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常微分方程试题库（四）、计算题， (每小题10分)1. 解方程组： ； 2. 解方程组：；3. 解方程组：； 4. 解方程组：；5. 解方程组：； 6. 解方程组：；7. 解方程组：；8. 解方程组：； 9. 解方程组：；10. 解方程组：； 11. 解方程组：；12. 解方程：；13. 解方程：；14. 解方程： ; 15. 解方程： ;16. 解方程： ; 17. 解方程： ;18. 解方程：; 19. 解方程：;20. 解方程： ; 21. 解方程：;22. 解方程：； 23. 解方程：24. 解方程： ； 25. 解方程：；26. 解方程组：，； 27. 解方程组：，；28. 解方程组：，；29. 解方程组：；30. 解方程：；选题说明：每套试题选3个题为宜。（四）、计算题参考答案与评分标准， (每小题10分)1. 解方程组： .解：其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）所以方程组的基本解组为： . （2分）2. 解方程组： .解：其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）由 ， （2分）可知方程组的基本解组为： . （2分）3. 解方程组：.解：其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）由 ， （2分）可知方程组实的基本解组为： . （2分）4. 解方程组：解一：其对应齐次线性方程的系数矩阵为： ， （1分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （1分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （1分）所以对应齐次线性方程组的基本解组为： . （1分）现在求非齐次方程组形如 的特解，代入原方程可得：解之得 ， （2分）从而最后可得该方程组的通解为 （2分）解二：原方程可化为： （1分）消去可得：，由得齐方程的基本解组为： （2分）其特解为： （2分） （1分）所以 ， （1分）代入第一个方程得： ， （2分）方程组的通解为： （2分）5. 解方程组：. 解：其系数矩阵为： ， （1分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （1分）当时， ， （2分）由方程组可解得： ， （1分）由 可得： （1分）从而方程组的基本解组为： . （2分）6. 解方程组：.解：其系数矩阵为： ， （1分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）而 （2分）所以 ， （3分）所以方程组的基本解组为： . （2分）7. 解方程组：.解：其系数矩阵为： ， （1分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （1分）当时， 由方程组可解得： （2分）再由 ， （2分）从而方程组实的基本解组为： . （2分）8. 解方程组：； 解：原方程可化为： （1分）消去可得：，由得齐方程的基本解组为： （2分）其特解为： （2分）所以 ， （1分）代入第一个方程得： ， （2分）方程组的通解为：， （2分）9. 解方程组：； 解：原方程可化为： （1分）消去可得：，由得齐方程的基本解组为： （2分）其特解为： （2分）所以 ， （1分）代入第一个方程得： ， （2分）方程组的通解为：， . （2分）10. 解方程组： 解：原方程可化为： （1分）消去可得： ， （2分）由得齐方程的基本解组为： （1分）其特解为： （2分）所以 ， （1分）代入第一个方程得： ， （2分）方程组的通解为：， . （1分）11. 解方程组：解：原方程可化为： （1分）消去可得： ， （2分）由得齐方程的基本解组为： （1分）其特解为： ， （2分）所以，代入第一、二个方程得： （1分） （1分）方程组的通解为： （2分）12. 解方程：解：作变换，并记， （2分）则原方程可化为： ， （2分）其特征方程为：， （2分）特征根为2重根，所以其基本解组为：， （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）13. 解方程：解：作变换，并记， （2分）则原方程可化为： ， （2分）其特征方程为：， （2分）为2重根，所以其基本解组为：， （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）14. 解方程：解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其实基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：， （4分）所以原方程的通解为： . （2分）15. 解方程：解：对应齐方程的特征根为2重根， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：， （4分）所以原方程的通解为： . （2分）16. 解方程：； 解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：， （4分）所以原方程的通解为： . （2分）17. 解方程：解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：，（4分）所以原方程的通解为： . （2分）18. 解方程：解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：， （4分）所以原方程的通解为： . （2分）19. 解方程：解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其实基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：，（2分） ， （2分）所以原方程的通解为： . （2分）20. 解方程： 解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：，（4分）所以原方程的通解为： . （2分）21. 解方程：解：对应齐方程的特征根为2重根， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为：， （4分）所以原方程的通解为： . （2分）22. 解方程：解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为： （2分）， （2分）所以原方程的通解为： . （2分）23. 解方程：解：作变换，并记， （2分）则原方程可化为： ， （2分）其特征方程为：， （2分），为特征根，所以其基本解组为：， （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）24. 解方程： ； 解：作变换，并记， （2分）则原方程可化为： ， （2分）其特征方程为：， （2分）特征根为，所以其基本解组为：， （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）25. 解方程：；解：作变换，并记， （2分）则原方程可化为： ， （2分）其特征方程为：， （2分）为3重根，所以其基本解组为：， （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）26. 解方程组：，； 解：其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）可知方程组的基本解组为： . （2分）27. 解方程组：，；解：其系数矩阵为： ， （2分）特征多项式为：，其特征根为：， （2分）当时，由方程组，可解得特征向量为： ， （2分）由 ， （2分）可知方程组实的基本解组为： . （2分）28. 解方程组：，；解：原方程可化为： （1分）消去可得： ， （2分）由得齐方程的基本解组为： （1分）其特解为： （2分）所以 ， （1分）代入第一个方程得： ， （2分）方程组的通解为： ， . （1分）29. 解方程组：；解：其系数矩阵为： ， （2分） （2分）因为 （2分）所以其基本解矩阵为： （2分） . （2分）30. 解方程组：；解：对应齐方程的特征根为：， （2分）其基本解组为：， （2分）得原方程的特解为： （2分） ， （2分）所以原方程的通解为： . （2分）数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（一）题号一二三四五总分得分得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 2方程的所有常数解是 3若在上连续，则方程的任一非零解 与轴相交 4在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切 5向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式， 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间（a）维 （b）维 （c）维 （d）维 7. 