数学物理方法复变函数部分复习提纲.doc

复变函数部分复习提纲一、 复变函数及其导数1明确区域的概念，了解导数定义2掌握可导的必要条件、充要条件 必要条件：充要条件：函数f(z)的偏导数存在，且连续，并且满足柯西黎曼方程。 3掌握解析函数的概念及其性质（重点：解析函数的实部和虚部通过c-r方程相互联系，并不独立只要知道解析函数的虚部(或实部)，就可求出相应的实部(或虚部).例题：1. 已知解析函数的实部，求这个解析函数。 2. 某个区域上的解析函数如为实数，试证它必为常数。二、 复变函数的积分1了解积分的定义,及其积分的性质2掌握单通区域柯西定理及其复通区域柯西定理 单通区域柯西定理: 如果函数f(z)在闭单通区域解析, 则沿上任一分段光滑闭合曲线 l (也可以是的边界),有 复通区域柯西定理：如果f(z)是闭复通区域上单值解析函数, 则 式中: l 为区域外境界线, 诸 li 为区域内境界线,积分均沿境界线的正方向进行.或者 。例：3掌握cauchy积分公式、解析函数的无限次可微性cauchy积分公式：若f(z)在闭单通区域上解析, l 为的围线, 为内任意一点, 则有柯西公式: 一般写为：，特别三、 复变函数的级数展开 1掌握一般有理分式洛朗级数展开 设f(z)在环形域r2|z-z0|r1内单值解析，则对环内任意一点z, 有 例题 将函数分别在和的环形域上展为洛朗级数。将。将分别在和上展开。将在z0=1展开。将分别在上展开。2了解孤立奇点及其分类 若f(z)在z0没有主要部分，则称z0为f(z)的可去奇点。 若f(z)在z0的主要部分只有有限项，则称z0为f(z)的m阶极点。 或者写成 若f(z)在z0的主要部分含无穷多项，则称z0为f(z)的本性奇点掌握判断孤立奇点的方法。b1bjll1lj四、 留数定理及其应用1 掌握留数的定义及其留数定理留数定理： 若z0为 f(z)的m阶极点，则z0为f(z)的一阶极点，则 或2掌握留数定理的应用 （1）积分 （2）无穷积分 （3）无穷积分 （）例题：分别计算i=;；,五、 付里叶积分与变换 1掌握付里叶积分与变换的概念称为fourier变换， 为fourier积分（或者的逆变换）记为：2了解fourier变换的性质 3掌握driac-函数的定义及其性质 函数定义：满足下列性质的函数性质：六、laplace变换 1定义：称 为f(t) 的 l变换，记为 逆变换 ， 2. 基本性质3了解其解常微分方程的应用数理方程部分复习提纲七、 数学物理定解问题1. 熟悉三类古典物理问题泛定方程的导出：即波动问题，热传导（扩散）问题，稳定场问题 ，2. 熟悉三类边界条件的导出：3. 对一般物理问题能写出定解问题。4. 掌握一维动问题的达朗贝尔公式及其物理意义八、 分离变量法（直角坐标与平面极坐标）1. 掌握分离变量法的步骤2. 例题：求解下列定解问题： 3. 了解非齐次方程求解方法: 以定解问题为例，说明本征函数展开法求解分齐次方程的步骤。4. 了解非其次边界条件的处理方法。九、 二阶常微分方程的级数解法1. 了解常点邻域上和正则奇点邻域上的级数解法。2. 掌握斯特姆-刘维尔本征值问题的一般结论。十、 分离变量法（球坐标系）1. 轴对称球函数（1）球函数方程： （2）勒让德方程本征值问题：本征值问题的本征值：l(l+1), l=0,1,2,3,.本征函数： pl(x) （勒让德多项式）其中：或 或 （3）l多项式的正交完备性 （4）拉普拉斯方程球对称问题的一般解：2. 例题：求解以下定解问题（1） （2）均匀静电场中放置一半径为的均匀介质球，求球内外的电场强度。（3）均匀静电场中放置一半径为的导体球，求球外的电场强度。（4）求解同心球壳内的定解问题： 3. 非球对称问题：（1） 连带勒让德方程本征值问题 或（2） 正交完备性 （3）一般球函数十一、 分离变量法（柱坐标系）1. bessel方程 的级数解 或其中：（为整数） 2. 递推公式 3. bessel方程的本征值问题（1）第一类齐次边界条件（2）第二类齐次边界条件r(0)=0 4. 本征函数的正交完备性 5. 例题