广西桂林市、北海市2016届高考数学一模试卷(文)含答案解析.doc

2016年广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知全集u=r，集合a=x|1x3，b=x|x2，则aub等于（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2dx|1x32复数=（）aibic id i3等差数列an中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）abc2d4已知函数f（x）=，则f（f（2）等于（）ab2c1d15下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）ay=lgxby=cosxcy=|x|dy=sinx6已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）abcd7如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）abcd8阅读如图所示的程序框图，则输出的s=（）a45b35c21d159函数的零点所在的区间是（）a（3，4）b（2，3）c（1，2）d（0，1）10已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为（）ab13c6d11设点p是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd12已知函数f（x）=axlnx，当x（0，e（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（）aebe2c2ed2e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=14已知实数x，y满足不等式组，则z=x2y的最小值为15若圆c以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是16已知四棱锥pabcd的顶点都在球o的球面上，底面abcd是矩形，平面pad底面abcd，pad为正三角形，ab=2ad=4，则球o的表面积为三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在abc中，内角a，b，c对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosbb）=a2b2（）求角a；（2）求sinb+sinc的最大值18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75，80），80，85），85，90），90，95），95，100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率19在如图所示的多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ab=cd=1，ac=，ad=de=2（）在线段ce上取一点f，作bf平面acd（只需指出f的位置，不需证明）；（）对（）中的点f，求三棱锥bfcd的体积20如图，已知圆c与y轴相切于点t（0，2），与x轴正半轴相交于两点m，n（点m必在点n的右侧），且|mn|=3，已知椭圆d：的焦距等于2|on|，且过点（i）求圆c和椭圆d的方程；（）若过点m斜率不为零的直线l与椭圆d交于a、b两点，求证：直线na与直线nb的倾角互补21已知函数f（x）=ax+xlnx（ar）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kz时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形abcd是o的内接四边形，延长ba和cd相交于点p， =，=（）求的值；（）若bd为o的直径，且pa=1，求bc的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线c的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线c相交于a、b两点，且|ab|=，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式选讲24（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集为m（1）求m；（2）当a，bm时，证明：2|a+b|4+ab|2016年广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知全集u=r，集合a=x|1x3，b=x|x2，则aub等于（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2dx|1x3【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：a=x|1x3，b=x|x2，aub=x|1x3x|x2=x|1x2，故选：c【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础2复数=（）aibic id i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解： =故选：c【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3等差数列an中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）abc2d【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：在等差数列an中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5又a10=6，则故选：a【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题4已知函数f（x）=，则f（f（2）等于（）ab2c1d1【考点】对数的运算性质；函数的值【专题】计算题【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2）【解答】解：f（2）=，f（1）=21=，所以f（f（2）=f（1）=，故选a【点评】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”5下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）ay=lgxby=cosxcy=|x|dy=sinx【考点】奇偶函数图象的对称性【专题】计算题【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，a：y=lgx是非奇非偶函数，错误b：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误c：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误d：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确故选d【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验6已知tan=2（0，），则cos（+2）=（）abcd【考点】二倍角