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品析一道新旧融合名题背景的高考题湖北省阳新县高级中学邹生书宋村2011年高考湖北数学卷理科第15题是一道很值得品味的考题。该题图文并茂、能力立意、新旧融合、背景新颖厚重、渗透课改理念，重点考查学生阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，考查分类讨论思想、合情推理能力和数学素养。题目 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图1所示： 图1 图2由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种，（结果用数值表示）。本题图文并茂信息量大，信息的选择直接影响解题方向。题目中给出的当时，黑色正方形互不相连的着色方案的4组图形信息，看是可有可无好象只是用来帮助考生理解题意的，其实不然，这四组图形信息才是本命题的最大亮点，若去掉这一图形信息该命题则黯然失色命题效果则大打折扣。笔者认为给出的四组图形的结构不尽合理，不符合分类讨论由易到难由简到繁循序渐进的认知规律，特别是时的着色方案图给人分类混乱之感。若将给出的四组图换成图2的结构形式，更能帮助考生理解题意，这样命题就更加完美了，这不能不说是本命题的一个小小的瑕疵，当然瑕不掩瑜。如果认为图形信息只是用来帮助理解题意，可得如下解法1，若将四组图形当作是四个特例，作为归纳的起点可得如下解法2。可见这一图形信息不仅用来帮助理解题意，而且给考生提供了更多的思维空间，给考生创造性地简捷有效地解决问题提供了平台。解法1 去掉四组图形信息后本题即为：给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有多少种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有多少种（结果用数值表示）。由于黑色正方形互不相连，涂黑的小正方形个数可以是。显然，当k=0时，6 个正方形全白只1种涂法；当k=1时，即只有一个正方形涂黑有6种涂法；当k=2时，在6个正方形中有两个涂黑又互不相邻，可采用插空法，先自上而下排好 4个白色正方形，这样形成5个空档，任选两个空档插入2个黑色正方形有种方法；当k=3时，在6个正方形中有三个涂黑又互不相邻，同样用插空法，先自上而下排好 3个白色正方形，这样形成4个空档，任选3个空档插入3个黑色正方形有种插法。综上可知，给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有种。每个小正方形都有黑、白两种填法，所以6个小正方形共有种填法。如前所述，其中黑色正方形互不相连的着色方案有21种，故至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有64-21=43种。解法2 将问题一般化，构建数列模型。用表示给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，其中黑色正方形互不相连的着色方案种数。由这四组图形容易得出，观察这个数列，如果考生能发现这几项是著名的斐波那契数列（也称黄金数列）的前几项，或能从中发现：，由此提出猜想：从第三项起后面一项等于前两项之和即。于是，故给个自上而下相连的正方形着黑色或白色，黑色正方形互不相连的着色方案共有种。下同法1略。另一方面，由于采用不完全归纳法，从有限的几项归纳出的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，其正确性有待进一步的验证和证明。本题有不少考生作出如下归纳：因为，由此猜想，于是，这也是合情推理，两个合情推理，一对一错结果大相径庭。仿解法1知，都是斐波那契数列的项，于是我们更加坚信数列就是斐波那契数列，由此可见本题是以著名的斐波那契数列为背景的一道考题，以数学文化和数学名题为背景命题是近几年湖北卷的一大特色。本题是大纲教材和新课标的一个很好对接的案例。解法1是大纲教材的缩影，解法2 正是新课标合情推理的要求。解法2以图形为依托，构造数列，通过观察分析进行归纳推理或联想发现规律，从而使问题得以解决。归纳推理是一种合情推理，归纳推理从形式上看，是由部分到整体、个别到一般的推理。应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”随着新课改的不断深入，新课标高考不仅考归纳推理还会考类比推理，事实上类比推理出现在高考卷上已不是什么新鲜事了，类比推理与归纳推理相比，类比推理更富创造性和开拓性，同样会成为高考的亮点。归纳推理和类比推理统称为合情推理，其推理过程都