基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现.docVIP

编编 号号 xx 大学 xx 学院 毕毕业业设设计计（论论文文） 题目：题目： 基于基于 burg 算法的谱估计研究及算法的谱估计研究及 其其 matlab 实现实现 机电 系系 电子信息工程 专专业业 学 号： 学生姓名： 指导教师： （职称：讲 师 ） （职称： ） xxxx 年 x 月 xx 日 xx 大学大学 xx 学院本科毕业设计（论文）学院本科毕业设计（论文） 诚诚 信信 承承 诺诺 书书 本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文） 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 是本人在导师的指导下 独立进行研究所取得的成果，其内容除了在毕业设计（论文） 中特别加以标注引用，表示致谢的内容外，本毕业设计（论文） 不包含任何其他个人、集体已发表或撰写的成果作品。 班 级： 学 号： 作者姓名： 年 月 日 i xx 大大学学 xx 学学院院 机机电电 系系 电电子子信信息息工工程程 专专业业 毕毕 业业 设设 计计论论 文文 任任 务务 书书 一、题目及专题：一、题目及专题： 、题目 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 、专题 二、课题来源及选题依据二、课题来源及选题依据 功率谱估计在近 30 年中获得了飞速发展。涉及到信号与系统、 随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等一系列学科，广泛应 用于雷达、声纳、通信、地质、勘探、军事、天文、生物医学工程等众多 领域。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数 据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计 大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分 辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，ar 模型谱估计就 是现代谱估计常用的方法之一。 三、本设计（论文或其他）应达到的要求：三、本设计（论文或其他）应达到的要求： 熟悉谱估计的发展历程； 熟练掌握经典谱估计方法：直接法和间接法、它们之间的关系、 ii 估计质量、以及估计性能比较； 熟练掌握现代谱估计方法：信号建模、ar 模型以及 ar 模型参数 求解的 levinson-durbin 算法和 burg 算法，阶数的确定方法和 原则，稳定性以及对信号建模的讨论； 能够熟练使用 matlab 仿真。针对一个具体的随机信号，分别 采用经典谱估计和现代谱估计方法估计出其功率谱，对经典谱估 计和现代谱估计方法谱估计的分辨率和方差性能作一个综合评价； 熟练使用 matlab 提供的图形用户界面（gui）工具。 四、接受任务学生：四、接受任务学生： 班班 姓名姓名 五、开始及完成日期：五、开始及完成日期： 自自 xxxx 年年 x 月月 xx 日至日至 xxxx 年年 x 月月 xx 日日 六、设计（论文）指导（或顾问）：六、设计（论文）指导（或顾问）： 指导教师指导教师 签名签名 签名签名 教教研研室室主主任任 学科组组长研究所所学科组组长研究所所 长长 签名签名 iii 系主任系主任 签名签名 xxxx 年年 xx 月月 xx 日日 iii 摘摘 要要 在许多工程信号问题中，功率谱的估计是十分重要的，它不仅是了解信号所含有信 息的工具，也是信号内在本质的一种表现形式。谱估计大致可以分为经典谱估计和现代 谱估计两类，经典方法始终无法解决频率分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在 短数据下，这一矛盾尤为突出。这就促进了现代谱估计方法研究的发展。现代谱估计还 可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。基于参数建模的功率谱估计是现代功率谱 估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括 ar 模型、 ma 模型、arma 模型，其中基于 ar 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的 一种方法。 本文首先介绍了现代谱估计的理论基础，接着讨论了经典谱估计的两种算法：周期 图法和自相关法，以及它们的关系，估计质量及估计性能比较。