方程（ ）奇解（a）有三个 （b）无 （c）有一个 （d） 有两个 8方程过点（ ） （a）有无数个解 （b）只有三个解 （c）只有解 （d）只有两个解 9若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ） （a） （b） （c） （d） 10连续是方程初值解唯一的（ ）条件 （a）必要 （b）必要非充分 （c）充分必要 （d）充分得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设在整个平面上连续可微，且求证：方程 的非常数解，当时，有，那么必为或 19设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数数学与应用数学2001级第三学期常微分方程试题答案及评分标准 （供参考） 2003年1月 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1平面 2 3不能 4不能 5必要 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6a 7b 8a 9c 10d 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 当时，分离变量得 （3分）等式两端积分得 即通解为 （6分） 12解 齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 （5分） 原方程的通解为 + （6分）13解 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分） 14解 令，则原方程的参数形式为 （2分） 由基本关系式 积分有 （4分） 得原方程参数形式通解 （6分） 15解 原方程为恰当导数方程，可改写为 即 （2分） 分离变量得 （4分） 积分得通积分 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 方程的特征根为， 齐次方程的通解为 （3分） 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （5分） 代入原方程，比较系数得 确定出 ， （8分） 原方程的通解为 （10分） 17解 特征方程为 即 特征根为 ， （2分） 对应特征向量应满足 可确定出 （5分） 同样可算出对应的特征向量为 （8分）所以，原方程组的通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知是方程的一个解。 （4分） 假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展这样，过点就有两个不同解和这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值 19证明 如果和是二阶线性齐次方程 的解，那么由刘维尔公式有 （5分） 现在，故有 （10分） 数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（二）题号一二三四五总分得分得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程的任一解的最大存在区间必定是 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间 4方程的所有常数解是 5方程的基本解组是 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（a）必要 （b）充分 （c）充分必要 （d）必要非充分 7. 方程的任一非零解在平面上（ ）与轴横截相交 （a）可以 （b）不可以 （c）只能在处可以 （d）只能在处可以 8方程（ ）奇解（a）有一个 （b）有无数个 （c）只有两个 （d）无 9方程过点的解，这个解的存在区间是（ ） （a） （b） （c） （d） 10向量函数组在区间i上线性相关的（ ）条件是在区间i上它们的朗斯基行列式 （a）充分 （b）充分必要 （c）必要非充分 （d）必要得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15 得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为 19在方程中，已知在上连续试证明：若存在使方程的两个解，同在处取极值，则，不能是方程的基本解组数学与应用数学常微分方程模拟试题（二）试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 2平面3n 4， 5 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6b 7a 8d 9c 10d 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 当时，分离变量得 （3分）等式两端积分得 方程的通积分为 （6分） 12解 令，则，代入原方程，得 ， （2分） 当时，分离变量，再积分，得 （4分） ，即通积分为： （6分） 13解 齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 （4分） 原方程的通解为 + （6分） 14解 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分） 15解 原方程为恰当导数方程，可改写为 即 （3分） 积分得通积分 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ， 故齐次方程的通解为 （4分） 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （6分） 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解为 （10分） 17解 方程组的特征方程为 即 特征根为 ， （2分） 对应的解为 其中是对应的特征向量的分量，满足 可解出 （5分） 同样，可解出对应的特征向量的分量为 （8分）故原方程组的通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 （4分） 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义 （6分） 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为 （10分） 19证明 由已知条件，该方程的任一解都在区间上存在 （2分） 若在处取极值，则必有 （4分）成立，于是由解构成的朗斯基行列式在处的值为 = 0 （8分） 故不能构成该方程组的基本解组，因为构成基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式， （10分） 数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（三）题号一二三四五总分得分得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程所有常数解是 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 4方程的任一非零解 与轴相交 5阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6方程（ ）奇解（a）有无数个 （b）无 （c）有一个 （d）有两个 7. 方程过点（ ）（a）只有一个解 （b）有无数个解 （c）只有两个解 （d）无解 8有界是方程初值解唯一的（ ）条件 （a）必要 （b）必要非充分 （c）充分 （d）充分必要 9方程的任一非零解在平面上（ ）与轴相切 （a）不可以 （b）只有在点处可以 （c）只有在原点处可以 （d）只有在点处可以 10阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （a）构成一个线性空间 （b）构成一个维线性空间 （c）构成一个维线性空间 （d）不能构成一个线性空间得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在 19设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点数学与应用数学常微分方程模拟试题（三）试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1； 或 2平面;3充分必要 4不能 5 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6b 7a 8c 9a 10d 三、计算题（每小题分，本题共30分）11解 分离变量得 （3分）等式两端积分得通积分 （6分） 12解 齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 （5分） 原方程的通解为 + （6分）13解 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分） 14解 令，则原方程的参数形式为