数学与应用数学毕业论文（设计）-中学数学中的化归方法.doc

本科毕业论文（设计）题目中学数学中的化归方法学生姓名学 号系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学06本2指导教师职 称副教授单位百色学院辅导教师职 称副教授单位百色学院完成日期2010年5月28日材 料 目 录百色学院本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）百色学院本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）百色学院本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用）论文：中学数学中的化归方法百色学院本科毕业论文（设计）诚信保证书百色学院本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）题目名称 中学数学中的化归方法 学生姓名所学专业数学与应用数学班 级数应本06（2）班指导教师姓名所学专业数学职 称副教授完成期限 2010年5月28日1. 毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标化归方法是一个应用十分广泛的数学思想方法，本文围绕着化归的含义，化归要遵循和谐化原则，简单化原则,直观化原则,特殊化原则等;化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识,利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力2.毕业论文（设计）基本要求论文能力要求：训练学生搜集资料、查阅资料、整合资料的能力；训练学生专业写作的能力；训练学生适当的所学运用知识的能力。论文格式要求：论文撰写格式符合规范，结构严谨，逻辑性强，语言准确，图表完整论文内容要求：对写作的内容要有深入的了解，对论文所涉及的相关知识有一定的了解论文写作态度要求：踏踏实实、勤奋、努力地阅读资料，认认真真地独立写作3.毕业论文（设计）进度安排1. 2009.10.20-2010.2.28 查阅资料，收集整理资料2. 2010.3.1-2010.3.30 撰写论文写作提纲，并确定论文主题框架 3. 2010.4.1-2010.4.30 撰写论文。并提交论文初稿 4.2010.5.1-2010.5.25 修改论文初稿，并最终定稿 指导教师签名： 黄涤新 2010 年 5 月 27 日百色学院本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）学号学生姓名系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学指导教师职称副教授论文（设计）题目中学数学中的化归方法1. 本论题国内外研究动态及研究意义：研究动态：1.董香梅 徐娟珍在化归方法在数学中的应用把待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，并通过例子来说明化归方法的应用。2.崔瑜 孙悦在化归方法在数学中的应用举例了几种常见的化归方法，并用例子来说明总结化归方法的几种转化原则。3.张泰明 在浅论化归思想方法及其在数学教学中的应用本文侧重于对于化归方法的教学论述,并且举例说明简单化原则、熟悉化原则、具体化原则、和谐化原则等化归方法在数学学习中的应用。4.李兴萍 在归思想方法在数学解题中的应用阐述数学有许多灵活的解法，化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一，并对此方法进行论述、归纳、总结，来解决一些数学的实际问题，来帮助学生更好的学习。5. 赵建雄 在浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用中把未知问题转化为已知问题,把陌生问题转化为熟悉问题、把繁杂问题转化为简单问题。并说明转化,不是无目的活动,问题的内部结构和相互之间的联系,决定了处理这一问题的方式、方法。也充分揭示问题间的内部联系、分析问题、创造条件、实现转化是化归的关键。6.逻辑学之父亚里士多德在工具论中阐述化归方法是一种逻辑思想，它借助逻辑这个工具将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理。研究意义：化归方法是数学解决问题的一般方法,是被广泛使用着的一种用来研究数学问题,解决数学问题的重要方法,是中学数学基本思想方法之一。化归要遵循和谐化原则，简单化原则,直观化原则,特殊化原则等;化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识,利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。事物的普遍联系和矛盾的对立统一,相互转化性为化归方法提供了哲学基础,数学内部的逻辑联系为化归提供了可能。化归思想方法把未知问题化归为已知问题、把复杂问题化归为简单问题、把非常规问题化归为常规问题，从而使得问题获得解决的。学生有了化归的思想，就能从更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题：（1）化归方法的含义（2）化归方法的解题原则（3）化归方法的应用（4）化归方法的局限性及教学意义3.毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施：1）准备材料及积累阶段（2010年1月202010年2月2）本阶段的主要任务是收集和学习相关的参考文献资料。