13) 由此可知，频率特性等于输出量傅氏变换与输入量傅氏变换之比，它表示线性系统稳态情况下输出、输入正弦信号之间的数学关系，与频率有关，是频率域中的数学模型。2. 几何表示方法 除了数学表达式外，图形比数学表达式更形象，使用也更方便。在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发进行研究，常用的频率特性曲线有幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线，下面介绍前两种频率特性曲线。 、幅相频率特性曲线(极坐标频率特性曲线) 幅相频率特性曲线简称幅相曲线，也叫极坐标频率特性曲线。它是在复平面上用一条曲线表示 由零变化到无穷大时的频率特性，其特点是把频率 看成参变量，将频率特性的幅频和相频特性同时表示在复平面上。 根据幅相特性曲线上任一点的实部、虚部和由原点到这一点向量的幅值、相角可以得相应于该点频率的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性，如图5-7所示。复平面图5-7 幅相曲线 前面讲过RC电路的传递函数为式中T=RC ，由上式可求得频率特性 幅频特性 相频特性 对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和相频特性的相角与之对应。 时 ，幅值 0.7 1和相角 45在复平面上就代表一个向量。 0时，A(0) 1，同样幅值1和相角0 在复平面上又代表一个向量，当 从0变化到 时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线，这条曲线就是幅相曲线(极坐标曲线)或Nyquist曲线，RC电路的幅相曲线如图5-8所示。图5-8 RC电路的幅相曲线根据频率特性和传递函数的关系，频率特性曲线是以平面上变量 s 沿正虚轴变化时在 G(s)平面得到的映射。同理，变量在 s 平面上沿负虚轴变化时，也可在G(s)平面上得到它的映射。幅频特性是的偶函数，相频特性是的奇函数，因此, 从0的频率特性曲线和从0的频率特性曲线是对称于实轴的。为了表示频率特性和传递函数的关系，通常绘有频率特性曲线的复平面标注为G(s)平面，将在G(s)平面上绘有频率特性的图称为频率特性的极坐标图或奈奎斯特图。 、对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线，是广泛使用的一组曲线，这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图。对数频率特性曲线的横坐标是频率，并按 的对数值log 进行线性分度的，对数分度和线性分度的区别如图5-9所示。图5-9 对数坐标与线性坐标a)对数分度 b)线性分度频率轴上每一线性单位表示频率的十倍变化称十倍频程或十倍频，用符号dec表示。例如10，则频率从1.0到10的对数分度见表5-1所示。由于横坐标按 log 线性分度，所以零频率在线性分度的处，横坐标对 而言是不均匀分度的，但对 log 来讲却是均匀的。表5-112345678910log0.0000.3010.4770.6020.6990.7880.8450.9030.9541.000对数幅频特性曲线的纵坐标是以对数值 L()20 log A()表示，单位是分贝，用符号dB表示，和横坐标不同的是通常直接将 20log A() 值标注在纵坐标上。对数相频特性的纵坐标，一般用度或弧度为单位进行线性分度。所以对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数坐标纸上，频率轴为对数坐标。 采用对数坐标轴的优点是： （1）可以将幅值的乘除化为加减。 （2）可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。 （3）将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲线，能方便地确定频率特性的函数表达式或传递函数。 另一种曲线是对数幅相曲线(又称尼柯尔斯曲线)，对应的曲线图称为对数幅相图(又称尼柯尔斯图)，对数幅相曲线在这里就不介绍了。