然后较为系统地讨论了 信号建模，ar 模型以及 ar 模型参数求解的 levinson-durbin 算法和 burg 算法，阶数 的确定方法和原则，以及稳定性分析。最后对经典谱估计和现代谱估计的性能进行比较。 理论分析及 matlab 仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假 的谱峰，频率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率 偏移和假峰，并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。 关键词：关键词：功率谱估计；ar 模型；matlab；burg 算法 iv abstract in many project signal problems, power spectral estimation is very important, it is not only the tools of understanding the information signal contains, but also a kind of manifestation of signal intrinsic nature. spectral estimation can be broadly classified into classical power spectral estimation and modern spectral estimation, and classical method always cant solve the contradiction of stability between frequency resolution and spectrum estimation, especially under the short data, the contradiction is particularly prominent. this has contributed to the development of modern spectral method. modern spectral estimation can be also broadly classified into parametric model spectral estimation and non-parametric model spectral estimation. the power spectrum estimation based on parameter modeling is important content of modern power spectral estimation, whose purpose is to improve the frequency resolution of power spectral estimation, which mainly includes ar model, ma model, arma model, in which power spectral estimation based on ar model is the most commonly used method. firstly, the article introduces the basic thoery of modern spectral estimation, after that discusses two algorithms of classical spectral estimation: periodogram method and auto- correlation method, and their relationship, estimated quality and estimated performance comparison. then discuss systemly the signal modeling, ar model and the levinson-durbin algorithm and burg algorithm of ar model parameters solving, the determined methods and principles of order, as well as stability analysis. finally, compare the performance of classical spectral estimation and modern spectral estimation. the