关于高中数学建模教学的研究与实践.pdf

湖南师范大学 硕士学位论文 关于高中数学建模教学的研究与实践 姓名：王乐龙 申请学位级别：硕士 专业：课程与教学论（数学） 指导教师：叶军 201206 摘要 随着科学技术的发展和人类社会的进步，数学的应用已经从幕后 走向台前，深入到社会的各行各业，服务于生活的方方面面数学在 生产生活中的应用都有一个共同点，就是先把实际问题抽象为纯数学 问题，再借助数学的理论和方法把问题解决，这种解决问题的方式就 是数学建模活动社会的发展和人才的竞争，关键在创新能力，重点 在数学建模能力如此这般，数学建模教学所肩负的教育价值和社会 责任就异常沉重 基于以上认识，本文首先从社会发展和新课程标准两方面要求， 以及现在高中数学建模教学现状出发，阐述在高中实施数学建模教学 的重要性和必要性，然后通过对元认知、建构主义、数学化、问题解 决等主要教育教学理论进行分析，寻找在高中实施数学建模教学的可 行性和必要性的途径其次本文提出了一些中学数学建模教学应遵循 的原则和方法，并通过教学实践和调查分析，进一步验证了在高中实 施数学建模教学的可行性及其重要的教育价值最后从数学教学现 状、新课程改革、数学教师和数学建模能力评价等方面提出了自己的 一些想法和建议 关键词：高中；数学建模；研究；实践 a b s t r a c t w i t ht h ed e v d o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c l m o l o g ya n dt h e p r o g r e s so f h u m a n s o c i e t y ， t h ea p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c s 缸o mb e h i n dt h es c e n e st o t h es t a g e ，d e 印i n t oa us e c t o r so fs o c i e t y ，s e i n gi na l la s p e c t so fl i f e t h e r ei so n ec o m m o nc h a r a c t e r i s t i co fm a t l l e m a t i c sa p p l i c a t i o ni nl i f ea n d p r o d u c t i o n ， i st h ef i r s tt r a i l s f o m l i n ga na _ b s 慨c tp r o b l e mi n t oap u r e m a t h e m a t i c sp r o b l e m ， b ym e a j l so fm a t h e m a t i c a lt h e o wa n dm e t h o dt o s o l v et l l e p r o b l e m ， t h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e mi sam a t h e m a t i c a l m o d e l i n ga c t i v i t y t h ea b i l i t yo fi n n o v a t i o ni st h ek e yt ot h ed e v e l o p m e n t o ft l l e s o c i e t ya n dt h ec o i n p e t i t i o no ft a l e n t s ， a l l dt h e a b i l i t y o f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi sm ef o c u s i nt l l i s w a y ， t h eb u r d e no nm e t e a c h i n go fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fi t se d u c a t i o nv a l u e sa i l ds o c i a l r e s p o n s i b i l i t yi se x t 崩n e l yh e a v y f o rt h ea b o v eu n d e r s t a l l d i n g ，t 1 1 i sp 印e r 肋m 也es o c i a ld e v e l o p m e n t a n dt h en e wc u 而c u l u ms t a l l d a r d 舶mt w oa s p e c t so fb a c k g r o u n da n d p r e s e n ts i t u a t i o no fh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sm o d e l i n gt e a c h i n gi ns e n i o r m i d d l es c h o o lm a t h e i n a t i c a lm o d e l i n g ，e x p o u n d st h ei m p o r t a l l c ea n d