数学建模论文-制动器试验台的控制方法的研究.doc

制动器试验台的控制方法的研究摘要汽车的行车制动器的综合性能的优劣直接影响着人身和车辆的安全。通过建立完整，合理的微分方程模型和差分方程模型分析相关量之间的关系，实现对试验台驱动电流的计算机控制，采用三个指标对模型进行评价，并做相应的改进。 针对问题一，把单个前轮制动时承受的等效载荷转化为等效质量，计算出结果为52 kgm2。针对问题二，算出三个飞轮的转动惯量分别为30、60、120（单位：kgm2），得出该飞轮组可以组成的机械惯量有10、40、70、100、130、160、190、220（单位：kgm2）八种；为得到问题一的等效转动惯量，选择厚度为0.0362m、转动惯量为30 kgm2的飞轮，并用电动机补偿12 kgm2的惯量，或者选择厚度为0.0784m、转动惯量为60 kgm2的飞轮，并用电动机补偿-18 kgm2的惯量。针对问题三，在制动过程中，电动机中有电流参与工作，产生与制动力矩方向相反的力矩以补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。通过合理的分析可认为驱动电流使补偿惯量具有与路试时相同的运动状态，我们根据电动机驱动电流与转动惯量、转动角速度及扭矩之间关系，建立微分方程模型。在问题一和问题二的条件下，若制动减速度为常数，汽车需要的驱动电流大小为174.8252 a（补偿惯量为12 kgm2）或者-262.0529 a（补偿惯量为-18 kgm2）。针对问题四，通过对电动机驱动电流对制动过程的调控作用进行分析，采用能量误差、速度偏差及制动响应时间三个指标对所给的计算机控制方法执行的结果进行评价，得出结论：该计算机控制方法虽然能达到补偿惯性进行制动的目的，但能量误差达到5.4328772%、速度偏差较大且制动响应时间较长，所以该控制方法执行结果不理想，有待改进。针对问题五，计算机控制的目的是为了调控驱动电流使试验时的制动过程尽量与路试时相一致，因此，我们让主轴转动时的加速度和路试时的加速度相等，将问题三中建立的微分模型离散化，根据能量守恒定律（本时间段与前一时间段转动动能的改变量等于制动力矩与电流驱动力矩的和力矩所做的功），利用差分方程建立动态离散模型。引用问题四中三个评价指标对该模型控制方法进行分析评价，得出结论：由于引入主轴转动时的加速度和路试时的加速度相等来控制驱动电流，使电流波动较小、能量误差较小、制动响应时间较短、速度偏差较小。 针对问题六，在问题五所建立的控制方法基础上对时间间隔进行缩短，从而增大电流调控频率，使试验加速度与路试时尽量接近。由于问题五中两次采用离散化后的公式，造成两次电流偏差，同时采用了问题三中的微分方程模型再次造成偏差，从而使误差积累；改进后的模型控制方法只使用一次离散化公式，仅有一次误差，使试验加速度与路试时更接近。【关键字】补偿惯量 微分方程 差分方程 评价指标 流程图一 问题重述汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。在试验过程中，飞轮所具有的机械惯量与路试车辆等效转动惯量之间的差距由电动机产生一定规律的电流进行补偿。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑因素的误差。现在我们讨论以下几个问题：1. 求滚动半径为0.286m，制动时承受载荷为6230n的单个前轮的等效转动惯量。2. 由3个外直径1 m、内直径0.2 m，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m的环形钢制飞轮组成的飞轮组，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，可以组成哪些机械惯量？若电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，需要用电动机补偿多大的惯量得到问题1中的等效的转动惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。并对该方法执行的结果进行评价。5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二 问题假设1. 假设圆环密度均匀；2. 载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量。