数学教育毕业论文（设计）-构造法在数学解题中的应用.doc

宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 专业 数学教育 指导教师 学生 学号 2009041227 题 目 构造法在数学解题中的应用 2012年5月27日构造法在数学解题中的应用（宁德师范学院 数学系 09级数学教育2班 福建宁德 352100）摘要：通过题目中所给的条件不同或者结论不同，构造出与之相应的合适函数，方程，图形，例子或向量，使原问题得到解决 关键词：构造法 函数 方程 向量历史上著名的数学家欧几里德、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏地位而学习数学的一个关键就是必须要善于解题，不仅要善于解标准题，而且要善于解那些需要独立思考，见解独到和有所创新的题解题意味着发现一条摆脱疑难绕过障碍的途径它是智力的特殊成就，是对已有知识、方法，采取调动、重组、变换、类比等手段，进行再创造的过程其中，构造性思想与方法就是这种创造性活动的一个组成部分1 构造法的含义一代数学宗师乔治波利亚（george polya，1887.12.31985.9.7）说：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动”，而这一重要的思维活动就是我们通常所说的构造法那么何为构造法？所谓构造法就是运用数学的基本思想，经过认真的观察和分析，深入的思考，把所要解决的问题化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已知解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，或者去先解决一个更特殊更一般的问题，最终使数学问题得到解决的方法而其本质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维过程中构造出一系列相关的数学对象，一系列新的数学形式，或利用问题的特殊性，为解决问题构造一个合理的数学框架，从而使数学问题成功地解决2 构造法的意义及应注意的问题2.1 构造法的价值和意义运用构造法来解题是培养学生的创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助在数学解题中，恰当地，合理地运用构造法，不仅能够收到简洁明了，出奇制胜的效果，同时还有利于培养我们的抽象思维能力和发散思维能力，因而这种数学解题方法具有独特的数学价值和解题意义2.2 使用构造法应注意的问题这样一种构造性思维要应用我们必须注意以下两点：一要明确目的，即为什么目的而构造，二要弄清楚题设条件的特点，以便依据特点，确定方案实现这一构造3 构造法的解题步骤并不是每道数学题都要用构造法的。构造法一般只有在一些比较特殊的问题中，从正面入手不易达到目的才用的，其主要是寻找某种中介工具建立条件和结论之间的联系。如函数题就要构造一个新函数，几何题就要做辅助线，代数题就要构造一个新的代数等等。所以，使用构造法解题的一般步骤可归纳为：（1）认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么；（2）根据已知条件，准确构造一个与原命题密切相关的数学模型。（3）利用构造的数学模型，把复杂的原问题转化为简单的新问题，从而迅速获解，得出结论。4 构造法解题的常见类型平面解析几何证明中的辅助线，因式分解变形中的拆项补项都体现了一种构造性的思维，在确定某一数学结论是否存在时，我们常常把这个数学事实具体找出来，或者举一个反例去否定它，这两者都是构造性的所有这些构造的共同特点是：创造性地使用已知条件构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察、深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决下面我们通过构造函数、构造方程、构造图形、构造例子、构造向量等方面举例应用来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径4.1 构造函数解决数学问题在解决某些数学问题时，构造一个适当的函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的思想叫做构造函数思想函数是数学知识的一个中心和基础，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，函数图像可以作为研究函数性质的工具，进而解决一类有关问题构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题，构造函数的前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质，构造函数的过程就是要求我们敏锐地观察、正确的判断、合理的选择恰当的函数，并且准确地运用函数性质，有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系、构造出函数，在利用函数性质就能解决问题，有些问题实质上与函数的某些性质有关，可以归纳为研究相关的函数，便可通过构造函数来解决4.1.1 构造一次函数解题对于某些数学问题，观察其题设和结论，特别是含有关于一次未知数的式子，不妨采用构造一次函数的方法去尝试解决 例1 设，为绝对值小于1的实数，求证ab+bc+ca+10.