高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一).doc

来稿时间：2004.9.18 适应范围：数学高分之路email:高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一)慕泽刚 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数f(x)有反函数f-1(x)，若f(x)=f-1(x),则我们称f(x)有不变的反函数，那么下面所给函数中有不变反函数的是( d )a.y=2xb.y=x3c.y=x2d.y=图甲图乙解析：y=2x的反函数为y=x；y=x3的反函数为y=；y=x2没有反函数；y=反函数为y=，故选d.2.设m、p是两个非空集合，若规定：mp=x|xm且xp，则m(mp)等于( b )a.pb.mpc.mpd.m解析：利用韦恩图，图1表示mp，图2表示m(mp)，所以正确答案是（b）.3.设集合i=1，2，3，4，5，a与b是i的子集，若ab=1，2，3，就称集对(a，b)为“好集”，那么所有“好集”的个数( c )a.7b.8c.9d.10解析：由ab=1，2，3，知集合a、b中都必含有1，2，3三个元素，则a=1，2，3或a=1，2，3，4或a=1，2，3，5.b=1，2，3或b=1，2，3，4或b=1，2，3，5.所有“好集”(a，b)的个数为9个，故选c.4.在实数集上定义一个运算“*”，a*b=,则方程lgx*lg(x+3)=的解是( b )a.5b.2c.5或2d.5解析：根据运算的定义，得原方程等价于=，所以lgx(x+3)=1，x2+3x10=0，解得x=5或2，经检验x=2是原方程的解.5.一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式y=x2，值域为1，4的“同族函数”共有( b )a.10个b.9个c.8个d.7个解析：由x2=1或x2=4，得x=1或x=2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、1，1，2、1，1，2、1，1，2，2共有9种，故选b.6.等比数列an中，a1=512，公比q=，用n表示它的前n项之积：n=a1a2a3an，则1，2，中最大的是( b )a.8b.9c.10d.11解析：要使n=a1a2a3an最大，必须an1，an+21且n为奇数，即512()n11，512()n+11，8n10，n=9，故选b.7.对于正数和，其中，定义nm!=(nm)(n2m)(n3m)(nkm)，其中k是满足nkm的最大整数，则= .184!a.b.c.d.解析：184!=(184)(1824)(1834)(1844)=141062，204!=(206)(2026)(2036)=1482，=.8.一组实验数据如下表t1.021.993.014.005.106.12v0.011.504.407.5012.0918.01与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( c )a.v=log2t b.v=-log2t c.v=(t2-1) d.v=2t-2解析：从表中取t=4.00，则在a中v=27.5；在b中v=27.5；在c中v=7.57.5；在d v=67.5.故选c.9.定义a*b、b*c、c*d、d*b分别对应下列图形 那么在下列图形中： 可以表示a*d、a*c的分别是( c )a.(1)、(2)b.(2)、(3)c.(2)、(4)d.(1)、(4)解析：分析已知图，易知a表示竖线，b表示较大正方形，c表示横线，d表示小正方形，则a*d表示的图形(2)，a*c表示的图形是(4).故选d.10.已知函数f(x)=2-x2，g(x)=x.若f(x)*g(x)=minf(x),g(x),那么f(x)*g(x)的最大值是（ d ）a.1b.2c.3d.4解析：f(x)*g(x)是一个分段函数： f(x)*g(x)=.于是，原问题就是：求这个分段函数的最大值。利用求函数最值的方法可以解决问题。通过函数y=2x2与y=x的图象（如图），可知实线部分即为f(x)*g(x)的图象,于是图中点的纵坐标即为所求，易求得xa=1，故选a.11. 设集合m=x|mxm+，n=x|nxn，且m、n都是集合x|0x1的子集，如果ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合mn的“长度”的最小值是( c )a.b.c.d.解析：集合m的“长度”为，集合n的“长度”为，而集合x|0x1的“长度”为1，故mn的“长度”的最小值为+1=，故选c.12.给定an=logn+1(n+2)(nn*)，定义使a1a2a3ak为整数的数k(kn*)叫企盼数，则区间1，2003内的所有企盼数的和m=（ d ）a.4074b.4073c.2025d.2026解析：an=logn+1(n+2)(nn*)，a1a2a3ak=log23log34logk+1(k+2)= log2(k+2)，要使log2(k+2)为正整数，则可设k(n)+2=2n+1，即k(n)=2n+12(nn*)，令12n+122003，1n9(nn*)，则区间1，2003内的所有企盼数的和m=k(n)=(2n+1-2)=(22-2)+(22-2)+ (210-2)=(22+23+210)-29=2026，故选d.