n e c e s s i t yo ft e a c h i n g ，a n l dt h e nia n a l y z et h ef e a s i b i l 时a n dn e c e s s i t yo f m a t l l e m a t i c a lm o d e l i n gt e a c h i n gi n h i g hs c b o o lt h r o u g hs o m em a j o r e d u c a t i o n a l t e a c h i n gt h e o 巧? s u c ha st h em e t ac o g n i t i o n ，c o n s t m c t i v i s m ， m a m e m a t i c i z a t i o n ， p r o b l e ms o l v i n ga n ds oo n a n dt h e nt h i sp 印e rp u t s f o r w a r ds o m ep r i n c i p l e sa n dm e t h o d so ft e a c l l i n g o fm a t h e m a t i c a l m o d e l i n gi nh i g hs c h o o l ， a n dt l 啪u g ht h et e a c h i n gp r a c t i c ea n ds u r v e y a n a l y s i s 如r t h e rp r o v e dt h ef e a s i b i l i t ya n di m p o r t a n te d u c a t i o n a lv a l u eo f m a t h e m a t i c sm o d e l i n gt e a c h i n gi nh i g hs c h 0 0 1 f i n a l l y ，f 两mt h ec u r r e n t s i t u a t i o no fm a t h e m a t i c st e a c h i n g ，n e wc u r r i c u l u ms t a n d a r d ， t e a c h e ro f m a t h e m a t i c sa n de v a l u a t i o no fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g a b i l i t y ， i p u t f o 刑a r ds o m em yo w ni d e a sa 1 1 ds u g g e s t i o n s 1 ( e yw b r d s ：h i 曲s c h o o l ； m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ； r e s e a r c h ； p r a c t i c e i i i 关于高中数学建模教学的研究与实践 1 1 研究的背景 1 绪论 1 1 1 数学建模能力是社会发展的要求 最近几十年以来，数学发展的显著特征之一就是数学应用的巨大 发展在当今这样一个知识经济飞速发展的时代，数学正慢慢从幕后 走向台前，扮演着越来越重要的角色特别是数学和计算机技术的紧 密结合，使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值同时，也开 拓了数学发展的广阔前景我国的数学教育在相当长的一段时间内未 能给予数学与实际、数学与其他学科的联系充分的重视，因此，高中 数学在数学应用和联系实际方面显得极其迫切 近2 0 年来，我国很多大学、中学进行了数学建模教学，都收到 了很好的教学效果，都表明：开展数学建模活动有利于提高学生学习 数学的兴趣、增强学生应用数学的意识、培养学生的创新思维和创新 能力 1 1 2 数学建模能力是新课程标准的要求 新高中数学课程大部分内容都是基于实际背景，反映了数学的应 用价值，也设立了体现数学许多重要应用的专题课程还要求让学生 体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联 系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力 普通高中数学课程标准( 实验) ( 2 0 0 3 ) 明确要求：高中数学课 郭其俊“现实数学”的重构一一谈新课程背景下中学数学应用问题中学数学2 0 0 4 ( 4 ) 1 硕士学位论文 程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专 题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次 数学建模活动 1 1 3 高中生数学建模能力的现状 文章中通过调查分析得出现在高中生数学建模能力的现状有： ( 1 ) 学生遇到实际问题时，常常表现出信心不足； ( 2 ) 学生遇到实际问题中的名词术语或背景时，常常不能正确 理解； ( 3 ) 学生对实际问题中各种数据之间的数量关系，常常分析不 完全，把握不准确； ( 4 ) 学生对实际问题转化为数学模型，常常表现得无能为力或 者转化不正确 1 2 研究的现状与局限性 1 2 1 