与数列有关的不定方程的整数解问题初探.doc

与数列有关的不定方程的整数解问题初探 林伟民 （江苏省丹阳市第五中学 212300）- 5 -数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位。2008年高考江苏卷第19题则以数列为载体，综合运用数列与不定方程知识解决问题，使数列与不定方程的整数解问题成为一个新的热点。这类问题对数学思维能力和探索能力提出了更高的要求，因此在近年来的各省市高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜。对于一般的不定方程，通常是没有统一的解法，况且有些不定方程我们还无法判别它是否存在整数解，故在这里对于一般不定方程的整数解的求法不作具体讨论。本文着重对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨。1.分类逐一探讨，道尽“不定”悬念在不具备直接求未知数的条件时，利用分类讨论的方法对可能的情况进行逐一讨论，最终求得未知数的值， 是解决数列中不定方程问题的常用策略。例1已知正整数不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的的个数是 。【分析】设连续正整数的首项为，项数为，首项为的连续个正整数之和为，则：，等式中均未知，可看作不定方程，由题设条件显然有、，且，考虑先运用个正整数的和不超过2000这个条件，缩小或的探求范围。【解】，得,解得，故最多可取三个值，下面依次进行讨论：（1）当时，解得，或2或3时，或1890或1950；（2）当时，可得，或2时，或；（3）当时，可得,.所以可取6个值：1830，1890，1950，1891，1952，1953.【点评】本题先利用不等关系缩小了未知数的范围，然后对所有可能的情形逐一进行了探讨，揭开了“不定”的神秘面纱，道尽了“不定”的悬念。2.熟用数论常识，化解“不定”难点2.1利用数或式的分解先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积（多项式分解为若干个因式的乘积），再利用奇偶性进行讨论。例2由连续正整数组成的数列之和为1000，试求出所有这样的数列。【分析】设数列的首项为，共有项，由数列项之和为1000得如下关于和的不定方程：，可考虑先将1000分解为质因数的乘积，再对左边的数进行奇偶性讨论。【解】将不定方程化为：因为是个奇数，故与的奇偶性相反，由上式知，只属于与中的一个.又因为，从而的值只能为1,5,.这里不能取,否则=相矛盾.将与的可能的取值列表如下：1510001982855由上表可知，所求数列共由3个：时,数列为198，199，200，201，202；时,数列为28，29，30，201，52； 时,数列为55，56，57，70.【点评】此题为比较典型的二元不定方程，其解法也是解不定方程的典型解法，先将右边的数分解为质因数的乘积，再利用左边两个数奇偶性相反且具有确定的大小关系的条件进行分类讨论求解。2.2利用整除的性质由于构成不定方程的数列中的元素均为整数，可利用整除的性质求整数解。例3已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数)若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，对最小的t试求、的值 【分析】由于数列和中的所有项均为整数，在利用条件得出不定方程后，可用数的整除性求解；而不等式条件则可用来夹逼出整数解。【解】由得：，由得：；由得：，而，即：，从而得：，当时，不合题意，故舍去，所以满足条件的 又，故，即： 若，则，不合题意； 若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为，此时或或12. 【点评】由于均为整数，对等式的整除性讨论是本题的关键，而恰是上述整除性分析成功化解了“不定”的难点。3.妙用不等关系，缩小“不定”空间不定方程的整数解较难确定时，可利用不等式前后夹逼得到整数解。例4各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项。【分析】此等差数列的首项和项数均未知，要确定的最大值，只能利用首项的平方与其余各项之和不超过100这个不等式寻机缩小的范围。【解】设是公差为4的等差数列，则（*）当且仅当时，至少存在一个实数满足上面的不等式。因为故.例如：时，故能取到8.4.活用函数工具，实现“不定”转变 关于数列的不定方程的两边均可以看做一个以某变量为主元的函数，通过函数工具，分别研究这两个函数的性质，从而实现“方程”到“函数”的转变。例5数列中,（）求数列的通项公式；（）当为某等差数列的第1项，第项，第+7项，且，求与；【解析】（）过程略，结论为: （）当时，则该等差数列的公差为，即 又，所以，即 和两个等式均为不定方程，其中的和均为整数，可对的取值进行估计。由知，为整数或分母为7的既约分数；由知，为整数或分母为2的既约分数，由于要同时满足和，从而必为整数。由知，结合得，所以只能取7，故， 又由得，下面讨论关于的方程有没有整数解。设则因为，于是当时，从而，在上单调递增.则由，知在上无解.又，或.综上所述,当,且或时满足条件。数列与不定方程（函数或不等式）的交汇使得高考压轴题变化多样，精彩纷呈，解法也有很大的灵活性，以上仅列举了几种常用的探求方法，具体问题还需具体分析，根据题设条件灵活处理。本文发表在苏州大学中学数学月刊2010年第10期我的大学爱情观1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力