主要研究化归方法在教学中的应用及意义,以化归方法作为关键字搜索资料.（2）分析材料及整合阶段（2010年2月3日2010年4月2日）该阶段的主要工作就是以本研究的目标为向导，结合论文的结构框架及问题提纲，对前一阶段所收集到的材料进行分析、筛选和整合归类，初步构思论文的整体思路。并上交开题报告。（3）建立论文构思及定初稿阶段（2010年4月82010年5月5）本阶段的首要任务是完成论文的皱形，并进一步充实资料，与指导老师一起讨论内容，书写中期自检表。利用前面两阶段的材料精华，结合自己的构思把初稿定下来。（4）修改论文及完成阶段（2010年5月52010年5月15）书写论文，并交第一稿。（5）进一步修改，完成阶段（2010年5月15日-2010年5月25）根据指导老师的修改，进一步完善。（6）收尾工作，打印装订（2010年5月26-2010年6月3）4.主要参考文献：1 崔瑜.孙悦.化归方法在数学问题中的应用j，解题技巧与方法，2009,(6).2 谢锦同. 初中数学“化归”方法的活用j,中国科教创新导刊，2010,(1).3 董香梅. 徐娟珍,化归方法在数学中的应用j,江苏常州技师学院，2008(1).4 张泰明. 浅论化归思想方法及其在数学教学中的应用j,科技资讯，2007(10).5李兴萍. 化归思想方法在数学解题中的应用j,甘肃兰州，2009,(10).6叶立军.化归思维在数学解题中的应用及其教学对策j,杭州师范学院学报 2003,(4).7 赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用j,甘肃科技纵横，2007,(6).8王子兴数学方法论问题解决的理论a.上海：中南大学出版社，1999,(9)是否可以进入论文（设计）研究：指导教师签名：年 月 日是否可以进入论文（设计）研究：系主任签名：年 月 日百色学院本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用）系 名数学与计算机信息工程系年 级06级专 业数学与应用数学本人投入的时间和精力每周平均工作 10 小时，出勤情况：较好（ ）、一般（ ）、差（ ）。影响时间投入的原因：找工作（ ）、自身水平（ ）、其他原因 教育实习 。指导教师的投入指导教师每周指导 2 次，大约 10 小时；指导形式：网络（ ）、电话（ ）、面对面（ ）、其他 ；指导效果： 好（ ）、 较好（ ）、一般（ ）、 差（ ）。毕业论文（设计）工作情况是否能按任务书的“进程安排”完成工作：是（ ）、否（ ），已完成内容占全部工作 50 。你的论题是：自选（ ）、专业安排（ ）、跨专业（ ）。论题是否结合专业（是）、难度（适当）、工作量（一般）。自己对毕业设计（论文）文件规范的学习情况：已了解（ ）、部分了解（）、不清楚（ ）。条件保障试验设备和器材是否得到保证：是（ ）、否（ ）。学校提供的图书资料是否满足需要：是（ ）、一般（ ）、否（ ）。学校计算机上机条件：好（ ）、较好（ ）、不好（ ）；约需 2 机时。经费来源：学校（ ）、个人（ ）、尚无需要（ ）。存在问题及整改思路教育实习没有充足的时间准备论文，但基本框架已经完成。 学生签名：陈业年 2010 年 3 月 18 日 指导教师签名： 黄涤新 2010 年 3 月 18 日目录引言21 化归方法的含义21.1“化归”在代数应用的体现21.2“化归”在几何应用的体现31.3“化归”与其他方法的有效结合42 化归方法的基本原则42.1和谐化原则42.2简单化原则52.3直观化原则62.4特殊化原则73 化归方法在教学中的应用73.1化未知为已知73.2化数为形83.3化实际问题为数学问题9总结10致谢12参考文献13中学数学中的化归方法数学与应用数学 指导老师 黄涤新摘要 化归方法是数学解决问题的一般方法,是被广泛使用着的一种用来研究数学问题,解决数学问题的重要方法,是中学数学基本思想方法之一。化归要遵循和谐化原则，简单化原则,直观化原则,特殊化原则等;化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识，利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。关键词 化归；含义；原则；教学应用school mathematics of transformationmathematics and applied mathematics 2006051218 chenyenian huangdixin supervisorabstract of the maths problem is the general approach and is widely used with a used to study math problems and solve mathematical problems important means of a high school math one of the basic way of thinking. to observe the principles, in principle, simple, straightforward, principles and specific principles；under way in the mathematics used mainly for the unknown is known, it is, of practical problems of mathematical problems. the use of the three aspects to learn new knowledge and use the method set out principles, knowledge structure of the guidance of the way to solve the problem.key word naturalization；meaning；principle；teaching and learning引言化归即转化和归结的意思,化归思想方法简称化归方法,就是在处理问题时,把待解决的问题或难解决的问题,通过某种转化,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解答的一种数学思维方式1。