5.2 典型环节的频率特性 5.2.1、比例环节的频率特性比例环节的传递函数 K为比例系数。 频率特性 （5-14） 由此可得比例环节的 实频特性 （5-15） 虚频特性 （5-16） 幅频特性 （5-17） 相频特性 （5-18）对数幅频特性 （5-19）比例环节幅相曲线为实轴上的 ( K ，j0)点，对数幅频特性为平行于频率轴L() 20logK (dB)的一直线，相频特性为零度线，如图5-10所示。图5-10 比例环节的对数频率特性a)对数幅频特性 b)对数相拼特性5.2.2、积分环节的频率特性 积分环节的传递函数 频率特性 (5-20) 由此可得积分环节的 实频特性 (5-21) 虚频特性 （5-22） 幅频特性 （5-23） 相频特性 (5-24)图5-11 积分环节的幅相曲线对数幅频特性 (5-25)积分环节的幅相曲线如图5-11所示，重合于负虚轴。频率 从0 时，特性曲线由虚轴的 j 处趋向原点。积分环节的对数幅频特性的频率轴是以 log 分度，由式(5-25)可知，L ()对 log 的关系是直线方程。20dB/dec 是直线的斜率。直线的位置由下式确定：当 1时，log 0，L ()20 logK ，直线过点 (1,20log K ) ，或当log log K , K 时，L () 0，即直线与 轴的交点在 K处。积分环节的对数频率图5-12 积分环节的对数频率特性a)对数幅频特性b)对数相频特性特性如图5-12所示。5.2.3、惯性环节的频率特性 惯性环节的传递函数 频率特性 （5-26） 实频特性 （5-27） 虚频特性 （5-28）幅频特性 （5-29） 相频特性 （5-30） 式中：K 为比例系数，T为时间常数。 1. 幅相特性曲线 对于任一给定频率，可由上列公式计算出相应的和或和，从而得到复平面上的一个点，当 由0 时，则可得到一条曲线，如图5-13所示。 惯性环节的幅相曲线是一个半圆。证明如下：平面图5-13 惯性环节的幅相曲线 用式(5-28)除以式(5-27)可得 （5-31） 将式(5-31)代入式(5-27)，则有即 (5-32) 最后整理得 (5-33) 显然，在 P - Q 的直角坐标平面上，惯性环节的幅相曲线是圆心为 ,半径为，位于第象限的半圆。 当 从 0时，得实轴上方的半圆，它是实轴下方第象限的半圆的镜像。 2. 对数频率特性曲线 惯性环节对数幅频特性为 (5-34) 当 由0到 取值时，计算出相应的对数幅值，即可绘制对数幅频特性曲线。但工程上常用分段直线近似表示对数幅频特性曲线。在低频段， 很小，当时，对数幅频特性可以近似为 (5-35) 这是一条纵坐标分贝值为20 log K，平行于横轴的直线，称为低频渐近线。 在高频段,很大，当时，对数幅频特性可近似为 (5-36) 这是一条斜率为20 dB/dec的直线，当时，这一直线的分贝值，称这一直线为高频渐近线。如图5-14所示。交接频率精确特性高频渐近线（斜率 -20dB/dec)低频渐近线交接频率图5-14 惯性环节的对数频率特性a)对数幅频特性b)对数相频特性 当 0时，对数幅频特性曲线趋于低频渐近线。当时，对数幅频特性曲线趋于高频渐近线。低频和高频渐近线的交点的频率为，称为交接频率或转折频率。可用这两条渐近线组成的分段直线近似表示惯性环节的对数幅频特性。其误差可由下式确定。 当 时 （5-37） 当 时（5-38）显然，最大误差发生在交接频率处，最大误差为对数幅频特性的交接频率与 T 有关，但对数幅频特性的形状是不变的。图5-15绘出了惯性环节用分段直线表示的近似特性的误差曲线。图5-15 惯性环节的误差曲线 惯性环节的对数相频特性为 （5-39）表5-2给出了 /0为不同值时的值，根据表5-2可绘出惯性环节的对数相频特性曲线，如图5-14 b所示。表5-20.010.050.10.20.30.50.71.02.03.05.07.01020100-0.6-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45-63.4-71.6-76-81.9-84.3-87.1-89.4 5.2.4、振荡环节的频率特性 振荡环节的传递函数 （5-40） 式中， T为时间常数，K为比例系数，为阻尼系数，0 1。以代替 s 可得振荡环节的频率特性。