的余弦【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2）的值【解答】解：tan=2，（0，），则cos（+2）=cos（+2）=sin2=2sincos=，故选：d【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题7如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图得此几何体的几何特征：上球、下圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体：上球、下圆柱组成，且球的底面半径是2，圆柱的底面半径是2、高是6，所以几何体的体积v=，故选：d【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征及测度8阅读如图所示的程序框图，则输出的s=（）a45b35c21d15【考点】循环结构【专题】图表型【分析】根据所给s、i的值先执行t=2i1，s=st，i=i+1，然后判断i与4的关系，满足条件算法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论【解答】解：因为s=1，i=1，执行t=211=1，s=11=1，i=1+1=2；判断24，执行t=221=3，s=13=3，i=2+1=3；判断34，执行t=231=5，s=35=15，i=3+1=4；此时44，满足条件，输出s的值为15故选d【点评】本题考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件进入循环，满足条件算法结束9函数的零点所在的区间是（）a（3，4）b（2，3）c（1，2）d（0，1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题【分析】由题意可得f（2）0，f（3）0，满足f（2）f（3）0，由零点的存在性定理可判【解答】解：函数，f（2）=0，f（3）=0，f（2）f（3）0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选b【点评】本题考查函数零点的判定，涉及对数的运算，属基础题10已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为（）ab13c6d【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由，得=0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数的值【解答】解： =+，且，=（+）（）=0向量与的夹角为120，且|=2，|=3，23（1）cos1204+9=0解得：故选：d【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题11设点p是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】由p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出f1pf2=90再由|pf1|=2|pf2|，知|pf1|=4a，|pf2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率【解答】解：p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，点p到原点的距离|po|=，f1pf2=90，|pf1|=2|pf2|，|pf1|pf2|=|pf2|=2a，|pf1|=4a，|pf2|=2a，16a2+4a2=4c2，c=a，故选a【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用12已知函数f（x）=axlnx，当x（0，e（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（）aebe2c2ed2e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；分类讨论；转化法；导数的概念及应用【分析】先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数，当a0时，f（x）0，f（x）在x（0，e）上单调递减f（e）0，与题意不符；当a0时，f（x）=0的根为 当时， ，解得a=e2，当时，f（x）0，f（x）在x（0，e）上单调递减f（e）0，与题意不符；综上所述a=e2，故选：b【点评】本题主要考查导数的应用利用函数单调性最值和导数的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=1【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由f（x）为奇函数便可得到，进行分子有理化和对数的运算便可得到=，从而便可得出lna=0，这便得到a=1【解答】解：f（x）为奇函数；f（x）=f（x）；即=；lna=0；a=1故答案为：1【点评】考查奇函数的定义，以及分子有理化和对数的运算性质14已知实数x，y满足不等式组，则z=x2y的最小值为4【考点】简单线性规划【专题】计算题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（2，3），化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为223=4故答案为：4【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15若圆c以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是（x1）2+y2=13【考点】圆的标准方程；抛物线的简单性质【专题】直线与圆【分析】确定抛物线的准线方程及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=1，圆c截此抛物线的准线所得弦长为6，圆的半径为=圆的标准方程是（x1）2+y2=13故答案为：（x1）2+y2=13【点评】本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题16已知四棱锥pabcd的顶点都在球o的球面上，底面abcd是矩形，平面pad底面abcd，pad为正三角形，ab=2ad=4，则球o的表面积为【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求出pad所在圆的半径，利用勾股定理求出球o的半径r，即可求出球o的表面积【解答】解：令pad所在圆的圆心为o1，则圆o1的半径r=，因为平面pad底面abcd，所以oo1=ab=2，所以球o的半径r=，所以球o的表面积=4r2=故答案为：【点评】本题考查球o的表面积，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在abc中，内角a，b，c对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosbb）=a2b2（）求角a；（2）求sinb+sinc的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2bc，根据余弦定理可求cosa=，结合范围a（0，），即可解得a的值（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinb+sinc=sin（b+），结合范围b（0，），可求b+（，），利用正弦函数的性质即可解得sinb+sinc的最大值【解答】（本题满分为12分）解：（1）c（acosbb）=a2b2由余弦定理可得：a2+c2b2bc=2a22b2可得：a2=c2+b2bc，cosa=，a（0，），a=6分（2）sinb+sinc=sinb+sin（a+b）=sinb+sinacosb+cosasinb=sinb+cosb=sin（b+），b（0，），b+（，），sin（b+）（，1，sinb+sinc的最大值为12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75，80），80，85），85，90），90，95），95，100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（i）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率样本容量，得到答案；（ii）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（）由题意可知，参加社区服务在时间段90，95）的学生人数为200.045=4（人），参加社区服务在时间段95，100的学生人数为200.025=2（人）所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）（）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件a由（）可知，参加社区服务在时间段90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段95，100的学生有2人，记为a，b从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aa，ab，bc，bd，ba，bb，cd，ca，cb，da，db，ab共15种情况事件a包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，ab共7种情况所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键19在如图所示的多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ab=cd=1，ac=，ad=de=2（）在线段ce上取一点f，作bf平面acd（只需指出f的位置，不需证明）；（）对（）中的点f，求三棱锥bfcd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】整体思想；转化法；空间位置关系与距离【分析】（）根据线面平行的判定定理即可确定f的位置（）根据三棱锥的体积公式进行求解即可求三棱锥bfcd的体积【解答】证明：（）取线段ce的中点f，连接bf，则bf平面acd；（）ad2=ac2+cd2，acd=90，accd，de平面acd，acde，decd=d，ac平面cde，de平面acd，ab平面acd，abde，ab平面ced，de平面ced，ab平面cde，b到平面fcd的距离为ac，sfcd=secd=，三棱锥bfcd的体积v=sfcd=【点评】本题主要考查线面平行的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键比较基础20如图，已知圆c与y轴相切于点t（0，2），与x轴正半轴相交于两点m，n（点m必在点n的右侧），且|mn|=3，已知椭圆d：的焦距等于2|on|，且过点（i）求圆c和椭圆d的方程；（）若过点m斜率不为零的直线l与椭圆d交于a、b两点，求证：直线na与直线nb的倾角互补【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（i）设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|mn|=3，利用垂径定理得即可解得r于是得到圆的方程，可求得点n，m的坐标由得到2c，得到a2=b2+c2；又椭圆过点，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程（ii）设直线l的方程为y=k（x4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出kan+kbn，证明其和等于0即可【解答】（i）解：设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|mn|=3，得=，解得r=所以c的方程为令y=0，解得x=1或4n（1，0），m（4，0）2c=2，得c=1椭圆过点，联立，解得椭圆的方程为（ii）设直线l的方程为y=k（x4），联立消去y得到（3+4k2）x232k2x+64k212=0，（*）设a（x1，y1），b（x2，y2），kan+kbn= 2x1x25（x1+x2）+8=0kan=kbn当x1=1或x2=1时，此时方程（*）的=0，不合题意，应舍去因此直线na与直线nb的倾角互补【点评】熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、直线na与直线nb的倾角互补（斜率存在）kan+kbn=0等是解决问题的关键21已知函数f（x）=ax+xlnx（ar）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kz时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】（1）易求f（x）=a+1+lnx，依题意知，当xe时，a+1+lnx0恒成立，即xe时，a（1lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x1恒成立，令则，再令h（x）=xlnx2（x1），易知h（x）在（1，+）上单增，从而可求得g（x）min=x0（3，4），而kz，从而可得k的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间e，+）上为增函数，当xe时，a+1+lnx0恒成立，a（1lnx）max=1lne=2，即a的取值范围为2，+）；（2）当x1时，x10，故不等式k（x1）f（x）k，即对任意x1恒成立令则，令h（x）=xlnx2（x1），则在（1，+）上单增h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即当1xx0时，h（x）0，即g（x）0，当xx0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02， =x0（3，4），kg（x）min=x0且kz，即kmax=3【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形abcd是o的内接四边形，延长ba和cd相交于点p， =，=（）求的值；（）若bd为o的直径，且pa=1，求bc的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】压轴题；选作题；推理和证明【分析】（）证明pad与pcb相似，即可求的值；（）求出pb，pc，利用勾股定理求bc的长【解答】解：（）由pad=pcb，a=a，得pad与pcb相似，设pa=x，pd=y则有，所以（）因为pa=1， =，所以pb=4，因为papb=pdpc， =，所以pc=2，因为bd为o的直径，所以c=