本文在前人研究的基础上结合解题,粗浅的讨论化归思想方法的含义、原则、应用及存在的局限性，并围绕着化归的原则展开讨论从而提高教学策略，培养学生的化归意识，学生有了化归的思想，就能从更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。1 化归方法的含义 所谓“化归“可理解为转化和归结的意思，数学方法论中所论及的“化归方法“，是指把待解或未解决的问题通过某种转化过程。归结到一类已经解决或比较容易解决的问题去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法。为理解化归方法的具体含义。我们看下面几个在中学数学中常见的例子。1.1“化归”在代数应用的体现化归的本质就是采用迂回曲折的途径而达到从未知到已知、从难到易、从复杂到简单的转化。中学数学教材中几乎处处贯穿着化归与转化思想,如未知向已知转化；特殊向一般转化；复杂向简单转化；高次向低次转化；多元向一元转化等等,都是化归与转化思想的体现。分式方程、无理方程和简单的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申。下面以有理方程和无理方程的化归为例作解释。整式方程和分式方程统称有理方程。例1 解方程：解: 将原方程变形为令，将其转化为一元二次方程去求解。有些方程未知数在根号里面,这类根号下含有未知数的方程,叫做无理方程。解无理方程,就是将方程两边同时平方或利用换元法,把无理方程化为有理方程来求解的。例 2 解方程。解:方程两边平方,得整理得解得: ,检验:把代入原方程,由于,而不可能得,所以不是原方程的解,把代入原方程,满足等式，所是原方程的解，由分式方程整式化，无理方程有理化的过程,得到的新方程与原方程不一定同解,因为去分母或有理化的过程可能引进增解,所以解分式方程和无理方程时,检验这个步骤是必不可少的。解分式方程、高次方程、无理方程,其实质就是不断地通过适当变形,把原方程化归为最简单的方程的过程。因此,化归思想是有理方程方程、无理方程中思维活动的主导思想,化归方法在数学问题解决中具有十分重要的意义1。1.2“化归”在几何应用的体现 在初中数学教学中,运用化归思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多,事实上解决任何一个数学问题的过程都是一个“转化与化归”的过程2。c a d d e f c1d1bg图 1例3探索三角形内角和定理。三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180分析：假设有直线和,直线交cd和ef分别于点a、b(如图 1)。则有dab+abf=180,我们把cd绕a点顺时针旋转到与ef相交时,bad+abf在变化,bad逐渐减少,那么减少的部分跑到哪去了呢？由“两直线平行,内错角相等”可以知道,减少的部分跑到了agb的位置,即在abg中,有bag+abg+agb=180,不论bad如何变化,bag+abg+agb的和是不变的,这样就为三角形内角和定理的证明添加辅助线提供了思路,只要作平行线构成内错角或同旁内角即可将内角和定理的证明转化为两直线平行的问题来解决。例4 求证：对任意，有分析：此题如果用代数中证明不等式的方法去证难度较大。于是我们考虑借助坐标系，将代数问题映射为几何问题，（如图2 ）于是我们可将求证a(0,1)m(x,0)b(4,2)b(4,-2)图2,即映射为证明动点到点，的距离之和大于等于5建立平面直角坐标系并作出点以及点关于x轴的对称点。因为，所以当最小时，点应在一直线上，其最小值即线段之长，得1.3“化归”与其他方法的有效结合 化归思想只是丰富多彩的数学思想中的一种,化归的过程,化归思想的应用,一般离不开其他思想方法的有机配合。例5求证,能被6整除分析:原式可变形为，表明是三个连续整数之积与6的和。因而本题可转化为问题(1):三个连续整数之积能被6整除。如果我们对问题(1)的证明方法已经掌握那么原问题便可由此获证:如果我们对问题(1)的证法仍未知那么由于而2与3又互质，因而问题(1)又可转化为问题(2):三个连续整数之积既能被2整除又能被3整除从而原问题得解。以上五个例的形式及求解过程并不相同，但其思考方法都是通过转化或再转化，将待解决的问题归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个较易解决的问题，甚至为人们所熟知的常识问题.最终使原问题得解这种将未知转化为已知的方法称之为化归方法3。2 化归方法的基本原则2.1和谐化原则 和谐化是数学内在美的主要内容之一。因此,我们在解题过程中,可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征,利用和谐美去思考问题,获得解题信息,从而确立解题的总体思路,以达到以美的作用4。例1已知,求证其中,均为锐角, 分析:已知条件中出现及,而结论中出现及,因此采用及进行变换。