当K1时，振荡环节的频率特性为 （5-41） 实频特性 （5-42） 虚频特性 （5-43） 幅频特性 （5-44）相频特性 （5-45） 1. 振荡环节的幅相特性曲线 以为参变量，计算 为不同值时的 P()和Q()或A()和，可在复平面上绘出振荡环节的幅相特性曲线。曲线形状和值有关，如图5-16所示。当 0时，A() 1， 0，频率特性在正实轴上；当时，频率特性和负虚轴相交。值愈小，虚轴上的交点离原点愈远，当 时，A()0， 180，即特性沿负实轴方向趋向原点。 图5-17绘出了以相对频率为横坐标的幅频特性曲线。当值较小时，幅频特性有极大值，称谐振峰值。这一特点，在绘制振荡环节的幅相曲线时应予以注意。令 dA()/d 0 ，可求得幅频特性出现峰值的频率 （5-46）显然P 和 值有关。P称为谐振频率或峰值频率。当时，P 0 ；当时，P 为虚数，说明幅频特性不存在谐振峰值。当 时，将式 (5-46)代入式(5-44)可得幅频特性的谐振峰值为 (5-47)图5-17 振荡环节的幅频特性平面图5-16 振荡环节的幅相曲线 2. 振荡环节的对数频率特性曲线 振荡环节的对数幅频特性为 （5-48） 在低频段，当时，即时 （5-49） 在高频段，当时，即时 （5-50）式(5-49) 表示一条和横坐标轴相重合的直线(即零dB线)，称为振荡环节的低频渐近线。式 (5-50)表示一条斜率为40dB/dec的直线，当时，该直线和横坐标轴相交，称此直线为振荡环节的高频渐近线。可用这两条渐近线组成的分段直线近似表示振荡环节的对数幅频特性。两渐近线交点的频率为，称为振荡环节的交接频率或转折频率。 图5-18 a绘出了以相对频率T为横坐标的振荡环节的渐近线和按式(5-48)得到的准确曲线。准确曲线的形状和值有关。不同值下，分段直线的近似表示和准确曲线的误差绘于图5-19中。 由式 (5-45)可绘出振荡环节的相频特性，其特点是：当 0时， ；当 时，180；当时，90相频特性的这三个相角值和 无关，其它频率的相角值均和有关，如图5-18 b所示。在低频段，相频特性也可用下列近似公式 当 0.4时 （5-51）渐近线图5-18 振荡环节的对数频率特性a)对数幅频特性b)对数相频特性 图5-19 振荡环节的曲线当T 2.5时 （5-52）5.2.5、微分环节的频率特性根据各种微分环节的传递函数，可以写出它们的频率特性。纯微分环节、一阶微分环节、二阶微分环节的传递函数分别为 频率特性分别为 （5-53） (5-54) (5-55) +20dB/dec图5-21 纯微分环节的对数频率特性当各环节的比例系数K1时，上述各微分环节的频率特性分别为积分环节、惯性环节和振荡环节的频率特性的倒数，所以不难绘制各微分环节的频率特性。平面图5-20 纯微分环节的幅相曲线纯微分环节的幅相曲线和对数频率特性分别如图5-20和图5-21所示。一阶微分环节的实频特性 (5-56) 虚频特性 (5-57)幅频特性 (5-58)相频特性 (5-59)精确特性高频渐近线低频渐近线交接频率+20dB/dec图5-23 一阶微分环节的对数频率特性 对数幅频特性 (5-60)平面图5-22 一阶微分环节的幅相曲线一阶微分环节的幅相曲线如图5-22所示。对数频率特性如图5-23所示。精确特性高频渐近线低频渐近线交接频率+40dB/dec图5-25 二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的幅相曲线如图5-24所示。对数频率特性如图5-25所示。平面图5-24 二阶微分环节的幅相曲线 5.2.6、延迟环节的频率特性延迟环节的传递函数 频率特性 （5-61）幅频特性 (5-62)相频特性 (5-63)图5-26 延迟环节的幅相曲线平面延迟环节的幅相曲线是圆心在坐标原点，半径为1的圆(即单位圆)，其相角的大小随频率增大而线性增加如图5-26所示。 延迟环节的对数幅频特性 所以，对数幅频特性为0分贝线。 对数相频特性为指数曲线，它不是直线。因为对数相频特性的横坐标是按log划分的。当时，相角值为 延迟环节的对数频率特性如图5-27所示。图5-27 延迟环节的对数频率特性5-3 开环系统幅相频率特性的绘制及奈奎斯特稳定判据系统在开环时频率特性和它在闭环时的频率特性是有密切联系的，因此可以利用开环频率特性来分析研究系统闭环时的工作特性，如可以利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性等。 