3. 飞轮为质量均匀的圆柱环；4. 模拟试验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。5. 重力加速度g=9.8;6. 圆周率=3.14；7. 路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大；8. 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数取为1.5；9. 在考虑能量误差时，通常不考虑观测误差、随机误差；10. 在制动过程中，制动器对车轮产生的扭矩为一常数。三 符号说明：车辆单个前轮平动时具有的能量；：试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量；：车辆单个前轮的滚动半径;：车轮的角速度；：角加速度；：飞轮组中的任意一个飞轮i的转动惯量,i=1,2,3；：飞轮组中的任意一个飞轮i的质量,i=1,2,3；：飞轮组中的任意一个飞轮i的体积,i=1,2,3；r：飞轮组中的任意一个飞轮的外半径；r：飞轮组中的任意一个飞轮的内半径；:飞轮组中的任意一个飞轮i的厚度,i=1,2,3；：钢材密度；:机械惯量;:电动机补偿的惯量;:基础惯量;：电动机产生的驱动电流； ：与电动机产生的驱动电流相对应的扭矩；：制动器摩擦力矩；：汽车在路试时制动器消耗的能量；：实验台上制动器在制动过程中消耗的能量；四 问题的分析及模型的建立及求解4.1问题一的分析及求解4.1.1问题的分析路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。根据载荷车辆平动时的能量和试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，可以算出等效的转动惯量。4.1.2问题的求解 车辆行驶时为平面平行运动，设其轴心为基点，则其速度为，车轮上任一点为车轮与地面接触的一点为转动瞬点，速度为0。又因为 所以求得 既得到车轮做平动时的速度 由牛顿第二定律得车辆单个前轮的质量 （1）忽略车轮自身转动具有的能量，由动能定理得单个前轮平动时具有的能量 （2）由刚体定轴转动的动能定理得试验台上飞轮和主轴转动时具有的能量 （3）因为要将路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量。故车辆平动时具有的能量和试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量相等即 ，综合式(1)，(2)，(3)可得所求的转动惯量为 （4）将载荷量f=6230 n, =0.286 m代入式（4），既得所求的转动的惯量j=51.99889 kgm2。所以，所求飞轮的转动惯量近似为52 kgm2。4.2 问题二的分析和求解 4.2.1问题的分析 试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。因为飞轮为质量均匀的圆柱环，运用转动惯量的计算公式（5）得出各飞轮的单个惯量。 （5）飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 （单位：kgm2），基础惯量为10 kgm2，则可以组成10，20，30，160 （单位：kgm2）的16种数值的机械惯量。然后根据已经知道的基础惯量和计算出来的飞轮的惯量进行组合，便可得到飞轮组的机械惯量。 计算出飞轮的机械惯量之后，考虑电动机能补偿的能量相应的惯量范围就可以得到电动机需要补偿的惯量。电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2,因此算出的值应该满足上面值的限制。4.2.2问题的求解 飞轮组中的任意一个飞轮i的转动惯量， i=1，2，3 （6）飞轮组中的任意一个飞轮i的质量，i=1，2，3 （7）飞轮组中的任意一个飞轮i的体积，i=1，2，3 （8）综合式（6），（7），（8），可得对于飞轮组中的任意一个飞轮i的转动惯量，i=1，2，3 （9） 将r=1m,r=0.2m,= 0.0392 m,= 0.0784 m,= 0.1568 m,= 7810 kg/m3代入式（9），可得轮组中的三个飞轮的惯量=29.9931 kgm2,=59.9862 kgm2,=119.9724 kgm2。