分析：若直接用不等式的知识去证明这个问题可能有点困难，但如果我们把这个问题看成是个函数问题：当在某个范围时，函数恒大于零，那就比较熟悉和容易得多解：故作函数：，（1）， 若，则由1知0. 若，则为单调函数，的值在，之间，但 ， ， 故，即用函数观点处理本题，把三个字母的不等式转化为两个字母的两个不等式、有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质可得到简捷的解法4.1.2 构造二次函数解题一元二次方程的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止于此在有些证明中，将题目或结论适当的变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题 例2 已知实数，满足 证明 分析：题目中的式子是三元二次方程，我们可以通过构造一元二次方程来解题证明：我们来构造一个系数只含且有实根的二次方程，有式得 用式的2倍减去式得到 从、式可知，实系数二次方程 有两实根故方程的判别式，即由此即得4.1.3 构造三角函数解题如果题目中的方程式较复杂，我们可以联系三角函数公式，通过构造三角函数，利用三角函数特有的性质和概念解决问题 例3 解不等式分析：用常规方法比较困难，如果仔细观察不等式左边两项的特征，就可联想到三角公式进而联想到三角代换法解：设，因为则原不等式变为，即，解得故原不等式的解是4.2 构造方程解决数学问题构造方程解题体现了方程观点，运用方程观点解题可以归纳为三个步骤：（1）将所面临的问题转化为方程问题；（2）解这个方程或方程组，讨论它的有关性质，得出相应的结论；（3）将方程或方程组的相应结论返回为原问题的结论 例4 已知，求证分析：已知条件提供了一个等式，我们把它转化为方程，则结论便成为方程性质的讨论容易看出，结论与判别式非负类似，因此，应设法构造出一个二次方程有实根解：已知等式可化为，化为二次方程为，这表明二次方程有实根，从而判别式非负，得在运用方程观点解题时应该注意：（1）公式可以理解为方程或等量关系于是，恒等式证明可以理解为方程变形，求值问题更可以看成是解方程（2）曲线方程的确定及其位置关系的讨论，本质上就是方程的布列或方程的根在某一实数区间的研究（3）函数的许多性质都可以归结为方程的研究（4）不等式的证明和求解都和方程有关4.3 构造图形解决数学问题图形是数学关系的一种反映，在几何方面，题设给出的条件大多图形一般，解证有一定的困难，如果我们根据题设巧妙地构造出特殊的规划图形，利用所构造图形的性质解题，可以把观察、分析、联想、推理于一体，开拓解题思路构造图形是用来解决问题的一个重要方面，对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或以某种方式可以将问题转化为几何图形，借助于对几何图形性质的研究，从而获得解决，它的实质就是将“数转化为形”，借助图形来实现解题的目标4.3.1构造数轴解代数题 例5 已知 ，求的取值范围 分析：根据绝对值的几何意义可知：，表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数解：由图1可知，所表示数的点落在1和5之间（包括1和5），它到1与5的距离之和都等于4，即图14.3.2构造三角形解题 例6 求证：分析：构造如图2所示rtabc，则 证明：在ac上取一点d，使bd=ab=1；又在bc，ac上分别取点e，f，使de=ef=bd=1，则可证be=，ec=因为bc=be+ec=，所以 图2本题有其他的解法，我所采用的是通过构造三角形求得bc长，利用等量关系得出所证结论，体现了构造思想4.4 构造向量解决数学问题由于向量具有代数和几何的双重性质，所以有时构造向量能够实现代数问题和几何问题的互化，这使得构造向量法在数学解题中也有广泛的应用，向量数量积公式（为与的夹角）蕴含着重要的不等关系：（当且仅当与共线时取等号），可利用它来解决一类数学问题，是解题变得简洁明了 例7 已知，且，求证：分析：已知条件中是三个实数的平方和，而求证式中是两两乘积之和，这与向量的模和两个向量的数量积可以建立联系，所以我们可以构造向量，解法如下：解：设，则由已知可得：，而，即4.5 构造命题解决数学问题莎士比亚说得好：“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰”解题最好单刀直入，直接解剖问题的核心，而利用构造命题做题，往往可以“一招破敌”，主要表现在做选择题和判断题的应用上，有时候分析某些复杂的问题也是十分需要的 