数学建模教学的研究现状 ( 1 ) 国外现状近几十年来，“数学建模”( m a t h 锄a t i c a lm o d e ；l i n g ) 的教学在一些西方国家，诸如美国、英国、丹麦等国数学教育界中， 成为一个热门的话题，并在国际数学教育大会( i c m e ) 中占有一席 地位作为一种尝试，2 0 世纪六七十年代西方国家一些学校开设了 一门称为数学建模的课程，着重介绍一些数学建模方法，培养建模能 力，以培养较高的数学素养美国教师联合会( n c t m ) 把数学建模 内容引进中学教材作为1 9 8 1 1 9 9 0 年数学教学改革的目标n c t m 在 1 9 9 1 年出版了由f r a i l l ( s w e t z 和j e f | c ；f 髑o n s h a n a l e r 编的“中学课程 中华人民共和国教育部氍普通高中数学课程标准( 实验) 【m 】，北京：人民教育出版社，2 0 0 3 于敏数学建模中学生解头实际问题能力的现状分析【j 】，中国科技财富，2 0 l o ( 2 0 ) 2 关于高中数学建模教学的研究与实践 中的数学建模一课堂练习资料“ 一书该书还具体给出了有教学实践 的2 2 个数学建模的课堂练习 从课程内容设置视角来看，世界各国课程计划都要求在各年级水 平或多或少地包含数学建模内容英国国家统一课程中，把中小学数 学课程分列为五大领域：使用和应用数学、数、代数、形体和空间、 数学处理其中第一条“使用和应用数学”里包含很多这方面内容： 瑞典教育部文件中，要求教师善于从学生熟悉的环境中提出问题，同 时注意问题的实际意义和社会意义：加拿大伦比亚省教育部在颁发的 文件中规定了中学数学目的，其中一条是：学会将数学知识应用到物 理学科和其它领域，能对周围环境中所遇到的问题做出数学模型并设 法加以解决；德国巴伐利亚州的中学数学教学计划中有一项学习内容 “一起设计计划与实施”，其相应的教学建议是“以现实课题和学生 兴趣为出发点，以专业课的问题或实用专业的问题为出发点，比如经 济计划( 旅行、购买住房、办学生报) 、生产计划( 礼品书店、服装) 、 民意调查等” 以上足以说明数学建模教学与应用教学有着紧密的联系，数学建 模教学的地位在国外越来越重要，日益受到重视 ( 2 ) 国内现状8 0 年代初数学建模课程引入我国的一些高校， 短短十几年来发展非常迅速，反应良好9 0 年代初国内一些大学组 队参加美国大学数学建模竞赛几年以后，国内也开始仿效美国的形 式举办全国大学生数学建模竞赛从此，数学应用，数学模型方法， 数学建模也迅速涉及到中学，使得我国各种各样的有关中学数学的杂 志中，讨论数学模型方法、数学运用、数学建模的文章明显地多了起 来9 0 年代以来，上海市连续8 年举办了中学生数学知识运用竞赛， 1 硕士学位论文 北京市也举办了3 届中学生数学知识运用竞赛特别是近几年的高考 试题中，采用数学建模方法求解的应用问题的考查由1 9 9 3 年、1 9 9 4 年小题变成1 9 9 5 年以来的大题，一些地区的初中升高中试题也有了 数学建模的内容我国首先在上海于1 9 9 1 年l o 月由上海市科技站、 上海工业与应用数学学会、上海金桥出口加工区联合有限公司联合举 办了“上海市金桥杯中学生数学应用知识竞赛”的初赛和决赛，以后 每年进行一次，主要对象是高中学生北京市于1 9 9 3 1 9 9 4 年也成功 举办了“北京市首届方正杯中学生数学知识应用竞赛到1 9 9 7 年 北京市教委从中学数学教育改革，特别是从应试教育向素质教育转变 的角度出发，批准恢复了这个一年一度面向高中学生的竞赛北京市 成立了由数学会、北京市教委教科院、人民教育出版社、北京师范大 学、首都师范大学联合组织的“高中数学应用知识竞赛咨询委员会和 组织委员会，由北京数学会作为具体承办单位，并于1 9 9 7 年1 2 月举 办了“第一届北京市高中数学知识应用竞赛，它的形式是“两开一 闭”，分初赛和决赛两个阶段通过竞赛，既可以考查中学生的应用意 识和创新能力，又可以锻炼中学生应用所学的中学数学知识去解决具 体实际问题，目前在上海和北京举办的高中数学知识应用竞赛正向全 国辐射，逐步发展为一个全国性的竞赛 普通高中数学课程标准( 实验稿) 指出：“高中数学课程设立 数学探究、数学建模等活动，”，高中数学课程的具体目标：“提 高数学的提出、分析和解决问题( 包括简单的实际问题) 的能力， 发展应用意识和创新意识”，加强数学应用教学，更是我们探索素质 教育的一条有效途径“数学建模”作为一种问题解决的方式，是提 高学生数学应用素质的最好途径，是中学数学教学改革的突破口和生 关于高中数学建模教学的研究与实践 长点在现行的高中数学教材( 2 0 0 4 人教版) 中，数学建模已经以 显性必修内容纳入高中数学课程，这必然引起教材，教法，考试评价 制度等的变革 1 2 2 关于数学建模教学研究的局限性 国内外有关中学数学建模的研究很多，但是主要还是局限于研究 中学数学建模进入中学课程的必要性、数学建模的作用、数学建模的 学习特点、较笼统的数学建模课程设置方式以及中学数学建模的意义 研究 1 3 研究的目的与意义 研究目的： ( 1 ) 了解高一学生数学建模能力现状； ( 2 ) 调查高二学生对数学建模课程的认识与感受及其与学生的 学业成绩之间的关系 研究意义： ( 1 ) 通过对高一学生调查发现，高中生，特别是农村中学高中 生数学建模经验缺乏，能力不足，并认为中学数学与实际生活之间关 