5.3.1 系统开环极坐标图的绘制设已知系统的开环传递函数为 （5-64） 在式(5-64)中没有二次因式表示，这并不影响以后的分析。将 s j代入(5-64)式，可得系统的开环频率特性为 (5-65) 可用复数运算求得它的实频、虚频特性。 开环系统的幅频、相频特性表示如下 (5-66) 用不同 值代入式(5-65)、(5-66)就可以逐点描绘系统的开环幅相特性。 开环幅相特性有如下特点： （1）开环幅相特性曲线的起点，即 0的点：起点与系统的类型有关，也就是与系统积分个数 v 有关。 对于0型系统，当 0时，由式(5-65)可得 A(0)K，即幅值等于开环增益；而 0。由此可知，曲线由实轴上的(K，j0)点开始，如图5-28所示。对于型系统，当 0时， ，或者由 0 ，A(0)，可知曲线开始于负虚轴的无穷远处，此时的幅相特性如图5-28所示。对于型系统，当 0时，或者由0,A(0) ，可知曲线起始于负实轴的无穷远处，此时的幅相特性如图 5-28所示。图5-28绘出0型、型、型系统的幅相曲线低频部分的一般形状。 同理，可推知其它各型系统幅相曲线的起始情况，即若系统有 v 个积分环节，则开环幅相特性将开始于相位为，幅值为 的地方。但要注意，实际的起点可能在坐标轴的任一边，这要用求渐近线的方法来确定。 （2）开环幅相曲线的终点：对最小相位系统(开环零极点都在左半复平面上的系统)来说，当 由0时，各一次因子的相位为，都由090(显然，若有二次因子，它的相位将变化290 ) 。 因此，开环系统的相位将由 v 90变化到 (nm)90。例如对0型系统来说，特性曲线由正实轴处开始，顺时针转了 (nm) 个象限，且由于 nm ，故必有 时，A()0，即最后转到原点上。同理任意 v 型系统的特性曲线，必由相位为 v 90处的始点开始，顺时针转动(nvm)个象限后到达原点，如图5-29所示。图5-28 0型、型、型系统幅相曲线的起点平面平面图5-29 幅相曲线的终点 （3）开环幅相特性曲线与虚、实轴的交点：如果特性曲线转过了几个象限，它必定与实轴或虚轴有交点。交点确定方法如下：由P() 0求得 值，它就是特性曲线和虚轴相交时的频率。用此 值求得的Q()，即可得曲线与虚轴的交点值。 由Q( ) 0求解出曲线与实轴相交时的 值，用此 求得的P()即为曲线与实轴的交点值。 利用上述特点就可较快地大致画出幅相特性的图形，如果局部需要更精细些，则可再确定若干个点来画。 已知开环系统的频率特性，根据不同的 值，计算出相应的P()和Q()或 A() 和，可在复平面上得到不同的点并连成频率特性曲线。 例5-1 设开环系统的传递函数为，试绘出系统的开环幅相曲线。 解： 分母有理化 实频特性 (5-67) 虚频特性 (5-68) 幅频特性 (5-69) 相频特性 (5-70) 1. 起点 当 0时，P(0)K，Q(0)0，A(0) K,0。 2. 终点 当 时，P() 0 ，Q()0， A() 0 ， 180。 3. 与虚轴的交点 令P() 0，即，得，将代入式(5-68)得 设K10 ,1, 5时，代入(5-67)和 (5-68)式，取 为不同值时P ()和Q ()结果如表5-3。表5-300.050.10.150.20.30.40.60.81.02.010.09.277.55.563.851.550.34-0.59-0.79-0.77-0.3800-2.82-4.75-5.63- 5.77-5.08-4.14-2.65- 1.72-1.15-0.240在G(s)平面上绘出幅相频率特性曲线如图5-30所示。 例5-2 设开环系统的传递函数为平面图5-30 例题5-1的幅相曲线试绘出幅相曲线。 解： 经分母有理化可得 （5-71） （5-72） 幅频特性和相频特性为 （5-73） （5-74） 这是型系统。 1. 起点 当 0时，由式(5-73)和式(5-74)可计算出，Q (0) ，A (0) ，。显然当0时，G( j) 的渐近线是一条过实轴上点，且平行于虚轴的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是。 2. 终点 当 时，P() 0 ，Q() 0， A() 0 ，。 