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有关椭圆焦点弦的高考题的探究八十中数学组2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题,给我留下了深刻的印象和许多思考,本文将对该问题加以分析和探究。问题:中心在原点的椭圆的右焦点为,右准线的方程为:。(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点,使,证明:为定值,并求此定值。解:(i)易得所求椭圆方程为;(2)记椭圆的右顶点为,并设(1,2,3),不失一般性,假设,且,。又设点在上的射影为,因椭圆的离心率,从而有。变形得: 。,而,故为定值探究一: 对于一般的椭圆方程,是否也有类似的定值呢?由上述证明,不难得到:(1)焦点为f的椭圆上三点,且,则有=。证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点f为左焦点)由圆锥曲线的极坐标方程,得。不失一般性,设,且,则有:,即:=。(2)焦点为f的双曲线同支上三点,且,则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值,证明同(1)(3)焦点为f的抛物线上三点,且,则有=。(证明同(1)探究二:前面的问题均限于三点,能否推广到个点呢?由上面的证明,我们不难得到: (1)焦点为f的椭圆上依次有个不同的点,且满足,则有=。证明:由圆锥曲线极坐标方程,得。不失一般性,设,且,则有:由复数次单位根的知识,易得:。特别的,当及时,就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。(2)焦点为f的双曲线同支上有个不同点,且满足,则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值,证明同(1)(3)焦点为f的抛物线上顺次有个不同点,且满足,则有=。特别的,当及时,就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。探究三:如果研究对象不是焦点弦,而是中心距,是否也有类似的结论呢? 中心为o的椭圆上依次有个不同点,且满足 ,则有=。证明:设,不失一般性,设,且,代入方程,得,所以。从而有:=。探究四:如果我们将椭圆的长轴分成等份,结果会怎样呢? 于是有:将椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于共个点,是椭圆的一个焦点,则。证明:设,由椭圆的对称性可知:,所以。特别地,当时,即是2006年四川省高考题:将椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则 35 。探究五:若变换成条件,是否有类似结论呢?我们继续如下探究:(1)焦点为f的椭圆上依次有个不同点,若满足,则有=。证明:设,由得,得:,从而:。同理,双曲线也有与(1)几乎完全一样的结论!(2)焦点为f的抛物线上依次有个不同点,若满足,则有=。证明:设,
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