[高等教育]第三章-线性代数指导书.doc

第三章 二次型一.主要内容本章主要讨论二次型的标准化、二次型的正定性判定等问题，而矩阵的特征值与特征向量、向量的内积等内容则是研究二次型的基础（一）、线性无关向量组的正交规范化线性无关向量组的正交规范化是本章的基本内容之一给定线性无关的向量组，将其正交规范化的步骤是：第一步：运用施密特正交化方法将线性无关的向量组，变为正交向量组，:第二步： 将正交向量组，单位化:则是一个正交规范向量组.（二）、方阵的特征值与特征向量矩阵的特征值是矩阵另一个重要的数值特征，它反映了方阵的某些重要性质，例如，若阶方阵有个不同的特征值，则它可逆求矩阵的特征值与特征向量是本章的又一重要而基本的内容给定矩阵求的特征值与特征向量的一般步骤是：第一步： 计算阶行列式；第二步： 解特征方程，求矩阵的特征值；第三步：对矩阵的每个特征值，求方程组的基础解系，方程组的任何非零解都是矩阵的对应于特征值的特征向量方阵的特征值与特征向量、正交矩阵是线性代数中重要概念，它们在数学理论、工程技术中有着广泛的应用，应当掌握其定义、性质及计算方法（三）、化二次型为标准形化二次型为标准形有下面两种基本方法：1配方法配方法是化二次型为标准形的基本而重要的方法值得注意的是，如果二次型中含有平方项时，可直接利用完全平方公式进行配方；如果二次型中不含有平方项，而只含有交叉项时，应先利用平方差公式作辅助变换使其产生平方项，然后再利用完全平方公式进行配方2正交变换法正交变换法是化二次型为标准形的重要的方法，该方法的一般步骤是：第一步：求出二次型的矩阵的特征值，与相应特征向量，；第二步：将所求得的特征向量，正交规范化，得，；第三步：将已正交规范化的特征向量，作为列向量构成正交矩阵，写出正交变换，于是，该正交变换将二次型化为标准形（四）、正定二次型及其判定方法判定二次型（或对称矩阵）为正定的方法有：1行列式法对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型（或对称矩阵）的正定性. 2正惯性指数法(加上：或求矩阵的所有特征值？)对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于，来判定二次型的正定性二、基本要求与疑难解析(一) 基本要求1了解二次型及二次型的秩的概念,能熟练地写出二次型的矩阵;了解二次型的标准形及二次型的分类;了解合同矩阵的概念,掌握用配方法将二次型化为标准形的方法;2理解方阵的特征值与特征向量的概念，掌握特征值的基本性质.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的计算方法;3了解向量的内积,长度及夹角的概念,熟练掌握将线性无关的向量组正交规范化的施密特方法,了解正交矩阵的概念及其性质;4了解相似矩阵的概念及其性质，熟练掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法;5.了解惯性定理,能判定二次型的正定性.(二) 疑难解析1. 对二次型f，若矩阵B满足f=XTBX，是否矩阵B一定是二次型f的矩阵？答 不一定，当矩阵B不实对称阵时，B不是二次型的矩阵；只有当B为实际称阵时，B才是二次型f的矩阵. 例如：二次型对称矩阵是二次型f的矩阵，而不是.2. 二次型的标准形是唯一的吗？答 不唯一，与所作的变换有关系. 例如，对于二次型，作线性变换可将其化为标准形；也可作正交变换将其化为标准形. 3二次型f=XTAX化成了标准形，问对角阵的对角元是否一定是A的特征值？答 不一定. 二次型只有用正交变换化为标准形后，其标准形系数才是原二次型的矩阵A的特征值. 例如在前例中, 由于矩阵A的特征值为，故在二次型的标准形中，对角元1和1都不是矩阵A的特征值.4. 二次型，与二次型都是正定的吗？答 前者是正定的（正惯性指数等于3），而后者是半正定的（正惯性指数也等于3）. 事实上，对任意的非零向量，三元二次型；而对任意的非零向量，四元二次型，且存在非零向量，使得四元二次型0.5.实对称矩阵在正交变换下的标准形有哪些应用?答 设为阶实对称矩阵,存在正交矩阵，使得将化为对角矩阵,即或（公式号右对齐，diag用正体，下同）其中为的的特征值, 为在正交变换下的标准形,它在证明题中有广泛应用.1) 根据实对称矩阵满足的条件,利用式求出实对称矩阵的相似标准形.例1 已知阶实对称矩阵是等幂矩阵(即),且.(1) 求矩阵的相似标准形;(2) 计算行列式.解 (1) ,或(建议改为：任取矩阵的特征值及其特征向量，成立 , .由于，,故有. 因此，. 又由于，或 故由式，存在正交矩阵，使得（用句点）由于,所以特征值1有个.因此, 的相似标准形为(共个1).(2) 由(1)知有个值为1的特征值, 个零特征值,因此将代入上式得2) 证明与实对称矩阵有关的行列式不等式.例2 设为阶实对称矩阵,且的特征值都是非负数,试证证明 设的特征值为,则且至少有一个.否则, ,从而由有,与相矛盾.再由式,有,从而有3) 以对角矩阵为桥梁,证明实对称矩阵的性质.这里为实对称矩阵的全部特征值.