联非常少，初步确定在高中实施数学建模教学是有必要的 ( 2 ) 通过对高二学生跟踪调查，了解学生以前对数学建模的认 识程度以及上数学建模课程的感受，并调查掌握学生对中学数学与现 实生活之间的关系认识变化情况进一步肯定在高中实施数学建模教 学既能满足学生的学习和能力需求，还能提高学生对学习和能力的信 、一 硕士学位论文 1 4 研究的方法 ( 1 ) 文献综述法 对数学建模的相关理论研究与实践材料进行包括中外文著作、期 刊及网络资源在内的文献整理，明确本课题的研究内容、研究现状， 寻找相关领域的理论支持与实践成果 ( 2 ) 比较研究法 通过课后进行跟踪调查，比较学生课前课后对数学建模的了解程 度及其变化情况，并比较学生对中学数学与现实生活之间的关系认识 和感受变化情况 ( 3 ) 问卷调查法 本文首先通过在高一年级进行调查测试了解高一学生的数学建 模能力，然后通过在高二实施一节数学建模案例后进行跟踪调查，了 解高二学生对数学建模的理解和认识变化 关于高中数学建模教学的研究与实践 数学建模相关文献综述 2 1 关于数学建模有关概念的研究 2 1 1 数学应用题的界定 数学应用题是以语言文字形式呈现的含有情节内容的数学问题， 是用一定的情节描述的数量关系问题，情节和数量关系是它的两个基 本构成要素应用题的这两个基本要素是紧密相联、密不可分的一 方面，情节和数量关系不可或缺，缺乏情节的数量关系问题是式题或 方程，缺乏数量关系的情节是文学故事另一方面，两个要素又相互 依存、相互作用，情节是数量关系的载体，是应用题的外在表现形式， 即应用题的表层结构；数量关系是情节的数学内容，是应用题的内在 实质，即应用题的深层结构 数学应用题区别于纯数学问题，虽然，数学应用题与纯数学问题 7 同时来源与实际生活，同属于数学问题，都需要运用数学理论、数学 思想和数学方法来解决其目的都是为了最终解决实际生活不过纯 数学问题的抽象已完全脱离了实际背景，彻底由数学语言和符号来表 示而数学应用题只是把实际问题的复杂背景和复杂条件进行简化， 用含有一定数学意义的实际文字来表述 2 1 2 数学建模的界定 数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，现 已成为不同层次数学教育重要和基本的内容数学建模是从现实问题 中建立数学模型的过程它的作用对象更侧重于来自非数学领域，但 7 硕士学位论文 需用数学工具解决的问题如来自日常生活、经济、工程、物理、化 学、生物、医学等领域的应用数学问题这类问题往往还是“原胚” 形的问题，怎么样将它抽象，转化成一个相应的数学问题，这本身就 是一个问题作为问题解决的一种形式，它更突出地表现了如下过程： 对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程，数学工具、方法、 模型的选择和分析过程，模型的求解、验证、再分析、修改假设、再 求解的迭代过程 数学建模的过程可以通过流程图2 1 体现： 图2 1 数学建模就是图2 1 的多次循环执行的过程，数学建模的一般步 骤为： 1 模型准备 关于高中数学建模教学的研究与实践 要了解问题( 事件或系统) 的实际背景，明确建立模型的目的， 掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征，并将面临 建模问题的周围种种事物区分为不重要的、局部的、局内的等部分， 想象问题的运动变化情况，用非形式语言进行描述，初步确定描述问 题的变量及相互关系 2 模型假设 根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行必要的简化，并 且用精确的语言来描述，称作“模型假设”，这是建模的关键一步不 同的简化和假设会得到不同的模型，假设做的不合理或过分简单，会 导致模型的失败或部分失败，假设做的过于详细，考虑的因素过多， 会导致模型太复杂而无法进行下一步工作所以要善于辨别问题的主 要方面和次要方面，果断地抓住主要素，抛弃次要因素，尽量将问题 均匀化、线性化 3 模型建立 根据所做的假设，利用适当的数学工具刻画各个变量之间的关 系，建立相应的数学结构( 公式、表格、图形) ，若不能完全地解析 地解决时，可以先考虑近似求解，即“模型建立”，也是将实际问题 翻译成数学问题的过程尽量采用简单的数学工具，以便得到的模型 被更多的人了解和使用 4 模型求解 根据采用的数学工具，对模型求解，包括解方程、图解、逻辑推 理、定理证明、稳定性讨论等等，需要有运用数学进行推导、计算、 简化、分析、证明的能力 5 模型分析 q 硕士学位论文 对上述所得结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分 析各变量之问的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果给出数学上 的预测；有时则是给出数学上的最优决策或控制 6 模型检验 即把模型分析的结果翻译回到实际对象中，用实际现象、数据等 检验模型的合理性和适用性，即验证模型的正确性 2 2 关于数学建模的有关理论研究 2 2 1 数学建模的元认知理论 元认知是指主体对自己自身活动的认知，既包括当前正在进行的 动态的认知过程和静态的自我认知能力，也包括对两者相互作用的认 知主要包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个部分，他们 