theory analysis and matlab simulation results demonstrate that: the power spectrum approached by the classic spectral estimation has many false peaks, and the frequency resolution is very low, while the power spectrum approached by the modern spectral estimation methods is truer, there is no significant frequency deviation and false peak, and it has a high frequency resolution, especially the frequency bandwidth performance is significantly improved. keywords: power spectrum estimation, ar model, matlab, burg algorithm v 目目 录录 1 绪论.1 1.1 功率谱估计概述及研究现状.1 1.1.1 功率谱估计概述1 1.1.2 功率谱估计的研究现状1 1.2 论文结构.2 2 matlab 简介3 2.1 matlab 简介3 2.2 matlab 的特点3 2.3 matlab 的优势4 2.4 matlab 的应用前景5 2.5 gui.5 3 经典谱估计.7 3.1 经典谱估计简介.7 3.2 自相关函数的估计.7 3.2.1 自相关函数的直接估计7 3.2.2 自相关函数的快速计算7 3.3 直接法及 matlab 仿真结果8 3.3.1 直接法理论分析8 3.3.2 直接法的 matlab 仿真结果.9 3.4 间接法及 matlab 仿真结果11 3.4.1 间接法理论分析11 3.4.2 间接法的 matlab 仿真结果.11 3.5 直接法和间接法的关系.13 3.6 直接法和间接法估计的质量.15 3.6.1 m=n-1 时的估计质量 .15 3.6.2 mp 时，的秩最大为 p，即 rank()=p。若 x(n)是由 p 个实正弦所组成， m r m r 则的秩最大为 2p。 m r 结论三：如果 x(n)由 p 个正弦组成（实的或复的） ，则 x(n)是完全可以预测的，即预 测误差等于零。 结论二指出了何时奇异、何时正定的条件，它和结论三一起都揭示了正弦信号的 1p r 某些性质。特别要说明的是，用 ar 模型对纯正弦信号建模是不合适的，可能会出现自相 xx 大学学士学位论文 24 关阵为奇异的情况。但是，在信号处理中经常要用正弦信号作为试验信号以检验某个算法 或系统的性能。为克服自相关阵奇异的情况，最常用的方法是加上白噪声，这样 不会等于零。)det( 1p r 4.6 关于信号建模问题的讨论关于信号建模问题的讨论 4.6.1 关于信号建模的本质关于信号建模的本质 本章第 2 节谈到了对信号建立参数模型的思路，其中第一点是：“假定所研究的过 程 x(n)是由一个输入序列 u(n)激励一个线性系统 h(z)的输出” ，在(4.8)式中，也确实是把 模型的输出看作是 x(n)。这样，任意地给定一个平稳过程 x(n)，似乎它均可由一个白噪序 列 u(n)激励一个线性系统 h(z)来精确地产生。显然，这种概念是不确切的。 分析(4.8)式，把模型的输出看作 x(n)后，最终导出的是(4.10)式的 yule-walker 方程， 也即用 x(n)的自相关函数建立起模型系统与 x(n)的内在联系，并由自相关函数求解出这些 系数，从而达到功率谱估计的目的。 现给定所要研究的过程 x(n)，利用其自相关函数建立起 yule-walker 方程并得)(mrx 到模型参数, 及后，假定模型的输出为。 1 a 2 a p a 2 )( nx 前几节详细证明了 ar 模型和 x(n)之间的自相关函数的匹配性质及功率谱匹配性质。 因此对信号 x(n)建立参数模型，并不是要求模型的输出在时域等于 x(n)，而是要求它)( nx 们在某一阶次上的统计特征相同。若用 x(n)的自相关函数建立 x(n)和模型参数的关系（即 建模） ，那么称该模型是在二阶统计意义上的建模，并要求和 x(n)在自相关函数和功)( nx 率谱这些二阶统计量上相匹配。为了进一步说明“匹配”的特点，需要给出“准确建模” 的定义：设平稳随机过程 x(n)存在阶模型，使得模型的输出在阶统计特性上和)( nx x(n)的同阶统计特性相一致，则把 x(n)称为在阶统计意义上可准确建模的随机过程，而 把该模型称作在阶统计意义上的准确模型。 