该系统 m 0，n 3 ，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。 3. 幅相曲线与实轴的交点图5-31 例题5-2的幅相曲线平面 令Q()0，可得，将此 值代入式(5-71) ，可得幅相曲线与实轴的交点为，交点对应的频率为。可以证明。幅相曲线如图5-31所示。5.3.2 最小相位系统与非最小相位系统 若系统的开环传递函数在右半 s 平面无零、极点，称为最小相位系统。否则，称为非最小相位系统。 如果两个系统有相同的幅频特性，那么对大于零的任何频率，最小相位系统的相角位移总小于非最小相位系统的相角位移。例如最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为 式中 0T T。图5-32 对应的相频特性曲线 两者幅频特性相同而相频特性却不同，且 参见图5-32。 最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应；反之亦然。因此，对于最小相位系统，只要根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。 例5-3 某最小相角系统，其近似对数幅频曲线如图5-33所示。试写出该系统传递函数。图5-33 某最小相位系统的近似对数幅频曲线 解：由图5-33可见，最左端直线斜率是20dB/dec，故系统包含一个积分环节 v 1。又 为1时最左端直线的纵坐标为15dB，由式(5-88)可求得比例环节 K 5.6。 因为 为2时，近似特性从20dB/dec变为40dB/dec，故2是惯性环节交接频率。类似的分析得知，7是一阶微分环节交接频率。于是系统的传递函数5.3.2 应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性1. 奈奎斯特稳定判据 频率法稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，称为奈奎斯特判据(简称奈氏判据)。奈氏判据与劳斯判据不同，它是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种方法。 开环系统频率特性可由分析法给出，在系统数学表达式不能确切知道时，也可用实验测得。奈氏判据不仅能判别闭环系统的绝对稳定性，而且根据相对稳定性的概念，它还可用于讨论闭环系统的暂态性能及指出改善系统性能指标的途径，成为设计系统的依据。 奈奎斯特判据及其证明 奈氏判据可以通过对辅助函数F (s)应用复变函数幅角原理得到证明。 辅助函数F (s) 研究图5-34所示系统。图中设G (s)和H (s)是两个多项式之比图5-34 反馈控制系统结构图如果G (s)和H (s)无极点与零点对消，则系统开环传递函数 (5-75)闭环传递函数 (5-76) 奈氏判据是从研究闭环和开环特征多项式之比这一函数着手的，这个函数仍是复变量 s的函数，并称之为辅助函数，记作F (s)，即 (5-77)辅助函数和开环传递函数有以下简单关系考虑到物理系统中，开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂，故F (s)可改写为 (5-78)式Zi和Pi 分别为F (s)的零点和极点。 由上可知，辅助函数F (s)具有如下特点：第一，其零点和极点分别是闭环和开环特征根；第二，零点和极点个数相同；第三，F (s)和G (s)H (s)只差常数1。 . 幅角原理 在 s 平面上任选一点 s ，通过复变函数F (s)的映射关系，在F (s)平面可以找到相应的象。若在 F (s) 的极点-零点分布图5-35 a上选择 A 点，使 s 从 A 开始，绕 F (s) 的某零点 zi 顺时针沿封闭曲线s (s 不包围也不通过任何极点和其它零点)转一周回到 A 。相应地，F (s)则从F (s)平面上 B 出发且回到 B ，也描出一条封闭曲线 ，如图5-35 b所示。若 s 沿s 变化时，F (s)相角的变化为，则由方程(5-78)可得 (5-79)式中 ( i 1，2， , n) 表示 s 沿s 变化时，向量相角的变化； ( j1，2， ，n )的含义类似。由图5-35 a可知， 除外， 式(5-79)右端其他各项都为零。 