是相互联系、密不可分的元认知的实质是主体对认知活动的，自我意 识和自我调节，自我意识是以主体及其活动为意识对象，是人的意识 的最高形式所谓认知活动的自我监控和调节，就表现在主体根据活 动的要求，选择适宜的策略，监控认知活动的进程，不断反馈和分析 信息，及时调节自己的认知过程，坚持或更换解决问题的方法和手 段 元认知理论对教师在教学中提出了更高的要求，既要指导学生学 习具体的概念、公式、定理等，还要有意识地帮助学生了解与学习任 务有关的知识，包括这部分内容的实际背景、理论背景以及在整个知 识体系中的地位与作用 同时，元认知策略是解决人的行为和认知加工过程的一般方法， 刘明祥浅论元认知在数学教学中的作用与培养【j 】中学数学研究，2 0 0 2 ( 9 ) 1 0 关于高中数学建模教学的研究与实践 数学中的元认知策略包括掌握理解数学知识的策略和解决问题的策 略，其中理解数学知识的策略即理解知识的原型以及它的应用，解决 问题的策略就包括对于实际问题建立一个数学模型，它是在教师的指 导下学生通过亲身实践去体验、领悟、总结、概括，也就是让学生在 己有的知识经验的基础上经历一个主动建构的过程 2 2 2 数学建模与建构主义理论 建构主义理论创始人让皮亚杰( j e a i lp i a g e t ，1 8 9 卜1 9 8 0 ，瑞士 认知心理学家) 曾明确地提出：人的认识并不是对外在的被动的、简 单的反映，而是一种以己有知识和经验为基础的主动建构的活动认 知发展不是一种数量上的简单累积的过程，而是认知结构不断重新建 构的过程根据他的观点，个体的认知结构都是通过不断的同化和顺 应而发展，以适应新的环境每当个体遇到新的刺激，总是先把对象 纳入到己有的认知结构中( 同化) ，若获得成功，便得到暂时的平衡如 果己有的认知结构无法容纳新的对象，个体就必须对己有的认知结构 进行变化以使其与环境相适应( 顺应) ，直至达到认识上的平衡同 化与顺应之间的平衡过程，即认识上的“适应“ 过程是我们人类思维 的本质所在 建构主义观认为学生学习活动的本质是：学习不是学生被动接受 教师所教授的知识，而是学生本身以学生己存的知识和经验为基础的 一个主动建构的过程 建构主义观认为学生“理解”或“消化”数学知识的真正涵义是 指学生自己根据己有的知识和经验对教师所讲的内容重新加以解释， 并重新建构其意义，而不是指只要学生弄清教师的本意，学生要把新 刘斌建构主义观点下的数学教学活动【j 】学问：现代教学研究，2 0 0 9 ( 1 0 ) 1 1 硕士学位论文 的学习正确地纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组 成，才是真正获得了对知识的“消化”我们让学生进行数学建模活 动的根本目的，就在于让学生通过自己主动的建构过程去学习、去运 用数学知识因此，学生不断地建构，不断地“做数学”才是学习数 学的最好的方法 2 2 3 数学建模与数学化思想 数学化思想的提出者汉斯弗赖登塔尔( h f r e u d e n m a l ， 1 9 0 5 1 9 9 0 ，荷兰数学家和数学教育家) 认为：人们在观察，认识和 改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世 界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化简而言之， 数学地组织现实世界的过程就是数学化弗赖登塔尔教授进一步指 出：“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数 学事物进行数学化以保证数学的应用，接着还应进到下一层次，至少 能对数学事物进行局部组织应当懂得，没有数学化就没有数学，没有 公理化就没有公理系，没有形式化也就没有形式体系；因此数学教学 必须通过数学化来进行”，并且把“数学化”作为数学教学的基本原 则之一 在高中生中开展数学建模活动其实就是建立数学模型过程的一 个缩影在建模活动中常常需要根据研究目的，对所研究的过程和现 象进行认真分析，抓住它们的主要特征和关系，并采用数学语言概括 地、近似地表达出来 弗赖登塔尔作为教育任务的数学【m 】陈昌平，唐瑞芬译上海：上海教育出版社，1 9 7 3 1 2 3 7 0 1 7 z 1 2 关于高中数学建模教学的研究与实践 2 2 4 数学建模与问题解决理论 问题解决理论的提出者乔治波利亚( g e o 曜ep o l y a ，1 8 8 7 。1 9 8 5 ， 美籍匈牙利数学家) 在他的名著数学的发现中从数学角度给出“问 题”的含义、界定和分类，他指出，所谓“问题“ 就是意味着要去寻 找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标早在1 9 8 0 年 美国数学教师全国联合会( n c t m ) 就公布了针对过去数学教育改革 中偏重理论结构而忽视应用的问题的文件行动纲领一对8 0 年代学 校数学的建议，正式提出问题解决的观念，指出：“8 0 年代的数学 大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去“ ， “必须把问题解决作为8 0 年代学校数学的核心”，“问题解决”不仅 包括解决日常生活中的问题，而且包括把数学应用于现实世界，服务 于当代新生科学的理论和实践，并解决数学科学本身前沿所得出的问 