有限元第二章课后题答案.doc

2 弹性力学问题的有限单元法 思 考 题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。计算：设半带宽为b，每个结点的自由度为n，各单元中结点整体码的最大差值为d，则b=n(d+1)，在平面问题中n=2。2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：(1)应变矩阵b中的参数由坐标变量x、y之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x、y无关，因此b为常量阵。当单元的结点位移a确定后，由b转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的值。因此三结点三角形单元称为常应变单元。(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。习 题2.1试证明x、y与面积坐标的关系证明:设p点坐标为（x,y） 同理可求得： 由面积坐标定义得： 由此推出坐标与面积坐标的函数关系： 式（2.1）面积：代入式（2.1）有：其中形状参数由下式确定： 代入上式（2.1）可转化为：再加上 所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下： 2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。证明：由于两个三角形相似，故设， 为一常数。三角形： 参数，只与坐标差有关，所以 单元刚度矩阵通式为： 故所以因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重，三角形平面构件容重,取泊松比=1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标（1） 求形函数矩阵： 图（2.14）形函数: 所以： 形函数的矩阵为：（2） 刚度矩阵 可得： （3）位移列向量和右端项 由边界条件可确定： 水压力和构件厚分别为： 自重为w与支座反力： 所以：由得到下列矩阵方程组：化简得：可得：将代入下式：固定面上的反力：从而可得支座反力为：2.4 试从式（2.69）说明对角线元素改1法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。解：（1）在式（2.69）中， 采用对角线元素改一法，则： 所以在式（2.69a）中可改为： 需满足：因为 ：为非零矩阵所以 ：应需为向量则这种方法只能用于给定零位移。（2）同上在式（2.69a）中 （其中可取左右甚至更大的量级）根据主元充大数： 由于所以右边近似等于所以左边等于右边即主元充大数法满足任何给定位移（零值和非零值）2.5 仿照例2.3，试证明矩形单元是完备协调元。. . 证明：在平面问题中，场函数为位移场函数，4结点矩形单元的位移插值函数为： 平面问题的泛函数中所包含的物理量的最高导数为2阶，而位移插值函数中包含的位移场函数（考虑到对称性，位移插值函数中只取了xy项）及其直至2阶的完全多项式，所以是完备的。 要证明协调性，只需考虑单元边界上的连续性。为此，参考上图，对于j-m边的公共结点j，m的位移，完全确定，所以在边界上是协调的。2.6 仿照例2.3，试证明图2.15所示任意四边形单元在选取位移模式是完备的但不是协调的。证明：完备性证明同2.5；协调性：对于边i-j，直线方程为 所以代入上式，得: 公共边i-j，i，j两点的位移不能完全确定，三个为未知量故任意四边形单元是完备的但不是协调的。2.7上端受均布荷载作用的墙体视为平面构件，如图2.16(a)所示，划分成为8个单元如图2.16(b)，试在图2.16(b)上画出边界条件和等效结点荷载；倘若利用对称性取一半，如图2.16(c)，试在图2.16(c)上画出边界条件和等效结点荷载。设e=30gpa，=1/6，均布荷载q=20kn/m，试按图2.16(c)求构件的结点位移。我的大学爱情观目录：1、 大学概念2、 分析爱情健康观3、 爱情观要三思4、 大学需要对爱情要认识和理解5、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习