即为表1所示：表1飞轮厚度d/内直径rd/外直径d/钢材密度/体积v/转动惯量j/()0.03920.2178100.029541300.07840.2178100.056369600.15680.2178100.118164120所以机械惯量的取值为：10 、39.9931、69.9862 、99.9793、129.9724 、159.9655 、189.9586 、219.9517（单位：kgm2）。可以记为10 、40 、70 、100 、130 、160 、190、220 （单位：kgm2）。 电动机补偿的惯量 (10) 对于问题一中得到的等效的转动惯量为52 kgm2，需要用电动机补偿的惯量为：当机械惯量=40kgm2，电动机补偿的惯量=12 kgm2；当机械惯量=70 kgm2，电动机补偿的惯量=-18kgm2。4.3 问题三的分析及模型的建立与求解4.3.1问题的分析机械惯量式制动系统的工作过程是：驱动电流的作用效果相当于使补偿惯量的运动效果与路试时的运动状态一样。由电机调速系统控制电机带动惯量飞轮转动，当转速达到设定值时切断电源，飞轮由于惯性会以该速度继续转动，然后由制动器控制系统控制制动器惯量飞轮进行制动。在制动过程中，电动机中有电流参与工作，产生与制动力矩方向相反的力矩以补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/nm）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。因此我们可以用电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比来建立电动机驱动电流与可观测量之间的数学模型。另外可根据瞬时扭矩、转动惯量、瞬时角加速度三者之间的关系来根据文献【1】建立我们所要的模型。4.3.2模型的建立 电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比可得电动机的驱动电流与其产生的扭矩之间的关系式为： (11) 扭矩，转动惯量，角加速度三者之间的关系式为： (12)角加速度，时间，角速度三者之间的关系式为： = (13)因此，综合式（11），（12），（13）我们得到了电动机的驱动电流，转动惯量，时间，角速度，飞轮半径五者之间的关系式为: （14） 式（14）就是我们所建立的电动机驱动电流与可观测量转动惯量，角速度之间的数学模型。4.3.3 模型的求解 由于制动减速度为常数，故我们可以得到加速度为： =2.78 电动机补偿的惯量=12 kgm2时，驱动电流为： =174.83 a ; 电动机补偿的惯量=-18 kgm2时，驱动电流为： =-262.05 a;4.4 问题四的分析和求解4.4.1 问题的分析 该计算机控制方法总体上能够达到通过电动机驱动电流补偿惯量来达到与路试时过程一致的制动目的，通过对时间离散化，依据上一时段瞬时扭矩和瞬时转速这两个可观测量对下一时段驱动电流进行调控是可行的。但由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。不同的计算机控制方法可能会采用不同的方法来进行计算，得到的结果会有所不同，产生的误差大小就会不一样。为了评价我们所选的控制方法的优劣，我们通常会采取一些指标来进行评价。制动响应时间、能量误差以及速度残差是制动性能检测中的三个重要参数。本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。我们需要在汽车制动的过程中消耗的能量尽可能的少，以减少车主的经济负担，且有利于环境的可持续发展。在制动过程中，速度改变要尽量平缓，这就要求减速度尽量趋近一定值。制动时，从开始操纵控制装置到达到规定的制动效能所经历的时间为制动响应时间。根据文献【2】，我们知道当制动响应时间t满足：0.6s时，说明我们我们所采取的控制方法是令人满意的。如果制动响应时间满足这个条件，我们可以说在制动响应时间这个评价指标里我们所采用的计算机控制方法在制动时间效率方面是不错的。综合能量误差、制动响应时间以及速度偏差三个指标我们来判断一个控制方法的优劣。4.4.2 问题的求解为了更好的解决问题，我们分制动响应时间、速度偏差和能量误差三个方面来分别分析评价。