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picard逐次逼近法在高维隐函数存在定理证明中的应用华文中宋二号居中picard iterative method and its application toprove the existence of high-dimensionalimplication function theorem英文题目为times new roman二号专 业: 数学与应用数学华文中宋三号作 者:黄东冬华文中宋三号指导老师: 李松华华文中宋三号湖南理工学院数学学院二一二年五月 岳阳湖南理工学院 本科毕业论文空一行黑体小三号摘 要空一行黑体小四号在附加lipchitz条件基础上, 利用picard逐次逼近法证明了高维情形的隐函数存在定理, 为高维情形的隐函数定理提供另一种证明, 同时为隐函数的近似显式表达式求法提供一种方法. 关键词: picard逐次逼近法; 隐函数存在定理; lipchitz条件注: 以上部分的开始都需空两个中文字符, 关键词为黑体空一行黑体小三号abstract空一行黑体小四号based on adding lipchitz condition, we prove the high dimensional implicit function theorem using picard iterative, which provides another proof of it. furthermore, we obtain a method for the approximate explicit expression of implicit function.keywords: picard iterative method; implicit function theorem; lipchitz condition注: 以上英文摘要部分的字体都是times new roman, 且每一段开始都需空四个英文字符, abstract为加粗小三, keywords为加粗小四, 其余小四, 关键词之间用分号隔开, 关键词首写字母不大写(专有名词除外) ii 空一行宋体小四号目 录黑体小三居中空一行宋体小四号摘 要iabstractii0 引言11 定理12 定理证明过程22.1 构造picard近似函数序列32.2 证明收敛性4 2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解6 2.4 证明解的唯一性7参考文献10字体全部为宋体小四0 引言一级标题为黑体小三一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号picard逐次逼近法在数学理论及数值计算中有及其广泛的应用, 如求证微积分方程的解的存在唯一性, 求取微积分方程的近似解等. 在文2-4中, 他们利用picard逐次逼近法证明了一阶常微分(积分)方程解的存在性, 文6-9主要介绍了picard逐次逼近法的一些应用和推广方面的研究. 对于隐函数的存在性定理, 文1中采用分析的方法证明了这一定理. 邹添杰在5中通过附加了lipchitz条件, 利用picard逐次逼近法给出了一维隐函数存在定理的证明. 本文利用picard逐次逼近法证明了高维情形隐函数的存在性定理, 同时为高维隐函数的近似求法提供一种方法.一级标题在正文中间时, 前面需空一行宋体小四号1 隐函数定理一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号首先假设隐函数满足(i) 在: , ()上具有对一切变量的连续偏导数; (ii) ; (iii) ;(iv) 在上关于满足lipchitz条件: 即对上任意两点, 不等式 公式编号左对齐(1.1)恒成立, 为与和无关的正常数(lipchitz常数). 则有(i) 在点的某一邻域内, 方程唯一确定一个函数,且满足; (ii) 在内连续; (iii) 在内对各个变量有连续偏导数, 且, () (1.2)其中, . 2 隐函数定理证明过程 下面将运用picard逼近法对定理作出证明. 证明 若在内能唯一确定可导的函数, 且满足以及, 即等价于以下的初值问题: (2.1)在内有唯一解且. 简记, (2.2)下面将按照picard逐次逼近法的四个步骤予以证明. 二级标题需空两个中文字符, 前面空一行宋体小四号2.1 构造picard近似函数序列二级标题为黑体四号首先构造一个picard近似函数序列. 用满足的函数 (2.3)代替中的, 则 (2.4)其右边是在中的已知函数. 对(2.4)两边关于积分(很明显在内连续, 故可积), 并令它满足. 于是得到关于的一次近似 (2.5)(其中)在内连续. 再将代入(2.5)的右边就得到关于的二次近似 (2.6)(其中)在内连续. 如此下去, 我们可以得到次近似解 (2.7)(其中)在内连续. 为了保证上述逐次逼近可以一直进行下去, 要证明当时, 有, . 因为应该保持在之中. 如果某个超越出了, 由于函数只能保证在内有定义, 由(2.7)可以看到次近似就不能保证在上存在了. 以下将用数学归纳法予以证明. 易知在区间上函数满足. 若函数在此区间上满足, 由(2.7)式有.从而有. (2.8)由于已经假定在区间上. 所以根据定理的条件(i)以及就有. (2.9)由此, 我们在区间上按逐次逼近法得到了一个连续序列: , , , ,2.2 证明收敛性下面证明近似序列在邻域内一致收敛. 