8 显然，若=2，由前述的自相关函数和功率谱的匹配性质，平稳过程 x(n)在二阶统计 意义上总可准确建模，ar 模型既是其准确模型之一。实际上，由(4-12)式，有 (4.12)*)/1 (*)( *)/1 (*)( *)/1 (*)( )( 2 2 zhzh zaza zbzb zpx 因此，对给定的功率谱作谱分解，取单位圆内的极点赋于 h(z)，即得到模型的)(zpx 转移函数。由于功率谱失去了相位信息，因此 x(n)在二阶统计意义上的准确模型有无穷多 个，它们的幅频响应都一样，而相频响应可任意赋值。记 )()()(),( 2121 mnxmnxnxemmrx 为平稳过程 x(n)的三阶相关。若 x(n)的均值为零，则其三阶相关等于其三阶累计量 (cumulant)。x(n)的三阶谱定义为三阶累计量的二维傅里叶变换，),( 21 mmcx),( 21 mmcx 9 即 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 25 12 )(exp),( )2( 1 ),( 221121 2 21 mm xx mmjmmcp 统计阶次大于 2 的谱称为多谱(polyspectra),三阶谱又称“双谱” （二阶谱即是功率谱） 。若 用三阶累计量和双谱对 x(n)建模，那么，该模型是在三阶统计意义),( 21 mmcx),( 21 x p 上的模型。记激励白噪声的三阶统计特征为，那么，模型输出的双谱为 3 )( nx )()()(),( 2121 3 21 jhjhjhpx 在三阶统计意义上，并不是所有的平稳过程都可以准确建模，也即有 h(z)存在，使得 和分别和于相匹配。),( 21 x p),( 21 mmcx),( 21 x p),( 21 mmcx 4.6.2 关于信号建模的若干基本问题的讨论关于信号建模的若干基本问题的讨论 第 2 节指出，平稳信号通过一个线性移不变系统后总有(4.1)式的输入、输出关系。此 说法不甚严密。实际上，只有当 x(n)的功率谱满足 paley-wiener 条件)( j x ep (4.13) dep j x )(ln 时(4.1)式才成立。满足此式的功率谱在单位圆上必然无零点，也即不能是由)(zpx)( j x ep 纯正弦信号所形成的线谱。等效地说，由纯正弦过程所组成的平稳过程不具有(4.1)式的形 式，因此，也不宜于建立 ar，ma 或 arma 模型。这和前面的讨论是一致的。事实上， 若令(4-1)式中的 u(n)=0，则 p k k knxanx 1 )()( 该式说明，x(n)可由自身的过去 p 个值无误差地预测。这样的过程称为“可预测 (predictable)过程” ，或“类确定(deterministic-like)过程” 。 若 x(n)的功率谱满足(4-13)式则称 x(n)为“规则过程” 。又由于 x(n)可表为 u(n)的线性 组合，所以又称“线性过程” 。由上所述，规则过程的功率谱应是的连续函数，称之为 连续谱。 由(4.4)式，规则过程的功率谱一般可表示为两个有理式之比，所以又称这样的功率谱 为有理谱。可以证明，对任意平稳过程，若其功率谱为有理谱，则该有理谱可作(4.12)式 的谱分解，且由此分解所得到的 h(z)是最小相位的，因此，h(z)有逆系统。不言而喻，纯 正弦过程的线谱不能作(4-12)的分解。 设 h(z)=1/a(z),其逆系统。若令 x(n)是白噪声激励 h(z)的 p k k kinv zazazh 1 1)()( 输出，再将 x(n)通过 a(z)，由于 h(z)=1，所以 a(z)的输出应是 u(n)。由前面的讨)(zhinv 论可知，x(n)应是一规则过程，a(z)的输出 u(n)又称“新息过程” 。显然，若 h(z)可实时 滤波，则 x(n)和 u(n)之间可实时地相互“变换” ，且二者保持了同样的二阶统计特征。由 于 u(n)在不同的时刻是不相关的，所以是最简单的过程，而 x(n)在不同时刻的取值是相关 的，当然要比 u(n)复杂。正因为 u(n)在不同时刻的取值是不相关的，因此，任一时刻的 xx 大学学士学位论文 26 取值都会带来新的信息，因此称之为“新息过程” 。规则过程和新息过程的这一互相变换 的关系有助于我们理解 ar 模型和线性预测的关系。 上面的讨论引导出平稳随机信号中的一个基本定理，即 word 分解定理。该定理指出： 任一平稳过程 x(n)都可作如下的分解： )()()( 21 nxnxnx 式中是一规则过程，是一纯正弦过程，二者是不相关的。由前述的讨论，)( 1 nx)( 2 nx 可表为一个无穷阶的 ma 过程，即)( 1 nx (4.14) 1 1 )(1)( k k knubnx 式中，且 u(n)和也是不相关的。 