（一） 对于指标制动响应时间的分析评价：从已知我们知道驱动电流与扭矩成正比满足关系：；并且扭矩，转动惯量，角加速度三者之间的关系式为：；在制动过程中转动惯量式不变的，所以驱动电流同角加速度也是成线性关系，当扭矩达到一个稳定状态时，驱动电流也达到一个稳定状态，二者所用的时间是一样的。我们通过对扭矩变化量的做散点图进行分析说明情况。为了准确的说明在制动阶段驱动电流达到稳态搜需要的时间，我们分别取到00.6s,00.8s，01.0s,三个时间段里的扭矩的变化量的散点图，如以下三图（表2，3，4）所示：表2表3表4从上面的散点图我们可以清楚的得到以下几个结论：（1） 从00.6s的散点图中我们可以看到在0.6s的时刻，扭矩仍然处于增长的局势，因此在0.6s的时刻上扭矩没有达到稳态，即电流仍在减小。（2） 从00.8s的散点图中我们可以看到在0.8s的时刻，扭矩仍然处于增长的局势，因此在0.8s的时刻上扭矩没有达到稳态，即电流仍在减小。（3） 从01.0s的散点图中我们可以看到在1.0s的时刻，扭矩已经开始处于平稳的状态，因此在1.0s的时刻上扭矩达到稳态，即电流也 达到了稳态。（4） 通过以上三条结论，我们可以得到用这种控制方法在制动过程中所需要的制动协调时间为1.0s.通过与我们所采用的指标汽车单车响应协调时间t应满足：0.6s相比较可以出，在指标制动响应时间这一方面可以得出：问题三给出的这种控制方法在制动过程中所需要的制动响应时间较长，所以就此方面里说，这种控制方法不是很好。（二）对于指标能量误差的分析评价：本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。我们分别求出路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，之后对这二者之差对与路试时的制动器在制动过程中消耗的能量求百分比，以对该控制方法执行的结果进行评价。在制动达到稳定状态时，控制扭矩对等效惯量作用产生的加速度等于电流产生的扭矩对补偿惯量作用产生的加速度，都等于此稳定状态下，路试时车轮的加速度。首先求路试时的制动器在制动过程中消耗的能量：根据题意:路试时的转动惯量=48 kgm2 ； 汽车主轴初转速=514 ； 汽车主轴末转速=257 ；则汽车在路试时制动器消耗的能量可以表示为： ；代入数据可以得：汽车在路试时制动器消耗的能量=52097.33763j；再求实验台上制动器在制动过程中消耗的能量：题中每隔10对瞬时扭矩和瞬时转速加以观测，则在10时间段内可以认为转速保持不变；观测到的瞬时扭矩为控制扭矩与电流产生扭矩的和扭矩，在开始时刻，电流产生的扭矩最大，之后逐渐减小，直到减速度达到一相对稳定值，电流产生的扭矩也将在一稳定值左右浮动，在观测扭矩相对稳定阶段，观测扭矩的平均值即等价于控制器的控制扭矩与之差。在稳定状态，控制扭矩对等效惯量作用产生的加速度等于电流产生的扭矩对补偿惯量作用产生的加速度。表5由以上时间扭矩散点图可知，观测到的瞬时扭矩在1左右达到相对稳定，通过对1之后的观测瞬时扭矩求取平均值可得：=281.4402；等效惯量等于路试时的转动惯量=48 kgm2，根据题意机械惯量=35；则需要电流补偿的转动惯量为13；于是有以下方程组：；由上述方程组可以解出： ；在10时间段内飞轮转过的角度；在10时间段内消耗的能量； ；则，即为每10时间段内消耗能量的计算公式；题目中监测了0到4.67s的瞬时扭矩和瞬时转速，计算出每个时间段消耗的能量，对其进行累加即可得到实验台上制动器在制动过程中消耗的能量：=；代入数据可以求得：;则=2830.384395 j；所以=5.4328772%；即试验时比路试时多用的能耗占路试时的41.58%，也即试验时的能耗是路试时的1.4158倍，所以从能量误差的角度考虑，这个计算机控制方法不完善。（三）对于指标速度偏差的分析评价：在制动过程中，电动机的电流用于补偿等效惯量，目的是为了使制动工程中汽车的减速度趋于一恒定值，也即使制动过程比较平缓；路试时的制动过程可以看作是减速度恒定的匀减速过程，设这一过程中的角加速度为，则由公式可得，=48 kgm2 ，因为路试时是做匀减速运动， t=0时刻的初始速；末角速度；角加速度；则可以计算出由初始角速度达到末角速度所经历的时间： ；根据以上关系可以得出路试时角速度与时间的关系图（表6）：表6根据题目所给的数据可以得出试验时角速度与时间的关系图(表7)： 表7由以上两个关系图（表6、7）可以看出，路试时制动器在0.532677s就已经达到预期末速度，而实验室的角速度在1s左右远未达到指定末速度，速度为7.75316667rad/s，且仍旧有明显的下降趋势，速度偏差很大，所以该计算机控制方法在这方面执行结果不理想。