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练习四十八 逆矩阵和矩阵的分块法一、选择题1、若A、B、C是同阶矩阵，且A可逆，则下式（ AC ）必成立。（A）若AB=AC，则B=C 方程两边同时左乘 （B）AB=CB，则A=C 不一定可逆（C）若AB=0，则B=0 方程两边同时左乘 （D）若BC=，则B= 不一定可逆2、设A为非奇异对称矩阵，则（ ABCD ）仍为对称矩阵。 且（A） （B） （C）3A （D） 3、当adbc时，=（ B ），（A） （B）（C） （D）4、已知A=，则（ AC ），则A可逆（A）A为可逆矩阵 （B）AT=A （C）AA-1为对称矩阵 为对称矩阵 （D）A= 左边相当于对A施行，因此结果应为5、设A、B、C、E均为四阶方阵，其中E为单位矩阵，若ABC=E，则下列各式中总成立的有（ AC ）。（A）BCA=E （B）ACB=E （C）CAB=E （D）CBA=E 二、设A=，用伴随矩阵的方法求A-1。解：|A|=-1A11=8，A12=5，A13= -1，A21= -29，A22= -18，A23=3，A31=11，A32=7，A33= -1A-1=三、设三阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，求B。解：A-1BA=6A+BA(A-1-E)BA=6AB=6(A-1-E)-1AA-1=6(A-1-E)-1A-1=A-1-E=(A-1-E)-1=B=四、用分块矩阵乘法，计算下列矩阵的乘积AB。其中A=，B=解：AB=A11B11=，A22B21=，A22B22= AB=五、证明题：1、如果Ak=0，（kN），则(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1。证：(E-A)(E+A+A2+Ak-1)=E+A+A2+Ak-1-A-A2-A3-Ak=E-AkAk=0(E-A)(E+A+A2+Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2+Ak-12、设A，B，A+B都是非奇异矩阵，试证明A-1+B-1也是非奇异矩阵，并求A-1+B-1的逆阵。证：A-1+B-1=A-1E+A-1AB-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(A+B)B-1|A-1+B-1|=|A-1|A+B|B-1|=|A|-1|A+B|B|-1|A-1+B-1|0A-1+B-1非奇异(A-1+B-
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