题之后，美国相继发表了许多改革数学教育的纲领性文件，1 9 9 8 年 l o 月n c 又公布了面向2 1 世纪的新的数学课程标准j 学校数学 课程与评价标准”( 讨论稿) ，等等，它们无不在强调要充分发挥数学 应用在提高学生素质，培养社会所需人才等方面的作用 在英国，1 9 8 2 年数学教育权威文件“c o c k c r o rr 印o r t ”就明确 提出“数学教育的核心是培养解决数学问题的能力，强调数学只有在 应用于各种情况才是有意义的”1 9 9 2 年版英国国家数学课程标准 把数学教学的首要目标定为“使用和应用数学”俄罗斯、日本、韩 国、瑞典、荷兰，就连一贯重视理论性的德国和法国，也都把改革的 重心放在数学的应用上 作为问题解决的重要组成部分，数学建模的作用对象常常偏向于 非数学领域，但需要数学工具来解决的问题，如来自日常生活，社会 1 3 硕士学位论文 生产等现实环境中的应用数学问题数学建模作为问题解决的一种模 式，常常表现为以下三个过程：( 1 ) 实际问题进行分析、假设、抽象 的数学化过程；( 2 ) 选择和使用数学工具、方法和模型过程；( 3 ) 对 模型求解、验证、再分析、修改假设、再求解的重复迭代过程 赵继源数学应用与数学建模辨析【j 】中学数学教学参考：上半月高中， 2 0 0 6 ( 9 ) 1 4 关于高中数学建模教学的研究与实践 3 数学建模教学的一般原则与实践 3 1 中学数学建模教学的一般原则 ( 1 ) 目的性原则 目标性原则是指在高中实施数学建模教学：一要为学生进一步学 习以及促进学生全面发展( 包括知识、技能、情感、态度和价值观等 方面) 服好务；二是要培养学生的社会实践能力，使学生既善于将实 际问题转化为数学问题并借助数学方法解决，反过来还能增强学生应 用数学的意识，为社会主义现代化建设培养实用型人才奠定基础 ( 2 ) 可接受性原则 可接受性原则是指高中数学建模教学从内容到方法都必须要适 合学生和学校的具体实际，具体是指：一方面建模教学活动的内容和 方法要符合学生的生理、心理特征和智力发展水平，既要让学生理解 内容、接受方法，又要使学生通过参与建模活动，认知水平达到一个 新的高度，实现一次新的飞跃对于那些违反法规、违背科学、不切 实际的问题，与学生的认知水平相离的建模活动，不但达不到预期目 的，更可怕的是还会导致学生的兴趣、爱好被扼杀在青春的摇篮里另 一方面我们设计安排的问题和模型既要贴近生活、联系实际，又要结 合教材内容，使学生不但有兴趣，而且有能力去尝试解决所以我们 需要把建模教学与常规教学内容紧密结合起来，有层次、有梯度的不 断推进 ( 3 ) 启发性原则 硕士学位论文 启发性原则是指数学教师建模活动中应该始终坚持以学生为活 动的主体，以启发性的教学方式开展教学活动，充分地调动学生学习 的主动性，启发学生独立思考，引导学生把脑、手、口都动员起来， 使学习活动具有创造性，而反对以单调的、单向的传授形式进行数学 建模教学教学问题也要设计得具有启发性，留给学生一定的思维空 间整个活动过程都要注重引导学生主动质疑、认真调查、细心探究， 在实践中习得知识和技能 ( 4 ) 活动性原则 活动性原则是指教师要把数学建模教学作为一种数学活动教学， 突破传统课堂传授的方式，更多地把它作为一个活动课程，改变过去 上课听教师讲、课后独立完成作业的学习习惯争取做到课堂教学开 放，空间和时间灵活，学生活动、课堂氛围宽松，要引导学生积极参 与课外活动提倡、鼓励学生“动手操作”、“合作交流”、“自主探索”， 改变学生羞于交流和表达自己的思想、不善于与人合作的性格 ( 5 ) 激励性原则 激励性原则是指：一方面在组织建模教学时，应注重贯彻激励教 育思想，努力营造出激励学生积极参与教育教学活动的氛围，以表扬 为主，适当指出不足，尊重学生人格，培育学生自尊心、荣誉感，提 高学生学习数学的兴趣，学生不是被动地参加，而是主动地参与；另 一方面要注意调动教师参与的积极性，因为数学建模教学比一般课堂 教学要花的时间更多，教师在设计组织和指导方式、搜集资料、设计 问题、研究模型等工作中付出的精力也更多激励性原则必须自始至 终贯彻在中学数学建模教学中 ( 6 ) 、创造性原则 关于高中数学建模教学的研究与实践 创造性原则是指数学建模教学要坚持以提高学生创造性思维为 第一任务2 1 世纪世界各国人才竞争日益激烈，其中人才的创新素 质竞争最为关键创新素质的基本内涵包括创新意识、创造性思维和 创新能力等实践证明，数学建模活动是一种对提高学生的创新素质 非常有效的教学方式教师在教学中也要创造性地进行教学设计，使 得整个建模教学更具创新性 3 2 中学数学建模教学常用方法 ( 1 ) 挖掘课本中的数学，注重原题改编 我们可以通过改变设问方式、变换题设条件、互换条件结论、类 比拓广等方法对课本中出现的一些应用问题进行改编；我们可以在科 学、可接受的前提下，对于课本中出现的纯数学问题，添加点生活性、 新颖性和趣味性，编拟出具有一定应用价值或实际背景的建模问 题开展这样的教学活动，不但可以帮助学生学会将实际问题数学化， 还能够将抽象的数学问题生活化 例l 如图3 1 所示，有三个大小相同的正方形，求证： 么l + 么2 + 么3 = 9 0 0 名 多 y 图3 1 这是一道课本习题，此题的结论应用比较广，对学生思维的训练 也非常有用，一以此问题为原型，可改编如下一道应用问题：在距学校 图书馆底部2 0 m ，4 0 m ，6 0 m 的三处，观察图书馆项部，测得的仰角 之和为9 0 。