例2 :若求证分析:该题的条件和结论中函数名称不统一角度布置也不合理.根据和谐化原则首先将原问题转化:若,求证。其次条件中的函数是”弦“结论中的函数是“切“.也显得不和谐.故将结论中的“切“转化为“弦“.即证明: 该式是不难由条件获得的3。例3 ：在abc中,证明分析：等式右边是关于三角形的边的关系式，而左边是关于三角形的边与角的关系式，由半角公式可得,，再根据余弦定理，可将左边化为边的关系，使问题得到证明。2.2简单化原则简单化就是将复杂问题化归为简单问题,将原问题中比较复杂的形式,关系结构,通过化归,将其变为比较简单的形式,关系结构。例4：求函数的最大值。分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把转化为,则非常容易。解：，。例5 实系数一元二次方程有两个虚根、，设、在复平面内的对应点是r、q求以r、q为焦点，且经过原点的椭圆的长轴长。分析:这是一道涉及到代数、解析几何内容的综合题。它可分解转化为如下几个简单问题。(1)方程问题.因为方程有两个虚根、，所以，即且，、为共轭复数； (2)复数问题.因为、互为共轭复数,所以，且有, ,;(3)几何问题.由椭圆定义知长轴长。例6 解不等式分析:这是一个带有二次根式的无理不等式。它相对于一次、二次不等式来说显然是较为复杂的问题按照简单化原则可设.则，这时原不等式就可以为一元二次不等式.分割法，能清晰地了解待处理问题内部的各种制约关系，从而找到一个解决问题的方法这种化归方法是“化大为小”，“化繁为简”转化思想的体现例7 设，试比较与的大小分析：我们采用求差比较法，若令，则。m的零点是定义域为且x1，因此以1与为分点，将分为三段便可分割讨论的符号了。2.3直观化原则 化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽可能将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形来表示，以使问题中的概念以及概念之间的相互关系具体明确，一句话，将比较抽象的问题转化为较直观的问题来解决3。例8 已知，求的最大值.xyobiac-i1图 3解：由于，则可设，,y=rsin(0r1)，于是,易知当且时取最大值。例9 如果复数2满足，那的最小值为多少?分析:（如图 3 ）中z的轨迹为线段ab则问题转化为求线段ab上一点。使它到点c(-1,-1)的距离最小易知点a为所求点。2.4特殊化原则 特殊化原则是将一般问题特殊化,从特殊问题的解决中,寻找问题的解题策略4。例10 椭圆的焦点为、,点为其上的动点。当为钝角时,点p的横坐标的取值范围是。分析:如果采用解析法,设动点坐标,列不等式来解,计算量太大,若能抓住临界值直角这一关键,将一般情况转化为特殊情况,将钝角转化为直角,将不等式转化为方程,使复杂问题简单化。若为直角时,点p在以为直径的圆上,联立圆和椭圆方程,求出点p的横坐标,可得点p的横坐标的取值范围是。3化归方法在教学中的应用3.1化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。例1：已知，求。分析：该题若将转化为,再运用公式展开，则容易求解。解：，又例2已知函数其中都是非零实数又知,求分析：欲求等于多少,需要找它与之间的联系,这个联系就是解本题的关键。因为,所以, 即,从而此问题可以化归为求为末尾数字且为自然数时的一般情况。当时；当时。3.2化数为形 数与形是客观事物不可分割的两个数学表象，华罗庚教授说过数缺形时少直观，形缺数时难入微，基于此，很多代数问题若能转化为图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来5。例3：实数m为何值时，关于x的方程：的两个实根，满足。分析：若直接利用求根公式或根与系数的关系求解，则步履艰难；若把数的关系转化为图形（如图 4），则易求解。xyo1 2 x1 x2图 4解：设要使方程的两根，满足必须且只需所以或,故当时,方程的两根，满足例4 三棱锥o-bcd中,三条侧棱两两成角，在一条棱上取两个点,，使=4cm, =3cm,用绳由到绕一周，求所需绳的长度的最小值。obcdba1b1图5分析：将三棱锥展成平面图之后，抓住那些不变的量：两侧棱间的夹角、线段的长。解：设在上,沿剪开后展平，（如图 5）,所以绳的最短长度为5cm。 3.3化实际问题为数学问题 随着教育改革的不断深化，数学知识与其他相关学科及生活、生产实际的联系更为紧密。近年来，高考对应用题也年年考查，那么将实际问题如何转化为数学问题将显得尤为重要。将实际问题转化为数学问题实际上就是建立数学模型6。例5 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125。（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。分析：此问题主要是利用数学中的概率知识求得结果。解：记机器甲需要照顾为事件a,机器乙需要照顾为事件b,机器丙需要照顾为事件c。由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，a,b,c是相互独立事件。（）由已知得,解得所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5。（）记a的对立事件为,b的对立事件为,c的对立事件为，则于是。所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.77。例6 把一块钢板制成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面