例3 试证:对称的正交矩阵的特征值是或.证明 设为对称的正交矩阵, 为的特征值,.又由有,例4 证明实对称矩阵正定的充要条件是它的特征值全为正数.证明 设为阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中为的特征值.作正交变换,其中（和教材保持一致，用，下同）则（用句点）故正定（教材中正定性是通过正惯性指数定义的，而此等价条件正是教材中的定理3.5.2，故不宜用，建议改为：因此，二次型的标准形为. 由正定二次型的定义，矩阵A正定的充要条件是正惯性指数等于，即，也即矩阵A的特征值均大于零. ） 4) 利用式将实对称矩阵作和分解或乘积分解.作和分解时,常将作列子块,将作行子块,有时也将对角阵分解为对角矩阵之和;作乘积分解时,常将对角阵分解为两个或多个对角阵的乘积,且必要时在其间插入乘积等于单位阵的乘积矩阵.例5 设是阶实对称矩阵, 是的个正交单位特征向量,对应的特征值为,试证:证明 令,则为正交矩阵,且不明显，建议改证为：.因此， .例6 设为正定矩阵,证明存在可逆矩阵,使得.证明 因为为实对称矩阵,所以由式，存在正交矩阵，使得 ,（建议用转置不用逆）由于为正定矩阵, 故有因此令,则故.6. 怎样求矩阵及其相似标准形中的参数?（如何理解？）答:矩阵相似标准形中的参数的求法:由于相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的的特征值.因此,相似矩阵的行列式相等,相似矩阵有相同的迹.利用这些性质就可以确定矩阵及其相似标准形中的参数.（？）例7 与相似，求，解 因为与相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即.因此,（最好用正体，即）(公式后加句点，公式号有对齐)又因为相似矩阵的行列式相等,所以, .因此,我们有(公式后加句点，公式号有对齐)解方程组（最好用文字叙述，不用之类，显得正式些）例8 设二次型,经正交变换（同前，向量用小写，下同）后化为标准形,其中为三维列向量, 为正交阵.求参数解 二次型经正交变换前后的矩阵分别为由于,与相似,从而它们有相同的特征多项式.即,而比较同次幂系数,得（此处中间有误，此外照例不用）三、典型例题拉格朗日配方法类似于中学代数中的配方法.如果二次型中不含有平方项，而只含有交叉项时，应先利用平方差公式作辅助变换使其产生平方项，然后再利用完全平方公式进行配方例1 化二次型为标准形,并求所用的满秩的线性变换的矩阵. 解： 因为二次型中不含平方项,故先令将原二次型化成.此变换对应的变换矩阵为. 再利用配方法，将变量的项依次配方, 得（太长，再多一行，等号对齐）令或等价地则把化为标准形.此时，相应的变换矩阵为. 因此，所作的满秩的线性变换为且对应的变换矩阵为. 上面变换矩阵也可以通过矩阵的乘法运算得到，即. 易知, 矩阵的对角化可以简化矩阵的运算,由配套教材的第三章的中阅读资料2可知, 阶方阵可对角化的充分必要条件是对应于的每一个特征值的线性无关的特征向量的个数（每一个特征值的全部特征向量的最大线性无关组中向量的个数？）恰好等于该特征值的重数.例2 设 的一个特征向量为.(1) 求参数的值及的相应于特征向量的特征值;(2) 矩阵能否对角化？解 (1) 设的相应于特征向量的特征值为, 可得方程组即（第一个等号左边少了东西，等号右边中的矩阵多了东西）所以,（第二个等式加逗号，第三个等式后改成句点）解之得 (2) 因为的特征多项式为所以有三重特征根为 对,由于可知即的与三重特征根对应的线性无关的特征向量只有一个（改成：线性无关的特征向量组中仅含一个向量？）.所以, 只有一个线性无关的特征向量（如何理解？）,因此不能对角化. 下面的例子说明将矩阵对角化可简化矩阵的运算.例3设，求解 矩阵的特征方程为所以,矩阵的特征根为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 令,则因此, 利用正交变换将二次型化为标准形是本章的最为重要和极具代表性的问题,其中涉及到方阵的特征值和特征向量,还涉及到将线性无关的向量组正交规范化.例4将二次型化为标准形解 二次型的矩阵为. 它的特征多项式为因此,矩阵的特征值.对于,由于因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为（用句点）从而，得到的属于特征值4的两个正交的特征向量对于,可类似地得到的属于特征值的特征向量（用句点）对于,可类似地得到的属于特征值的特征向量（用句点）将上述四个两两正交的特征向量单位化,得则在正交变换下,二次型的标准形为 已知一个矩阵,求它的特征值与特征向量,在教材中已给出了解决这个问题的方法和步骤.反过来,已知一个矩阵的特征值与特征向量,也可求出矩阵.例5 设阶对称矩阵的特征值为，与对应的特征向量为求.解法1 设对应于的特征向量为.则（改用句点）故有（改用句点）解这个方程组,得到它的一个基础解系,即对应于的两个线性无关的特征向量：将正交化,得（第二行后面用句点）再将,单位化得因此,我们得到一个正交矩阵且 因此,解法2 设对应于的特征向量为.