1 2 k k b)( 1 nx 上式的 wold 分解定理可等效为：任一宽平稳过程的功率谱都可表为一连续谱和一线 谱的和，即 )()()()()( 2 2 2 21k k k j u j x j x j x aebepepep 由 ar 模型的定义，(4.14)式的也可由白噪声激励一个有限阶次的 ar 模型来产)( 1 nx 生，即 (4.15) p k k nuknxanx 1 11 )()()( 只有保证(4.15)式的 h(z)和(4.14)式的 b(z)有着相同的单位抽样响应，即 kbkhbhbh k ,)(,)2(,) 1 ( 21 那么，这两个系统所产生的将是相同的。这就是说，对平稳过程 x(n)中的规则过程)( 1 nx ，它的无穷阶的 ma 模型可用一个有限阶 ar 模型来等效。换句话说，一个有限阶)( 1 nx 的 ar 模型可近似一个高阶的 ma 模型，反之亦然。同理可以引申出，一个有限阶的 arma 模型也可用一个阶次足够高的 ar 模型或 ma 模型来近似。ar，ma 及 arma 模型之间这一互相等效的内在联系为 ma 模型和 arma 模型的系数的求解提供了一个有 力的理论工具。 4.7 levinson-durbin 算法及算法及 matlab 仿真仿真 4.7.1 levinson-durbin 算法的理论分析算法的理论分析 定义为 p 阶 ar 模型在阶次为 m 时的第 k 个系数，)(kampmmk, 2 , 1, 2 , 1 为 m 阶时的前向预测的最小误差功率。由(4.11)式，当 m=1 时，有 m 0) 1 ( 1 )0() 1 ( ) 1 ()0( 1 1 arr rr xx xx 解出 (4.16)0(/ ) 1 () 1 ( 1xx rra (4.17) 1 (1)0()0(/ ) 1 ()0( 2 1 2 1 arrrr xxxx 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 27 定义初始条件 )0( 0x r 那么 ) 1 (1 2 101 a 再定义第 m 阶时的第 m 个系数，即为，称为反射系数，那么，由 toeplitz 矩)(mam m k m k 阵的性质，可得到如下 levinson-durbin 递推算法： (4.18) 1 1 1 1 )()()( mx m k xmm mrkmrkak (4.19)()()( 11 kmakkaka mmmm (4.20) 2 11mmm k levinson-durbin 算法从低阶开始递推，直到阶次 p，给出了在每一个阶次时的所有参数， 即。这一特点特别有利于我们选择 ar 模型的合适的阶pmmaaa mmm , 2 , 1),(,),2(),1 ( 次。 由于线性预测的最小均方误差总是大于零的，由(4.20)式，必有 1 m k 如果=1，那么递推应该停止。由反射系数的这一特点，我们可得出预测误差功率的一 m k 个很重要的性质： 011 pp 由上面的讨论可知，对一个 ar(p)过程 x(n)，我们可等效地用三组参数来表示它： p+1 个自相关函数，；)(,),1 (),0(prrr xxx p+1 个 ar 模型参数，（或） ； 2 ),(,),2(),1 (paaa ppp p 反射系数，及。 p kkk, 21 )0( x r 这三组参数可以互相地导出。 (4.16)(4.20)式的递推导是建立在 x(n)的前 p+1 个自相关函数已知的基础上的，在实 际工作中，我们往往并不能精确地知道 x(n)的自相关函数，而知道的仅仅是 n 点数据， 即,，为此，我们可以：)(nxn1, 1 , 0nn 首先由估计 x(n)的自相关函数，得；)(nxnpmmrx, 1 , 0),( 用代替上述递推算法中的，重新求解 yule-walker 方程，这时求出的)( mrx)(mrx ar 模型是真实参数的估计值，即； pppp paaa),(,),2(),1 ( 将这些参数带入(4.7)式，得到 x(n)的功率谱的估计，即)( j x ep 2 1 1 )( p k kj k p j ar ea ep 对在单位圆上均匀抽样，设分点为 n 个，则得到离散谱 xx 大学学士学位论文 28 2 1 0 2 2 1 2 2 1 )( n k lk n j k p p k lk n j k p l n j ar eaea ep 式中。这样，上式可用 fft 快速计算。0, 1 110 np aaa 4.7.2 levinson-durbin 算法的算法的 matlab 仿真仿真 levinson-durbin 算法的 matlab 仿真程序如附录：（三）levinson-durbin 算法所 示。 (1) 当阶数=10 时得到的仿真结果如图 4.1 所示。 