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7.5 7.5 二元函数偏导数的应用二元函数偏导数的应用 在几何上的应用在几何上的应用 二元函数极值的求法二元函数极值的求法 小结小结 思考与练习思考与练习 1.空间曲线的切线与法平面 n n 在几何上的应用在几何上的应用 即 例1 解 于是，切线方程为 法平面方程为 2.曲面的切平面方程与法线方程 为 例2 解 或 法线方程为 1、二元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理7.7(极值存在必要条件) 使 n n 二元函数极值的求法二元函数极值的求法 定理7.8（极值存在充分条件） 令 第一步 第二步 第三步 例3 解（1）求驻点 解方程组 （2）判断驻点是否极值点， 若是，说明取得极值情况 又由于 2.条件极值与拉格朗日乘数法 在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并 无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把 对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件 条件极值问题有如下两种解法。 方法1 例4 解 由一元函数极值存在的必要条件，得 所以 方法2 （拉格朗日数乘法） 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还 是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 例5 解 作辅助函数 令 由前三式，得 即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。 注注: :求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法 (1)(1)换元法。换元法。 (2)(2)拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。 n n 作业作业 P
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