则我们有（改用句点）解这个方程组,得到方程组的一个基础解系,即对应于的线性无关的特征向量：令,则因此, 由于所以 利用矩阵的各阶顺序主子式全大于零来判定矩阵的正定性是常用的方法.也可利用矩阵的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正来判定矩阵的负定性. 例6 设,问取何值时, 为正定二次型?解 的矩阵为.由于根据配套教材中的定理3.5.3知,当即当时,所给的二次型正定.例7 判别二次型的正定性；解 的矩阵为.因为所以, 为负定二次型.四、习题解答习题三A 组设，求（），；（）与之间的距离和夹角解 (1) (2) 验证向量与正交，并求一个非零向量，使得，两两正交解 即与正交.设有,使两两正交. 则 从而有,.解方程组取,得则当时，两两正交.已知，求一组非零向量，使得，两两正交解 设与正交的向量应满足即将它看成是关于的线性方程组. 经计算得这个方程组的一个基础解系为再将正交化得则为所求,即，两两正交(注:答案不唯一).设是中的正交规范向量组，令和，（）求的值；（）求的值解 (1) =；(2) 设是中的正交规范向量组，是正交矩阵，则，也是中的正交规范向量组证明 因为所以, ，也是中的正交规范向量组下列矩阵是否为正交矩阵？说明理由：（）；（）解 (1) 不是.因为令，则(2) 是. 因为令，. 则,且 所以，两两正交且为单位向量.因此,所给矩阵为正交矩阵.已知为正交矩阵，求a，b，c解 令，则由,得用施密特方法将下列向量组正交化：（）；（）解 (1) 由于， (2) 由于，,设，和是否是的特征向量？解 因为所以,是的属于特征根的特征向量.又因为所以,不是的特征向量.设矩阵.是的一个特征值吗？如果是，求对应于的所有特征向量解 因为 所以, 是的一个特征值. 解方程组 即,得它的一个基础解系为.因此对应于的所有特征向量为其中不全为零.求下列矩阵的特征值与特征向量： （）；（）解 (1) 因为矩阵的特征方程为所以的特征值分别为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，的属于特征值的一个特征向量为，（为任意非零常数）为属于特征值的全部特征向量. 当时, 因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，的属于特征值的一个特征向量为. （为任意非零常数）为属于特征值的全部特征向量. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，的属于特征值的一个特征向量为，（为任意非零常数）为属于特征值的全部特征向量. (2) 因为矩阵的特征方程为所以的特征值分别为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，的属于特征值的一个特征向量为，（为任意非零常数）为属于特征值的全部特征向量. 当时, 因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，的属于特征值的两个线性无关的特征向量为. （为不全为零的任意常数）为属于特征值的全部特征向量. 设阶矩阵的特征值为，对应的特征向量依次为，求解 先将，正交化,再将单位化,得 令则. 因此 设.求解 矩阵的特征方程为（改用句点）所以,矩阵的特征根为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 当时,因此, 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 显然, 与是是两个正交向量,将它们单位化,得令,则即 （改用句点）因此，（太宽了，建议加多一行，等号对齐）已知阶方阵的特征值为，设，试求：（）矩阵的特征值及与矩阵相似的对角矩阵；（），解 (1) 由于, 矩阵的特征值为即.因此，与矩阵相似的对角矩阵为. (2) （分母用）写出下列二次型的矩阵，并求其秩（）；（）解 (1) 的矩阵为.因此, 二次型的秩为（只需化成行阶梯形） (2) 的矩阵为.因此, 二次型的秩为用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆变换（）；解 由于令 即 则把化成标准形所用变换矩阵为（）；解 由于（太长，加多一行，等号对齐）令即 则把化成标准形 所用变换矩阵为（）；解 由于在中不含平方项,但含有乘积项,故令即（改用句点）代入原二次型可得再配方,得故令 即 或等价地则有 所用的变换矩阵为（）解 由于在中不含平方项,但含有乘积项,故令即代入原二次型可得再配方,得故令 即 或等价地则有所用的变换矩阵为求一个正交变换化下列二次型为标准形：（）；解 二次型的矩阵,它的特征多项式为因此,矩阵的特征值.对于,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量对于,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的一个基础解系为从而得到的属于特征值的特征向量对于,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量将上述三个两两正交的特征向量单位化,得则在正交变换下,二次型的标准形为（）解 二次型的矩阵为. 