020406080100 -40 -30 -20 -10 0 10 功 功 (hz) 功 功 功 功 功 (db/hz) levinson-durbin功 功 (功 功 =10) 图 4.1 阶数=10 时 levinson-durbin 算法得到的仿真结果 (2) 当阶数=15 时得到的仿真结果如图 4.2 所示。 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 29 020406080100 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 功 功 (hz) 功 功 功 功 功 (db/hz) levinson-durbin功 功 (功 功 =10) 图 4.2 阶数=15 时 levinson-durbin 算法得到的仿真结果 仿真结果：levinson-durbin 算法得到的谱线波动性小，能很好的分辨出两个频率值， 而且没有出现假峰现象。当增大阶数时得到的结果跟阶数小的结果不相上下，并没有增大 频率分辨率，反而增大了计算次数。 4.8 burg 算法及算法及 matlab 仿真仿真 4.8.1 burg 算法的理论分析算法的理论分析 burg 算法是较早提出的建立在数据基础上的 ar 系数求解的有效算法。其特点是： 令前后向预测误差功率之和 (4.21) bffb 2 1 为最小。 和的求和范围从 p 至 n-1，即，前后都不加窗，这时： f b )(ne f )(neb (4.22) 1 2 )( 1 n pn f p f p ne pn (4.23) 1 2 )( 1 n pn b p b p ne pn 在上式中，当阶次 m 由 1 至 p 时，下式的递推关系，即)(ne f )(neb (4.24) ) 1()()( 11 neknene b mm f m f m (4.25)() 1()( 11 neknene f mm b m b m 且 (4.26) )()()( 00 nxnene bf 式中。pm, 2 , 1 这样，(4.21)式的仅是反射系数的函数。在阶次 m 时，令相对 fb pmkm, 2 , 1, fb m 为最小，即可估计出反射系数。 m k xx 大学学士学位论文 30 将(4.22)、(4.23)及(4.24)、(4.25)、(4.26)式代入(4.21)式，令，可得使0 m fb k 为最小的为 fb m k (4.27) 1 2 1 1 2 1 1 11 ) 1()( ) 1()(2 n mn b m n mn f m n mn b m f m m nene nene k 式中。按此式估计出的满足。pm, 2 , 1 m k 1 m k 按上式估计出后，在阶次 m 时的 ar 模型系数仍然由 levinson 算法递推求出 m k (4.28) )( )()( 11 kmakkaka mmmm mm kma )( (4.29) 2 1 1 mmm k 式中。上面三式是假定在第(m-1)阶时的 ar 参数已求出。1, 2 , 1mk burg 算法的递推步骤是： 由初始条件，再由(4.27)式求出；)()()( 00 nxnene bf 1 k 由得 m=1 时的参数：； 1 0 2 )( 1 )0( n n x nx n r)0() 1 (, ) 1 ( 2 1111x rkka 由和(4.24)、(4.25)、(4.26)式求出，再由(4.27)式估计； 1 k)(),( 11 nene bf 2 k 依照(4.28)、(4.29)式的 levinson 递推关系，求出 m=2 时的及。)2(),1 ( 22 aa 2 重复上述过程，直到 m=p，求出了所有阶次时的 ar 参数。 上述递推过程是建立在数据基础上的，避开了先估计自相关函数的这一步。 若定义(4.27)式的分母为： 1 2 1 1 2 1 ) 1()( n mn b m n mn f mm neneden 可以证明可以由和递推计算： m den 1m den 1 m k 2 1 2 11 2 1 ) 1()( 1 nemedenkden b m f mmmm 这样，可以有效地提高计算速度。 4.8.2 burg 算法的算法的 matlab 仿真仿真 burg算法的 matlab 仿真程序如附录：（四）burg算法所示。 (1)当阶数=10 时得到的仿真结果如图 4.3 所示。 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 31 020406080100 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 功 功 (hz) 功 功 功 功 功 (db/hz) burg功 功 (功 功 =10) 图 4.3 阶数=10 时 burg 算法得到的仿真结果 (2)当阶数=15 时得到的仿真结果如图 4.4 所示。 