综上，该计算机控制方法制动响应时间长，路试时与试验时能量误差很大，速度偏差也很大，从制动响应时间和路试时与试验时能量误差两方面考虑，该控制方法执行结果不理想，有待改进。综上，该计算机控制方法在制动响应时间和路试时与试验时能量误差角度考虑都不能达到很好的控制效能，该方法执行的结果不好，有待于我们进一步的完善从而提高制动器在制动过程中的性能。4.5 问题五的分析及模型的建立和评价4.5.1 问题的分析制动器试验台是要对所设计的路试进行模拟试验，模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。但是我们在试验台上得到的一些数据是离散的，所以为了通过可观测量试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩控制驱动电流，把时间变量离散化，根据文献【3】用差分方程建立动态离散模型。4.5.2模型的建立为了使试验台上制动器的制动过程和路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，我们首先对路试过程进行分析。把时间离散化为时段，为使结果精确，在合理及可测范围内使所取时段尽量短。取其中的一个时段k时段作为分析对象，记k时段起点和终点分别为k时刻和时刻，由于时刻到时刻间隔很短，可认为在时间段，保持不变。路试制动过程中角加速度： （15）刚体定轴转动的动能定理得： （16）车轮受摩擦力矩作用引起的能量损失为：则由能量守恒定律得在时刻： （17）而 （18）将（18）代入（17），得： （19）此式说明了路试时制动器的制动效果，由于受到恒定的力矩作用，车轮的角速度将按某种规律变化。对（19）进一步化简得： （20）此公式是一个与速度无关的量而且具有普遍的适用性，对任意给定的转动惯量，其产生的制动效果都是： （21）对于模拟试验过程同样适用，所以模拟试验台上制动器的制动效果为： （22）在模拟实验过程中，主轴受到两个力矩的作用，一是扭矩补偿机械惯量不足而缺少的能量，另一是制动摩擦力矩制动作用，即： （23）由于驱动电流与扭矩成正比即 （24）综合式（22），（23），（24）可得第i时刻的电流为： （25）由路试时对于摩擦力做功，根据能量守恒定律可得 （26）由式（26），我们可以得到摩擦力矩的大小。汽车在路试的时候减速度是恒定的，为了使模拟时的情况与路试时的情况尽量一致，可以对模拟时的角速度进行如下合理的假设：即认为模拟时的角速度也是匀减速的，可以得到如下关系式： （27） 由于计算机控制方法是在一定的时间间隔内进行的，即时间间隔是确切知道的，如果可观测值知道，那么和是可以算出来的，然后把两者带入式子 （28） （29） （30）即可得到k+1时刻的驱动电流。 以上过程我们可以用下面一个流程图来形象的表示。，微分方程模型4.5.3模型的评价 评价一个模型的好坏，我们通常采用以下三个指标来进行评价。三个指标分别是制动响应时间、速度偏差和能量误差。因此我们就这三个指标分别对我们所建立的模型进行评价。（1）制动响应时间 一个良好的模型应该使得制动器的驱动电流在较短时间内稳定状态，根据我们的指标，一个良好的模型，应该使制动响应时间s。制动响应时间其实就是从制动开始到驱动电流达到稳定状态所需要的时间。而我们所建立的模型就是一个关于电流为稳定值的模型，因此我们的响应时间会大大减少，也就是说汽车从开始减速到达到某个稳定值所就是需要的时间会很少，这样就可以避免车辆在行驶过程因为一些意外情况需要紧急停车的情况。（2）速度偏差 在理想状态下，路试时的速度应该随时间变化时是一条直线，在这样的状态下速度偏差很小，浪费的能量较少，也就是说我们的资源利用率较高。我们此题建立的模型就是根据路试时的情况，建立一个近似匀减速的模型，使其速度偏差较小。从而提高能量的利用率。（3）能量误差 本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。我们分别求出路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，之后对这二者之差对与路试时的制动器在制动过程中消耗的能量求百分比，以对该控制方法执行的结果进行评价。如果我们所求的百分比越小