它的特征多项式为（最后一行用句点）因此,矩阵的特征值.对于,由于（最后一行用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量. 对于,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的一个基础解系为（用句点）从而，得到的属于特征值的两个正交的特征向量对于,由于（最后一行改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量将上述四个两两正交的特征向量单位化,得则在正交变换下,二次型的标准形为求一个正交变换将二次曲面的方程化成标准方程，并判定二次曲面的类型 解 作二次型. 它的矩阵为.因为,所以的特征值.因此,可利用正交变换将此二次型化为标准形. 而曲面在中表示椭圆柱面,所以表示椭圆柱面.已知二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换解 二次型的矩阵为.因为（改用逗号）而的特征根为,所以, .当时, .对. 由于（改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而，得到的属于特征值的一个特征向量对,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而，得到的属于特征值的一个特征向量对,由于（改用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 从而，得到的属于特征值的一个特征向量将上述三个两两正交的特征向量单位化,得则在正交变换下,二次型的标准形为当时, .对,由于齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量对,由于齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量对,由于齐次线性方程组 的基础解系为. 从而得到的属于特征值的一个特征向量将上述三个两两正交的特征向量单位化,得则在正交变换下,二次型的标准形为判断下列二次型的正定性（）；解 的矩阵为.因为所以, 为负定二次型.（）解的矩阵为.因为所以, 为正定二次型.当满足什么条件时，下列二次型是正定的？（）；解 的矩阵为.由根据定理3.5.3知,当即当时,所给的二次型正定.（）解 的矩阵为.故（改用句点）根据配套教材中的定理3.5.3知,当,即当时,所给的二次型正定.组设是一正交规范向量组，若，则证明 因为是一正交规范向量组,所以在定义内积的线性空间中，对任意的矩阵，证明：（）；（）证明 (1) (2）.证明：如果一个矩阵，对所有属于的向量和，满足，那么是一个正交矩阵证明 设取,其中为基本单位列向量组.则因此向量组为正交规范向量组,从而矩阵为正交矩阵.已知与相似，求解 因为与相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即.因此, ，即设与相似，求，；并求一个正交矩阵，使得解 因为与相似,所以它们有相同的特征根,从而有相同的迹,即.因此,（公式后加句点）又因为相似矩阵的行列式相等,所以, .因此,我们有（公式后加句点,另外公式没有被引用，建议删掉公式号，前同）解方程组对,由于（公式后用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为.将正交化,得（公式中第二行加句点）对,由于（公式后用逗号）齐次线性方程组 的基础解系为. 将上述三个两两正交的特征向量单位化,得则所求的正交矩阵为.设 .当取何值时，矩阵能对角化？解 因为的特征多项式为,所以的特征根为 对于,当时,由于 即的与二重特征根对应的线性无关的特征向量只有一个.所以,A只有两个线性无关的特征向量,故不能与对角矩阵相似.当时,由于 齐次线性方程组 的一个基础解系为. 从而，为矩阵的属于特征值的两个线性无关的特征向量.所以,A有三个线性无关的特征向量,因此A能对角矩阵化.设阶对称矩阵的特征值为，对应于，的特征向量依次为，求解 设对应于的特征向量为.则（改成句点）因此得到齐次线性方程组由于我们得到该方程组的一个基础解系,也即对应于的一个特征向量：.将,单位化得因此,我们得到一个正交矩阵且 因此,设阶对称矩阵的特征值为，与对应的特征向量为求.解 设对应于的特征向量为.则即（改成句点）解这个方程组,得到该方程组的一个基础解系,即对应于的特征向量：将正交化,得再将,单位化得因此,我们得到一个正交矩阵且因此,设（），为阶方阵的特征值，且（），分别为对应于，的特征向量证明：不是的特征向量 证明 设是的属于特征根的特征向量,则（加标点）由于,与线性无关,故,从而,矛盾.故不是A的特征向量.设是阶可逆方阵的一个特征值，证明：