020406080100 -80 -60 -40 -20 0 20 功 功 (hz) 功 功 功 功 功 (db/hz) burg功 功 (功 功 =10) 图 4.4 阶数=15 时 burg 算法得到的仿真结果 仿真结果：burg 算法得到的谱线分辨率很高，谱的波动性不大，能清晰的分辨出 两个频率值，且没有出现假峰。从图中可以看出在两个阶数不同的情况下都能很好的分 辨出两个频率的峰值，说明增加阶数并没有增大频率分辨率，而增加的阶数反而使计算 量加大。相比较 levinson-durbin 算法而言，burg 算法因为没有使用自相关估计法，结 果与真实值更加接近，而且可以进行外推，所以 burg 算法要比 levinson-durbin 算法要 好。 xx 大学学士学位论文 32 4.9 经典谱估计与现代谱估计性能的比较经典谱估计与现代谱估计性能的比较 4.9.1 经典谱估计与现代谱估计性能比较的理论分析经典谱估计与现代谱估计性能比较的理论分析 综合上述内容，我们对经典谱估计与现代谱估计的性能进行比较，比较后会发现： 一、经典谱估计方法的方差性能较差，不是的一致估计，且 n 增大使谱曲线起)(p 伏加剧。方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的求均值和求极限的运算。 二、经典谱估计方法的分辨率较低，其分辨率反比于有效信号的长度。而现代谱估 计对于给定的 n 点的有限长度，虽然其估计出的自相关函数长度也是有限的，但是现代 谱估计的一些方法隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能利用的长度超过给定的序 列长度，因而其谱的分辨率得到提高。 10 三、将图(3.1)和图(4.1)进行比较，即将经典谱估计法和现代谱估计法的 matlab 仿 真结果进行比较，可得出，ar 谱比周期图谱平滑得多。 4.9.2 经典谱估计与现代谱估计性能比较的经典谱估计与现代谱估计性能比较的 matlab 仿真仿真 在这里我们可以通过在相同频率下经典谱估计和现代谱估计的两种算法做个对比， 通过 gui 界面设置把经典谱估计的两种算法：直接法和间接法，还有现代谱估计的两种 算法：levinson-durbin 算法和 burg 算法得到的仿真结果放在一起比较，取两个频率值 f1=20，f2=40 时进行比较。得到的仿真结果如图 4.5 所示(程序见附录(五)gui 界面)： gui 的 matlab 仿真程序如附录：（五）gui 所示。 gui 的 matlab 仿真结果如图 4.5 所示。 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 33 图 4.5 gui 的 matlab 的仿真结果 仿真结果比较可得：四种算法都能分辨出两个频率值，可以明显看出直接法和间接 法得到的仿真结果出现了大量假峰，且谱的波动性较大，而 levinson-durbin 算法和 burg 算法得到的仿真结果很平滑，没有出现假峰现象，能清楚的分辨出两个频率点的 值，分辨率远比经典谱估计要好，所以从仿真的结果也可以看出现代谱估计性能比经典 谱估计好。 xx 大学学士学位论文 34 5 总结与总结与展望展望 5.1 总结总结 本文首先介绍了现代谱估计的理论基础，接着讨论了经典谱估计的两种算法：周期 图法和自相关法，以及它们的关系，估计质量及估计性能比较；然后较为系统地讨论了 信号建模，ar 模型以及 ar 模型参数求解的 levinson-durbin 算法和 burg 算法，阶数 的确定方法和原则，以及稳定性分析；最后对经典谱估计和现代谱估计的性能进行比较。 理论分析表明：由于经典谱估计中将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数 据加窗，导致其分辨率降低。另外，功率谱密度原始定义中既无求均值又无求极限，所 以使得经典谱估计方法的方差性能比较差，尤其是在数据纪录很短的情况下，这些问题 更为突出。而现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知假设为而零，而是先将信号的 观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测 区以外的数据假设问题，因而其谱的分辨率得到提高。可以看出现代谱估计性能优于经 典谱估计。 