为此我们考察以下函数级数 (2.10)其部分和为 所以说, 如果函数项级数(2.10)在内一致收敛, 则表明存在. 为证明级数收敛, 我们首先来估计级数各项的绝对值.首先, 故 (2.11)由一次近似和二次近似的定义以及定理条件满足lipchitz条件, 我们有下面我们运用数学归纳法来证明不等式. (2.12)对于任意一个自然数都成立, 当时我们已经证明不等式成立. 现在假设对于自然数不等式(2.12)成立, 下面证明对于不等式也成立. 于是我们有 (2.13)由归纳假设(13), 我们有 . (2.14)由于, 故级数(2.10)自第二项开始, 每一项绝对值都小于正项级数的对应项.而上面这个正项级数显然是收敛的, 故由优级数判别法, 级数(2.10)在邻域内不仅收敛, 而且是一致收敛的. 设其和函数为, 因为近似函数序列在邻域内连续, 因而所得一致收敛函数的极限函数亦连续.2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解下一步证明是初值问题(2.1)的解首先我们在lipchitz条件下作以下估计 . (2.15)由于函数序列在邻域内一致收敛, 故对于任意给定的, 存在自然数, 当时, 对于邻域内所有()恒有,从而.由此可知. (2.16)即 . (2.17)从而我们对等式(8)分别两端极限有 . (2.18)亦即即有 (2.19)其中.2.4 证明解的唯一性 最后我们来证明(2.1)的解的唯一性.假设与都是(2.1)的解，于是就有其公共区域为，由前面的第三步有 . (2.20)和.(2.21)由(2.20)和(2.21)得其中. 记 (2.22)其中, . 于是上述式子可以写成两边乘以, 有两边从到积分, 且由得, 又, 故. 又由(2.22)知, 所以.同理可证当时. 综上所述当时, ,求导得到,即,其中. 这就证明了满足(2.1)的解只有一个.由证明开头的分析及picard逐次逼近法的几个步骤知道, 在内唯一确定一个函数, 且满足, 同时在内连续. 到此定理证明完毕!致谢 本文是在李松华博士的指导和帮助下完成的, 在此对李老师表示衷心的感谢!注:1. 论文的页面设置请参阅毕业论文工作手册p24, 三级标题用黑体小四不空行;2. 论文中的公式编号统一采样“(一级标题序号.公式序号)”格式且右对齐, 如上面论文中的公式3. 论文中的“定义, 性质, 引理, 定理”等都用黑体小四, 统一采样“一级标题序号.本类序号”的编号, 如定义1.1 设是一个阶矩阵, 是中的元素的代数余子式, 则称为的伴随矩阵.定理2.2 (）, 且.证明 当时, , 则.4. 论文中的“例题, 解”都用黑体小四, 统一采样“本类序号”的编号, 如例13 将在内展开为laurent级数.解 因为, 所以由 ,可得,5. 论文中的“表”都用黑体五号, 居中或文字环绕，表头统一采样“本类序号”的编号且放在表头居中, 表中的文字统一要求采用五号, 中文用宋体, 英文用times new roman, 例如表 3字段名说明数据类型not null字段大小备注id主键charyes10教师代码usernamecharyes10教师用户名6. 论文中的“图”都用黑体五号, 居中或文字环绕，统一采样“本类序号”的编号且放在图下面, 例如图 13参考文献另起一页, 且前空一行宋体小四参考文献黑体小三居中后空一行宋体小四,文献部分用五号, 中文用宋体, 英文用times new roman1 陈传璋, 金福临, 朱学炎. 数学分析(上、下册) m. 北京: 高等教育出版社, 1983.2 东北师大微分方程教研室. 常微分方程 m. 北京: 高等教育出版社, 2006.3 王高雄，周之铭，朱思铭. 常微分方程 m. 北京: 高等教育出版社, 2006.4 郭迎娜, 赵军. 关于一个积分方程解的存在唯一性证明j. 安阳工学院报, 1(2006), 71-74.5 邹添杰. 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用d. 广州: 中山大学05级数学与应用数学基地班.6 何昌，孙昭洪. 一类非线性算子方程解的迭代逼近 j. 四川大学学报（自然科学版）, 3(2003)，430-433.7 李文荣. 一类迭代微分方程的picard型定理j. 滨洲学院报，22:6(2006), 1-4.8 陈祥都, 刘数堂. 用picard迭代法解约束绳索动点坐标的数学说明j. 东北电力学院报, 16:2(1996), 46-55. 9 许晓婕, 杨 帆. 一阶隐式微分方程问题迭代法j. 松辽学刊(自然科学版) , 3(2001), 1-4.10 苏永福, 李素红. ishikawa 迭代的稳定性及与picard迭代的关系j. 天津大学报(自然科学版), 25:3(2005), 35-37. 11 david carother, william ingham and james liu. an overview of the modified picard method. department of mathematics and statistics, physics james madison university, harrisonburg, va 22807.12 kuo k-s, weger r. c. and welch r. m., the picard iterative approximation to the solution of the integral equation of radiative transf