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上13.经济学中，定义mf(x)=f(x+1)-f(x)为函数f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利润p(x)=-x3+30x2+1000(x10,25且xn*)，则它的边际函数mp(x)=_-3x2+57x+29(x10,25，且xn*)_.解析：由定义，得mp(x)=p(x+1)p(x)=3(x+1)3+30(x+1)2+1000(-x3+30x2+1000)=-3x2+57x+29.14.若数列an满足：（1）an是递增的；（2）当n5时，sn0；当n5时，sn0；（3）对nn*，有2an+1=a n+2+a n；(4)点n，an在方向向量为(1，2)的直线上.对符符合条件的数列an为 .(写出一个通项公式即可)解析：这是结论开放题，由题知，an是等差数列，且d=2，由s50，s60，解得5a14，故an=+(n1)2，an=+(n1)2，an=2n，an=2n，.15.已知函数f(x)满足：对任意实数x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，且f(x1+x2)= f (x1)f(x2)，写出一个满足上述条件的函数 y=3x （底数大于1的指数函数均可） .解析：由f(x1+x2)= f (x1)f(x2)易想到指数函数具有此性质，又由当x11时,为使函数f(x)= loga(ax2x)在区间2,4上是增函数,需g(x)=ax2x在区间2,4上是增函数,故应满足，解得 a，又a1，所以a1.当0a1时，函数f(x)=loga(ax2x)在区间2,4上是增函数.20.(本小题12分)已知a0，a1，则p：函数y=loga(x+1)在x(0，+)内单调递减；q：抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围.解析：由题意知p与q有且仅有一个为真命题.当0a1时，函数y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减；当a1时，函数y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减；抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)240，解得a或a.(1) 若p正确，q不正确，即函数y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点，(2) 因此a(0，1)(，1(1，)，即，1.(3) 若p不正确，q正确，即函数y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，(4) 因此a(1,+)(0，)(，+)，即(，+)，综上所述，a的取值范围为，1)(，+).21.(本小题12分)对于在区间m,n上有意义的两个函数f(x)和g(x),如果对任意的xm,n,均有|f(x)-g(x)|1,则称f(x)与g(x)在m,n上是接近的，否则称f(x)与g(x)在m,n上是非接近的，现有两个函数f1(x)loga(x-3a)与f2(x）loga(a0,a1),给定区间a+2,a+3.(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上是否是接近的.解析：(1)f1(x)loga(x-3a),xa+2,a+3,有，0a1,f2(x）loga,xa+2,a+3,有，a0,a1,f1(x),f2(x)都有意义，应满足0a1.(2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|,令|f1(x)-f2(x)|11loga(x2-4ax+3a2)1，令g(x)=loga(x2-4ax+3a2)=loga(x-2a)2-a2,易知g(x)在a+2,a+3上递减，g(x)min=lg(a+3)=loga(9-6a),g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a),于是成立的条件是：0a,综上，当0a时，f1(x)与f2(x)在a+2,a+3上是接近的；当a，且a1时，f1(x)与f2(x)是非接近的.22.(本小题14分) 定义：若函数f(x)对于其定义域上的某一点x0，f(x0)= x0，有则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0).(1)当a=1，b=-2，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点a、b的横坐标是函数f(x)的不动点，且a、b两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值.解析：(1)f(x)=x2-x-3，由x2-x-3=x，解得 x=3或-1，所以所求的不动点为-1或3.(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0 由题意，方程恒有两个不等实根，所以=b2-4a(b-1)0，即b2-4ab+4a0恒成立，则=16a2-16a0，故0a1.(3)设