11 matlab 仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假的谱峰，频 率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率偏移和假峰， 并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。 5.2 展望展望 参数建模谱估计方法是现代谱估计的重要内容，ar 模型谱估计隐含着数据和自相关 函数的外推，其长度可能超过给定的长度，分辨率不受信源信号长度的限制，所以现代 谱估计研究主要是用基于 ar 模型的方法估计功率谱，这是经典谱估计无法做到的。从 matlab 仿真结果可以看出 levinson-doubin 的 ar 模型功率谱曲线基本可以区分间隔比 较远的频率点，不会出现假峰现象，而且 levinson-durbin 递推算法估计出的时频分布相 比之下性能优越于其他谱估计方法。但是对于间距比较近的频率点的分辨率和检出能力 不是很好。这时就需要提高 ar 模型的阶次，burg 算法中的功率谱曲线的分辨率要明显 好于 levinson-durbin 算法，在 ar 模型阶次比较低的情况下也能分辨出间距比较近的频 率，得到的谱线也比较光滑。且在谱估计分辨率高阶情况下没有频率分量的区域比较平 伏。但是若模型阶次选得太低，得到的谱太平滑，可能反映不出谱峰；若选得过大，可 能会出现虚假的峰值，也就是说谱估计的质量要受到模型阶次的影响，这是 ar 模型谱估 计方法的一个不足之处。 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 35 致致 谢谢 我非常感谢我的指导老师 xxx 老师，他科学严谨的态度，精益求精的工作作风深深 地感染和激励着我，并给予我无尽的启迪。设计过程中，我遇到了不少挫折，可每次我 都在顾老师的耐心教导和提示下克服挫折，这使我学到一些以前并没有接触过的知识， 扩大了知识面，并使我的自学能力有了进一步的提高。正是他的亲切关怀和悉心教导， 使我能够顺利地完成这次毕业设计。 我还要感谢那些帮助过我的同学，在我的论文写作过程中，他们提出了很多建设性 意见，并给了我很多启发。 感谢江南大学太湖学院的全体领导和老师，正是他们让我的知识得到了拓宽，也为 我以后的人生道路树立了榜样。 最后，我要衷心地感谢我的父母，是你们在我最困难的时候默默地支持我，鼓励我， 给予我勇敢面对困难的决心和勇气，让我能够顺利地完成学业。 xx 大学学士学位论文 36 参考文献参考文献 1 宋宁,关华.经典功率谱估计及其仿真j.现代电子技术,2008 年,第 11 期:159-161, 164. 2 姚文俊.自相关法和 burg 法在 ar 模型功率谱估计中的仿真研究j.计算机与数字工程,2007 年 10 期,第 35 卷:32-34. 3 刘瑞桢.matlab 简介j.电脑编程技巧与维护,1997,7:48-50. 4 姚天任,孙洪.现代数字信号处理.武汉:华中理工大学出版社,1999. 5 胡广书.数字信号处理-理论,法与实现,清华大学出版社,1997. 6 tretter s a. introduction to discrete-time signal processing. new york:john wiley and sons, 1976. 7 paolo brandimarte numerical methods in finance and economics: a matlab-based introductionm. wiley-interscience, 2006: 45- 72. 8 王俊峰.高阶统计量及其在脑电中应用的研究.清华大学硕士论文,1995. 9 nikias c l higher-order spectra analysis. e72nglewood cliffs, nj:prentice hall, 1993. 10 唐辉,郭东敏,权建锋.功率谱分析方法在引信系统中的应用研究j.探测与控制学报,2005 年 3 月,第 27 卷第 1 期:54-57. 11 龙昌国,罗一新.功率谱估计在超声波桩检中的应用研究j.科学技术与工程,2006(5): 1-2. 基于 burg 算法的谱估计研究及其 matlab 实现 37 xx 大学学士学位论文 38 附附 录录 (一) 直接法（周期图法） %生成信号 xn f1=20；f2=40; f=f1；f2； a=1 2； fs=3*max(f1,f2)； % 取样频率 n=0:1/fs:1； x=a*sin(2*pi*f*n)； %生成噪声 n 和被污染的信号 xn randn(state,0)； n=0.1*randn(size(n)； xn=x+n； %计算序列的 dft nfft=512； xk=fft(xn,nfft)； %计算序列的 psd pxx=abs(xk)