故= (5-80)式(5-80)表明，在F (s)平面上，F (s)曲线从 B 开始，绕其原点0顺时针方向转一圈。同理，当 s 从 s 平面 A 开始，绕着F (s)的某个极点Pk顺时针转一圈时，在F (s)平面上，F (s)曲线绕其原点0反时针转一圈。图5-35 s和F(s)的映射关系a) F(s)的极点-零点分布和封闭曲线 b)F(s)曲线示意图 幅角原理：如果封闭曲线s 内有 Z 个F (s)的零点、P 个F (s)的极点，则 s 沿s 顺时针转一圈时，在F (s)平面上，F (s)曲线绕其原点反时针转过的圈数 R 为 P 和 Z 之差，即 (5-81)R 若为负，表示F (s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。 . 奈氏判据 如果把 s 平面虚轴和半径为无穷大的右半圆取为封闭曲线s ，那么s 就扩大为包括虚轴的整个右半 s 平面。这样的封闭曲线s 也叫奈氏路径。幅角原理表达式(5-81)中的P和 Z 则分别表示辅助函数F (s)位于右半 s 平面的极点和零点数。 鉴于辅助函数F (s)的第三个特点，F (s)曲线绕原点反时针转过的圈数 R 就是开环传递函数GK(s)曲线绕(1，j0)点反时针转过的圈数。此外，由于物理系统中，开环传递函数分母的最高次幂总大于分子的最高次幂，当 s 沿为无穷的半圆取值时，通过GK(s)映射到GK(s)平面的象是原点，这恰好是 s 平面虚轴无穷远点映射到GK(s)平面的象。 于是，式(5-81)中R 、P 和 Z 如今分别具有如下含义： R 奈氏曲线即 s 沿虚轴 j到 j取值，频率特性GK ( j)的幅相曲线绕临界点(1，j0 )反时针转过的圈数；当奈氏曲线反时针包围 (1，j0 )点时 R 取正，顺时针包围(1，j0 )点时 R 取负。 P 辅助函数F (s)在右半 s 平面极点数；即开环传递函数在右半 s 平面的极点数。 Z 辅助函数F (s)在右半 s 平面零点数；即闭环传递函数在右半 s 平面的极点数。 根据第三章所得结论可知，闭环系统稳定的充要条件是：Z 0，由式(5-81)可知，此即要求 R P。需要指出：闭环系统临界稳定时，特征方程有纯虚根，奈氏曲线过临界点，这时奈氏曲线绕临界点反时针转过圈数 R 是不定的。 奈氏判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点的圈数R 等于开环传递函数在右半 s 平面的极点数 P ，即 R P ，Z 0；否则闭环系统不稳定，Z 0，存在闭环正实部的特征根，闭环正实部特征根的个数 Z 可按下式确定： (5-82) 2. 应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性通过例题说明例5-4 设系统开环传递函数为 ，试用奈氏判据判闭环系统的稳定性。 解：绘出该系统的开环幅相曲线如图5-36所示，曲线起点在实轴P(0)5.2 处，终点在原点，用分析法可得2.5时，曲线与负虚轴相交，交点为j5.06。当 3时，曲线与负实轴相交，交点为2.0。 开环系统右半 s 平面的极点数为0。当从 时，奈氏曲线以顺时针包围(1，j0 )点两圈，即 R 2。Z P R 0(2)2，Z0 ，故系统不稳定，在右半 s 平面有2个根。 三、奈氏判据在型和型系统中的应用 设开环系统传递函数在原点具有 v 重极点。 上述奈氏路径经过原点，所以不能应用幅角定理。为使奈氏路径不经过原点，而且仍然能包围整个右半 s 平面，现以原点为圆心作一半径为无穷小的右半圆。并由以下四段线组成奈氏路径： (i) 正虚轴 s j ：频率由0 变化到； (ii) 半径为无穷大的右半圆：R ， 由 ； (iii) 负虚轴 s j：频率由 变化到 0； (iv) 半径为无穷小的右半圆：R 0，由 c ，如图5-37。 对于型系统或型系统，当 时，频率特性曲线趋于无穷远处，当 时,频率特性曲线也趋于无穷远处。频率特性曲线及其镜象在无穷远处的连接线就是奈氏路径中半径为无穷小的半圆在G (s)平面的象。 将半径为无穷小的半圆上的点表示为 (5-83)将式(5-83)代入上面G K(s)中，对于型系统，则有 (5-84)它是半径为无穷大的右半圆。当 由变化到 时，由变化到，如图5-38所示。图中 a，b，c，d 和 e分别为奈氏路径