，那么图书馆高度为多少? 只要有课本练习题的基础，就 李宁等数学建模教育的作用和愿则【j 】企业导报，2 0 l o ( 1 2 ) 1 7 硕士学位论文 不难得出电视塔高为2 0 聊 只要数学教师用心钻研，精心设计，还有很多的纯数学问题可以 找到实际模型，只要数学教师选择一些紧贴生活的典型问题深入分 析，就能够找到数学上的解释，提炼成纯数学问题如果教师在教学 中经常对学生进行这两个方面的训练，培养学生用数学的眼观看待问 题和现象这对提高数学学习兴趣、培养应用意识和能力、活跃课堂 气氛都是有帮助的 ( 2 ) 提炼生活中的数学，强化应用意识 数学来源于生活，数学应用问题更是如此如出租车费、购房问 题、体育中的投掷问题、负重问题等，都可用使用中学数学模型加以 解决或解释 例2 如图3 2 ，志愿者甲与志愿者乙帮一位老人提行李，设他们 用力大小相等且作用于同一个点，当他们所用力的夹角为9 0 。时，合 力的大小为1 0 0 ，则他们所用力的夹角为1 2 0 。时，合力的大小为多 少? 图3 2 通过解三角形可得夹角为9 0 。时，两人用力大小均为5 0 压，对 于夹角为1 2 0 。时，由向量运算的三角形法则可知，力的合成构成一个 等边三角形，因此合力的大小为5 0 压这个数学应用问题有一个我 们都感受过的生活背景，就是一个物体不能一人抬的时候，往往需要 两个人合作，怎样才能做到更省力呢? 用平面向量的加法原则就能很 关于高中数学建模教学的研究与实践 好的解释这个有关力的合成问题 如果数学教师在日常教学中适时引入生活中的实际背景或问题， 既能帮助学生加深对纯数学知识的理解和运用，还可以增强应用数学 的信心 ( 3 ) 追踪社会热点问题，介绍建模方法 社会生活、市场经济中涉及的诸如购房贷款、保险收益、储蓄利 润、利润最大、成本最小等热点问题，都是中学数学建模的好素材， 只要教师合理的选取，恰当的提炼，适时容入教学活动，介绍建模方 法，这样既能帮助学生树立正确的商品经济观念，还能为以后用数学 知识和方法处理现实生活问题提供知识和能力储备 例3 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 砌 的么，b 两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过4 ，曰两 点的直线为z 轴，线段仰的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系 ( 图3 3 ) 在直线x = 2 的右侧，考察范围为到点曰的距离不超过 华砌的区域；在直线x ：2 的左侧，考察范围为到彳，曰两点的距离 ) 之和不超过4 括砌的区域 ( i ) 求考察区域边界曲线的方程； ( i i ) 如图6 所示，设线段露昱，b e 是冰川的部分边界线( 不考 虑其他边界) ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域 平行移动，第一年移动0 2 砌，以后每年移动的距离为前一年的2 倍， 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 硕士学位论文 巴 化 区域 q 、r 删，一 l p 妖嚣，6 ) 暮 厂 ? 豫 i。 。，式。敏。4 ，o郎。回 r 日( - 5 、鼠一d 、。 j q p 2 图3 - 3 当学生阅读本题的同时，会自然而然地想到是全球气候变暖引起 的冰川融化，给地球气候带来更多的危害本题是一道以社会热点问 题为背景的应用题，既考察了学生的数学建模能力，又考查了圆的方 程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和 等纯数学知识不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到 环保教育，体现了数学的社会价值 ( 4 ) 通过实践活动或游戏，培养建模意识 例4 选择尽可能多的方法测量河流对岸那座山顶上的电视塔的 高度 这是一道开放型的建模题，可以安排在学习完必修5 正、余弦定 理之后，初看比较容易，但下手较难，经正确分析、合理讨论，一般 高中生能想出多种方法，教师可以与学生一起讨论各种模型的可行 性，并加以比较、总结，从而提高建模兴趣与能力作为课堂教学的 延续和补充，教师可以指导学生利用课外时间进行建模实践活动数 学上还有很多游戏，题材丰富，学生喜欢，如算2 4 、抢3 0 、幻方、 数独等，教师还可根据需要提出或修改游戏规则，锻炼学生的思维和 关于高中数学建模教学的研究与实践 能力，形成潜意识里的思想和能力 ( 5 ) 探索跨学科综合应用，培养创新能力和综合素质 现代科技的发展为数学敞开了一扇又一扇科学的大门，很多学科 形成了一种数学化趋势以某一学科为背景、渗透其他学科知识的综 合性应用题具有复杂性、多样性和综合性在解决这类问题时，往往 利用数学建模思想，根据客观条件变化，可以灵活机智寻找到解决方 法和途径在平时的具体教学中，教师可以尝试如下建模方式： 建立方程模型：常见的利息、工程、行程、调配等生活问题中 广泛存在等量关系，一般可建立方程( 组) 求解在复杂的数量关系 中寻找相等关系，设定合适的未知数，列出方程( 组) 建立不等式模型：在市场营销、生产决策和社会生活中有关统 筹安排、最佳决策、最优化等问题，往往可以通过对给出的一些数据 进行分析，转化为相应的不等式问题，再利用不等式的有关知识和方 