例8 证明或否定命题：任何三角形的内角平分线能够组成一个三角形 分析：等腰三角形的内角平分线长比较容易计算我们先来看一种极端的情形，设等腰三角形的顶角充分接近180，则底角很小，两底角平分线长远大于顶角平分线长然而，不难看出，这样的三角形符合我们的命题再来看另一种极端情况，让等腰三角形的顶角很小，则其平分线长远大于两底角的平分线长，由此可作出命题的一个反例：解：设等腰三角形abc中，底边bc=1，角平分线=100，两底角平分线记为及则=bc，所以+，从而线段，不能组成三角形从以上所列举的一些例题和分析（尚有不少类型未能涉及）不难看出：构造法在数学解题中的应用是十分广泛的它所采取的手段是灵活多变的，但只要解题者具有扎实的数学专业基础知识，掌握基本的解题方法，有一定的技能，对待新问题能够透过现象看本质，合理有效的进行知识的迁移和重组，就能够理解和掌握构造法的内涵构造法也是数学解题中最富有活力的解题方法之一，如果能够恰当和合理的应用，不仅能把数学问题变繁为简、变分散为集中，变隐藏为直观，变抽象为具体，达到难题巧解和享受数学知识的目的，而且还能大大丰富我们的想象和构造能力，培养解决问题的构造意识和创造性思维能力参考文献：1 彭光明，数学教学方法思考与探究，北京，北京大学出版社，2008，46502 叶立军，数学方法论，杭州，浙江大学出版社，2008,1871953 余红兵等编著，构造法解题，合肥，中国科学技术大学出版社，2009.4，24364 陈宇生，一个重要的解题方法构造法，宁德师专学报，1995年10月第七卷第2期附表1： 宁德师范高等专科学校毕业论文(设计)开题报告学生姓名王如玉学 号2009041227系 别数学系专 业数学教育指导教师赵小珍职 称讲师毕业论文（设计）题目构造法在数学解题中的应用毕业论文（设计）工作期限2011 年 12月 15 日起至 2012 年 5 月 27日止选题的目的和意义目的：构造和创新是数学教育一直培养的综合目标，也是遨游数学知识海洋的最高境界之一，构造法在数学解题中具有一定的独立性，又具有一定的灵活性和综合性。因而在数学教育中，构造法是数学解题中一种十分重要的方法，有着广泛的用途和生命力。意义：构造法是数学解题中最富有活力的解题方法之一，如果能够恰当和合理的应用，不仅能把数学问题变繁为简、变分散为集中，变隐藏为直观，变抽象为具体，达到难题巧解和享受数学知识的目的。毕业论文、设计综述构造法就是运用数学的基本思想，经过认真的观察和分析，深入的思考，把所要解决的问题化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已知解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，或者去先解决一个更特殊更一般的问题，最终使数学问题得到解决的方法。1 概述2 构造法的意义及应注意的问题2.1 在数学解题中，恰当地，合理地运用构造法，不仅能够收到简洁明了，出奇制胜的效果，同时还有利于培养我们的抽象思维能力和发散思维能力。2.2 这样一种构造性思维要应用我们必须注意以下两点：一要明确目的，即为什么目的而构造，二要弄清楚题设条件的特点，以便依据特点，确定方案实现这一构造。3 构造法的解题步骤4 如何使用构造法解题4.1构造函数构造函数是运用函数基本的数学思想对问题进行观察分析，构造出函数式，利用函数的性质解决问题的一种方法。4.2 构造方程在某些数学问题中,可以通过观察题设、条件,利用韦达定理、二次方程的根或判别式等解题，从而构造一元二次方程，往往能使问题变得简单、直观，容易求解。4.3 构造图形某些题目条件中的数量关系若有明显的或隐含的几何意义,此时则可以考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接反映到几何图形之中, 使数与形有机结合起来, 借助图形的性质, 最终解决问题。4.4 构造向量由于向量具有代数和几何的双重性质，所以有时构造向量能够实现代数问题和几何问题的互化，这使得构造向量法在数学解题中也有广泛的应用。4.5 构造命题莎士比亚说得好：“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰”解题最好单刀直入，直接解剖问题的核心，而利用构造命题做题，往往可以“一招破敌”。5 总结研究步骤 定题方向，确定论文题目 查阅和收集资料 拟定论文写作提纲 写作论文初稿 修改论文 定稿提交 日程安排 定题方向，确定论文题目 2011.12.152011.12.31 查阅和收集资料 2012.01.012012.01.31 拟定论文写作提纲 2012.02.012012.02.29 写出论文初稿 2012.03.012012.04.05 修改论文 2012.04.062012.05.15 定稿提交 2012.05.162012.05.27阅读书目及参考文献1 彭光明，数学教学方法思考与探究，北京，北京大学出版社，2008，46502 叶立军，数学方法论，杭州，浙江大学出版社，2008