法予以解决 建立函数模型：当问题隐含着变与变量之间的关系时，可以通 过建立这些变量之间的函数关系式，再利用函数的有关知识方法予以 解决 建立坐标系模型：当两个变量之间韵变化关系具有( 近似) 某 常见函数关系时，物体的轮廓或运行的轨迹具有某种常见规律时，往 往可以通过建立适当的坐标系，转化为方程或函数问题予以解决 建立三角模型：一般对于蕴含三角模型的几何、测量、物理、 天文、航海等许多方面的应用问题，常常转化为三角问题，再运用三 角的知识和方法予以解决 马淑芳新课程背景下数学建模教学的实践与认识【j 】西北职教，2 0 0 8 ( 2 ) 2 1 硕士学位论文 建立几何模型：在剪裁方案、规划设计、边角余料加工、残片 修复等问题中，常常涉及一些几何图形的性质，我们可以建立合适的 几何模型，再利用几何知识和方法予以解决 统计类问题：统计知识在现实生活中有着广泛的应用，要学会 如何收集数据和分析数据，深刻理解用样本去估计整体的基本统计思 想，掌握描述数据分布规律的两类基本统计量，能绘制和分析几种常 见的描述数据分布表格和图形 总之，建立合适的数学模型是解决实际问题时非常关键而又困难 的一步数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，数学建模具有难度 大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的 教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程为了 改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教 学模式，数学建模课程指导思想是：以实践为基础、以学生为中心、 以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作通过教学使学生 了解利用数学理论和方法去分折和解决问题的全过程，提高他们分折 问题和解决问题的能力，提高学生学习数学的兴趣与信心和应用数学 的意识与能力，使他们在以后的工作和生活中能习惯性地用数学的眼 光是看待问题，用数学的方法去解决问题 3 3 中学数学建模教学案例设计 3 3 1 菠萝中的数学教案 教学目标 1 知识与技能： 初步了解数学建模的基本思想和简单方法 韩艳波谈高中数学建模与教学设想【j 】，现代教育科学教学研究2 0 i l ( 3 ) 2 2 关于高中数学建模教学的研究与实践 2 过程与方法： 初步了解使用数学建模方法解决实际问题的一般步骤 3 情感、态度与价值观： ( 1 ) 体验在建模活动中综合运用知识和方法解决实际问题的过 程，增强应用意识； ( 2 ) 激发学生学习数学的兴趣，发展创新意识，提高实践能力 教学重、难点 重点：数学建模思想研究解决实际问题的过程中的建模和解模 难点：把从日常生活中出现的问题或现象“数学化” 教法学法 启发式教学，探究性学习 教学过程 一、生活情境，课题引入 大家都吃过菠萝吗? 大家在市场上买菠萝吃的时候，有没有注意 到摊主把菠萝一般削成什么样子呢? 如果让你削你会怎么削? 最常 见的削法什么? 为什么要这样削呢? 可能削法：横削，纵削，斜削，挖点 图3 4 二、分析问题，抓住本质 2 3 硕士学位论文 摊主这样削菠萝的目的是什么呢? 可能回答( 1 ) 这样削好看( 2 ) 这样削得快( 3 ) 这样削损失的菠萝肉少，吃到的多如果你是摊主或 顾客，你会考虑哪方面? 回答：削完后，得到尽可能多的菠萝肉 “快速且留下尽可能多的菠萝肉”，也就是“快速且尽可能少削 去可吃的菠萝肉”，也就是“使削刀在菠萝上走过的路程尽可能的短” 三、抽象假设，建立模型 图3 5 大家注意观察我们这个已经削去外皮的菠萝，这个菠萝和我们学 过的圆柱体比较相像，菠萝上的籽都是在圆柱体的侧面按行( 或按列) 均匀排列，进一步观察我们还可以发现，菠萝上被削出的螺线有这样 的规律，即上一行的菠萝籽与下一行相邻的菠萝籽连接起来如果我 们将菠萝“打开平铺在桌面上”，就可以得到一个长方形，每颗籽就 是长方形内的点，那些螺线变为了直线 请两位同学测量横线上和纵线上相邻两点之间分别为s 和s ：假 设横线上和总线上相邻两点之间的距离均为j = 生 z 请一位同学数出每一横上有m 个菠萝籽，每一列上有，z 个菠萝籽 四、综合应用，解答模型 关于高中数学建模教学的研究与实践 对角线上相邻两点之间的距离为皂s ，每一条斜线上有2 刀个点， 每条斜线的的长度为压以s ，这样总长度为压m ，z s 如果横削的话，每一条横线长川s ，一共有2 甩条，削去的总长度 为2 m ，l s ； 如果纵削的话，每一条纵线长玎s ，一共有2 m 条，削去的总长度 为2 朋，z s 图3 6 五、解释现实，应用模型 显然2 m 咒s 疡胁且丝尝：0 3 ：3 0 己h l n 3 所以按照斜削的方法削菠萝比横削、纵削都可以留下更多的菠萝 肉，损失的菠萝肉可以减少约3 0 摊主采用了最佳的方法，既节省了削菠萝时间，又让顾客吃到了 更多的菠萝肉 六、归纳小结，能力提高 从菠萝中的数学问题研究过程我们可以总结一种数学建模问题 研究的一般方法为： ( 1 ) 观察分析情境，引入课题； ( 2 ) 合理抽象假设，建立模型； 徐斌艳，l u d 诵g m a t t h 泌，中学生数学建模能力水平的实验分析川，中学数学月刊，2 0 0 7 ( 1 1 ) 2 5 硕士学位论